Função delta de Dirac

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Robenil dos Santos Almeida
Função delta de Dirac
Amargosa, BA
30 de dezembro de 2014
Resumo
O físico teórico inglês Paul Adrian Maurice Dirac introduziu na década de 1930, a
chamada função delta δ(x), como um recurso matemático útil na descrição da mecânica
quântica. A rigor, no entanto, δ(x) não é uma função. Foi somente a partir de 1940
que matemáticos desenvolveram uma teoria rigorosa para a função delta, na qual ela é
considerada uma função generalizada, ou distribuição.
Sumário
1 Função delta de Dirac 4
1.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Aplicações físicas 5
2.1 Mecânica clássica: forças impulsivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Eletromagnetismo: distribuições singulares de carga elétrica . . . . . . . . 6
3 Propriedades de δ(x) 7
3.1 Filtragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Paridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Escala 9
5 Função delta multidimensionais 10
5.1 Duas dimensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.2 Três dimensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Referências Bibliográficas 12
3
1 Função delta de Dirac
1.1 Definição
A função delta de Dirac é definida por meio das seguintes propriedades:
δ(x) =
 0, se x 6= 0∞, se x= 0 (1.1)
∫ +∞
−∞
δ(x)dx= 1 (1.2)
−∞ < x <∞ é um número real. Não se define a “função” delta para argumentos
complexos.
δx definida pelas Eqs.(1.1) e (1.2) é aplicada em x= 0. Podemos generalizar para o
caso em que é aplicada em x= a:
δ(x−a) =
 0, se x 6= a∞, se x= a (1.3)
∫ +∞
−∞
δ(x−a)dx= 1 (1.4)
4
2 Aplicações físicas
2.1 Mecânica clássica: forças impulsivas
Suponha que uma esfera de massa m e velocidade constante v esteja numa trajetória
unidimensional, e de repente choca-se elasticamente com uma parede rígida. Devido a
elasticidade da esfera, a colisão tem uma duração de tempo ∆t, onde também ocorre
transferência de momento linear entre a esfera e a parede e vice-versa. O impulso sobre a
esfera é:
I =
∫ t0+∆t2
t0−∆t2
F (t)dt (2.1)
onde t0 indica o instante médio da colisão e F (T ) é a força dependente do tempo que a
parede exerce sobre a esfera.
Figura 2.1: Força impulsiva
No limite quando ∆t→ 0, podemos escrever a força impulsiva usando a função delta
de Dirac:
5
F (t) = Iδ(t− t0) (2.2)
Usando a Eq. (1.4), temos que
∫ +∞
−∞
F (t)dt=
∫ +∞
−∞
Iδ(t− t0)dt= I
∫ +∞
−∞
δ(t− t0)dt= I (2.3)
2.2 Eletromagnetismo: distribuições singulares de carga
elétrica
Uma carga puntiforme q situada, ao longo do eixo x, na posição x= a, equivale a uma
distribuição singular de carga elétrica, cuja densidade (linear) é
µ(x) = dq
dx
= qδ(x−a) (2.4)
pois, integrando sobre o eixo, temos:∫ +∞
−∞
u(x)dx=
∫ +∞
−∞
qδ(x−a)dx= q
∫ +∞
−∞
δ(x−a)dx= q (2.5)
Uma corrente elétrica i também pode ser representada, usando funções delta multidi-
mensionais, como a densidade superficial de corrente ~J(r) singulares, pois:∫
~J(r) ·d ~A= i (2.6)
6
3 Propriedades de δ(x)
3.1 Filtragem
Seja f(x) uma função “bem comportada”, ou seja, que satisfaça à definição clássica de
função. Então vale a propriedade de filtragem
∫ +∞
−∞
δ(x−a)f(x)dx= f(a) (3.1)
Como δ(x−1) = 0, se x 6= a, a integral só pode assumir valores não-nulas para x= a.
Nesse caso, o integrando, calculando x= a , resulta f(a), pois∫ +∞
−∞
δ(x−a)f(x)dx= f(a)
∫ +∞
−∞
δ(x−a)dx= f(a) (3.2)
A propriedade de filtragem vale também para subintervalos finitos da reta real. Se
c≤ a≤ b, então ∫ b
c
δ(x−a)f(x)dx= f(a) (3.3)
No entanto, se a > b ou a < c, a função delta anula-se em todos os pontos do intervalo
[c,b], donde
∫ b
c
δ(x−a)f(x)dx= 0 (3.4)
Escolhendo f(x) = x e a= 0, a Eq.(3.4) fornece∫ +∞
−∞
δ(x)xf(x)dx= f(0) = 0 (3.5)
tal que, para todo x ∈ (−∞,+∞), temos a seguinte propriedade:
xδ(x) = 0 (3.6)
7
Analogamente, mostra-se que
f(x)δ(x−a) = f(a)δ(x−a) (3.7)
3.2 Paridade
δ(x) = δ(−x) (3.8)
Fazendo a mudança de variável y =−x verificaremos as propriedades da Eqs(1.1) e
(1.2) de δ(x):
δ(−x) = δ(y) =
 0, se y 6= 0, ou x 6= 0∞, se y = 0, ou x= 0 (3.9)
Como dx=−dy e, permutando os limites de integração,∫ +∞
−∞
δ(x)dx=
∫ −∞
+∞
δ(−y)(−dy) =
∫ +∞
−∞
δ(−y)dy =
∫ +∞
−∞
δ(−x)dx (3.10)
Passando para primeiro membro, obtemos∫ +∞
−∞
[δ(x)− δ(−x)]dx= 0 (3.11)
resultado decorrente da Eq.(3.8).
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4 Escala
Seja a 6= 0 um fator de escala, então
δ(ax) = 1|a|δ(x) (4.1)
Supondo que inicialmente, a > 0 e fazer a mudança de variável y = ax. Então, partindo
da Eq.(1.2) com x→ y, temos que
1 =
∫ +∞
−∞
δ(y)dy = a
∫ +∞
−∞
δ(ax)dx (4.2)
onde ∫ +∞
−∞
δ(ax)dx= 1
a
= 1|a|
Caso a < 0, então |a| = −a, e obtemos a mesma conclusão. Em ambos os casos,
podemos escrever ∫ +∞
−∞
δ(ax)dx= 1|a|
∫ +∞
−∞
δ(x)dx
∫ +∞
−∞
δ(ax)− 1|a|δ(x)
dx= 0
onde resulta a Eq.(4.2).
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5 Função delta multidimensionais
5.1 Duas dimensões
Definimos a função delta bidimensional como o produto de duas função delta unidi-
mensionais, ao longo das direções independentes x e y
δ(~r− ~r′) = δ(x−x′)δ(y−y′) (5.1)
com a seguinte normalização: ∫ +∞
−∞
dx
∫ +∞
−∞
dyδ(~r− ~r′) = 1 (5.2)
A dimensão da função delta bidimensional é o inverso da área. Seja f(x,y) uma função
normal, a propriedade da filtragem é escrita como∫ +∞
−∞
dx
∫ +∞
−∞
dyf(x,y)δ(~r− ~r′) = f(x′,y′) (5.3)
Usando coordenadas polares planas (ρ,ϕ), tal que x= ρcosφ e y = ρsinϕ, a condição
de normalização da Eq. (5.2) fornece∫ 2pi
0
dϕ
∫ ∞
0
ρdρδ(~r− ~r′) = 1 (5.4)
que é satisfeita caso
δ(~r− ~r′) = 1
ρ
δ(ρ−ρ′)δ(ϕ−ϕ′) (5.5)
10
5.2 Três dimensões
A função delta tridimensional é o produto de três funções delta unidimensionais (com
dimensão de inverso do volume):
δ(~r−~r′) = δ(x−x′)δ(y−y′)δ(z− z′) (5.6)
tal que ∫ +∞
−∞
dx
∫ +∞
−∞
dy
∫ +∞
−∞
dzδ(~r−~r′) = 1 (5.7)
Usando coordenadas cilíndricas (ρ,ϕ,z) a Eq.(5.7) fica∫ +∞
−∞
dϕ
∫ +∞
−∞
dz
∫ +∞
−∞
ρdρδ(~r−~r′) = 1 (5.8)
que leva à
δ(~r−~r′) = 1
ρ
δ(ρ−ρ′)δ(ϕ−ϕ′)δ(z− z′) (5.9)
Analogamente, para as coordenadas esféricas (r,θ,φ) a Eq;(5.7) será satisfeita se
δ(~r−~r′) = 1
r2
δ(r− r′)δ(cos(θ)− cos(θ)′)δ(φ−φ′) (5.10)
já que o elemento de volume é dV = r2dr sinθdθdφ.
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Referências Bibliográficas
[1] Edminister, J. A. Eletromagnetismo, 2 ed., vol. 1. McGraw-Hill, São Paulo, 1980.
[2] Griffths, D. J. Introduction to electrodynamics, 3o ed. Prentice-Hall, New Jersey,
1999.