AP1-CG-2018-1-GABARITO

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Construções Geométricas
Nome: Matŕıcula:
Pólo: Data:
Atenção!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matŕıcula, • O desenvolvimento das questões pode ser a lápis.
Pólo e Data; • É expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• É expressamente proibido o uso de calculadoras; • Se a questão apresenta figura, a solução da questão deve
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- ser feita utilizando a figura fornecida, no espaço para
ponsável; ela reservado.
Questão 1 [2,0 pt]Construa o triângulo ABC sabendo que AD é bissetriz do ângulo Â, com
D ∈ BC, Â = 60◦ e B̂ = 45◦.
Solução Construa os ângulos de 30◦ utilizando AD como lado do ângulo (para os dois lados do
segmento). Sobre um ponto qualquer de um dos lados dos ângulos constrúıdos, trace uma trace
um ângulo de 45◦. Pelo ponto D trace uma paralela ao lado do ângulo de 45◦, que interceptará
os lados dos ângulos de 30◦ nos pontos B e C. O triângulo ABC é a solução do problema.
Questão 2 [2,0 pt]Construa o poĺıgono estrelado inscrito na circunferência de raio 4 cm, de
15 pontas, pulando de 3 em 3 pontas.
Solução
Divida uma circunferência de raio 4cm em 15 partes iguais pelo processo utilizado no problema
8 da aula 8. Em seguida, construa o poĺıgono partindo de um desses pontos e prosseguindo para
o próximo pulando 3 pontos a cada passo.
Construções Geométricas AP1 – Construções Geométricas 2
Questão 3 [2,0 pt]Construa as circunferências, de raio R, tangentes à reta r e que também
tangenciam, internamente, a circunferência λ.
Sugestão: A distância entre os centros de duas circunferências tangentes internamente é igual
à diferença entre os raios.
Solução O centro da circunferências procuradas devem estar a uma distância de r igual ao raio
dado, já que são tangentes. Assim, marque numa perpendicular a r um segmento igual ao raio
dado e, pela extremidade do segmento, trace uma reta s, paralela a r. Os centros estarão sobre
s. Como as circunferência pedidas são tangentes, internamente, a λ, então o centro das dessas
circunferências devem estar a uma distância de C igual à diferença entre o raio da circunferência
dada e o raio da circunferência pedida. Dessa forma, os centro das circunferências dadas são
obtidas pela interseção entre s e a circunferência de centro em C e raio igual à diferença dos
raios. Indicamos por C1 e C2 os centros das circunferências os pontos tangências, T1 e T2, estão
alinhados com C e os centros C1 e C2, respectivamente.
Questão 4 [2,0 pt]Construa um segmento de comprimento igual
√
21 cm, sem utilizar apro-
ximações. Em seguida, construa um triângulo eqüilátero de lado igual 2
√
7 cm.
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Construções Geométricas AP1 – Construções Geométricas 3
Sugestão: Utilize média geométrica para encontrar o segmento pedido. Calcule a altura do
triângulo eqüilátero pedido.
Solução Primeira Construção: Encontre a média geométrica dos segmentos AB e BC, de
comprimentos, respectivamente, 3cm e 7cm. Na construção feita, utilizamos o segundo método
para encontrar a média geométrica. O segmento BD obtido mede
√
21 cm.
Segunda construção: O triângulo eqüilátero de lado igual a 2
√
7 cm tem altura de comprimento
√
21 cm =
2
√
7 ·
√
3
2
cm. Assim, o segmento BD é a altura do triângulo eqüilátero. Construindo
30◦ para cada lado do segmento BD encontramos os pontos E e F sobre a reta suporte do
segmento AC. O triângulo DEF é solução para o problema.
Questão 5 [2,0 pt]Encontre os pontos A ∈ r e B ∈ s que estejam alinhados com o ponto C,
tal que AC tenha o dobro do comprimento de CB.
Sugestão: Trace uma paralela por C em relação a s e lembre que retas paralelas cortadas por
transversais determinam segmentos proporcionais.
Solução Trace pelo ponto C uma reta paralela interceptando a reta r no ponto D. Indique por
O a interseção entre as retas r e s. Construa sobre r ao segmento AD de comprimento igual ao
dobro do comprimento de OD. Ligue os pontos A e C obtendo no prolongamento sobre a reta
s o ponto B. Pelo Teoremas de Tales se AD = 2OD, então AC = 2CB.
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