AP1 CG 2009.2 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Construc¸o˜es Geome´tricas
Nome: Matr´ıcula:
Po´lo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis.
Po´lo e Data; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • Se a questa˜o apresenta figura, a soluc¸a˜o da questa˜o deve
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- ser feita utilizando a figura fornecida, no espac¸o para
ponsa´vel; ela reservado.
Questa˜o 1 [2,0 pt]Construa os pontos equ¨idistantes dos pontos A e B e tambe´m pelos quais
se pode observar o segmento CD sob um aˆngulo de 45◦.
Soluca˜o Os pontos sa˜o as intersec¸o˜es da mediatriz dos pontos A e B com o arco capaz de 45◦
do segmento CD.
Questa˜o 2 [2,0 pt]Construa um triaˆngulo retaˆngulo conhecendo-se a hipotenusa e sua altura
relativa.
Soluca˜o Todo triaˆngulo retaˆngulo e´ inscrit´ıvel em uma semicircunfereˆncia cujo diaˆmetro e´ igual
a hipotenusa do triaˆngulo. Assim, constru´ımos um segmento AB igual a hipotenusa dada e
Construc¸o˜es Geome´tricas AP1 – Construc¸o˜es Geome´tricas 2
trac¸amos a semicircunfereˆncia de centro no ponto me´dio e raio igual a metade da hipotenusa. Em
seguida, trac¸amos uma perpendicular a AB e na perpendicular marcamos a altura. Finalmente,
pela altura trac¸amos uma paralela a AB tocando a semicircunfereˆncia em dos pontos C e C ′.
Formando dois triaˆngulos retaˆngulos congruentes.
Questa˜o 3 [2,0 pt]Construa um pol´ıgono estrelado de 8 pontas pulando 2 a 2 ve´rtices de um
octo´gono regular, sabendo que cada segmento que forma o pol´ıgono estrelado mede 6cm.
Soluca˜o Construa um segmento AB de 6cm de comprimento. O pol´ıgono estrelado e inscrit´ıvel
em um circunfereˆncia de centro O tal que OAˆB = OBˆA =
45◦
2
. Por isso, trac¸amos a mediatriz
do segmento AB e constru´ımos pelo ponto A um aˆngulo de
45◦
2
para encontrarmos o ponto O.
Em seguida, constru´ımos a circunfereˆncia de centro em O e raio OA e em tal circunfereˆncia
constru´ımos o pol´ıgono desejado.
Questa˜o 4 [2,0 pt]Dados os segmentos de medidas a, b e c, encontre o segmento de compri-
mento
x =
a2 − b2√
b.c
.
Soluca˜o Construa um triaˆngulo retaˆngulo cuja hipotenusa tem medida a e um dos catetos tem
medida b. O segundo cateto desse triaˆngulo tem medida y tal que y2 = a2 − b2. Construa
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Construc¸o˜es Geome´tricas AP1 – Construc¸o˜es Geome´tricas 3
sobre uma reta dois segmentos consecutivos de medidas b e c. No ponto que une os segmentos
trace uma perpendicular. Construa uma semicircunfereˆncia de diaˆmetro igual a soma b + c,
que interceptara´ a perpendicular formando um segmento z =
√
b.c. Agora, basta construir o
segmento de comprimento x =
y2
z
⇔ z
y
=
y
x
, isto e´, x e´ a terceira proporcional dos segmentos
z e y, nessa ordem.
Questa˜o 5 [2,0 pt]Construa o trape´zio iso´sceles sendo dados a base maior e a diagonal, sabendo
que a base menor e´ a terceira proporcional da diagonal e a base maior dadas, nessa ordem.
Soluca˜o Primeiramente, obtenha a terceira proporcional dos segmentos que correspondem a
diagonal e a base maior, nessa ordem, isto e´, se d e´ a diagonal, b e´ a base maior e b′ e´ a base
menor, enta˜o
d
b
=
b
b′
. A seguir, para construir o trape´zio iso´sceles, construa um triaˆngulo
iso´sceles auxiliar, AEC, onde AE = AB + BE, com AB e BE iguais as bases maior e menor,
respectivamente. Pelo ve´rtice C trace uma paralela a AB e, sobre essa paralela, construa o
segmento CD de comprimento igual a` base menor.
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Construc¸o˜es Geome´tricas AP1 – Construc¸o˜es Geome´tricas 4
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