Resolução de Inequações

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1 Observac¸a˜o:
Seja 푥 ∈ ℝ e 푎 > 0, enta˜o
1) ∣푥∣ ≤ 푎 ⇐⇒ −푎 ≤ 푥 ≤ 푎 ⇐⇒ 푥 ≥ −푎 e 푥 ≤ 푎.
2) ∣푥∣ ≥ 푎 ⇐⇒ 푥 ≤ −푎 ou 푥 ≥ 푎.
2 Exemplo:
Resolva as seguintes inequac¸o˜es:
a) 5푥− 3 > 2푥 + 1
2
Temos que
5푥− 3 > 2푥 + 1
2
⇐⇒ 5푥− 2푥 > 1
2
+ 3 ⇐⇒ 3푥 > 1 + 6
2
⇐⇒ 3푥 > 7
2
⇐⇒ 푥 >
(
7
2
)
÷ 3 ⇐⇒ 푥 >
(
7
2
)
.
(
1
3
)
⇐⇒ 푥 > 7
6
.
Logo o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o e´ 푆 =
{
푥 ∈ ℝ / 푥 > 7
6
}
.
b) 4푥 +
1
5
≤ 6푥 + 2
3
Temos que
4푥+
1
5
≤ 6푥+2
3
⇐⇒ 4푥−6푥 ≤ 2
3
−1
5
⇐⇒ −2푥 ≤ 10− 3
15
⇐⇒ −2푥 ≤ 7
15
.(−1)
⇐⇒ 2푥 ≥ −7
15
⇐⇒ 푥 ≥
(−7
15
)
÷2 ⇐⇒ 푥 ≥
(−7
15
)
.
(
1
2
)
⇐⇒ 푥 ≥
(−7
30
)
.
Logo o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o e´ 푆 =
{
푥 ∈ ℝ / 푥 ≥
(−7
30
)}
.
1
c) ∣8푥∣ ≤ 4
Temos que
∣8푥∣ ≤ 4 ⇐⇒ −4 ≤ 8푥 ≤ 4 ⇐⇒ 8푥 ≥ −4 e 8푥 ≤ 4
⇐⇒ 푥 ≥ −4
8
e 푥 ≤ 4
8
⇐⇒ 푥 ≥ −1
2
e 푥 ≤ 1
2
.
Portanto o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o e´
푆 =
{
푥 ∈ ℝ / 푥 ≥ −1
2
e 푥 ≤ 1
2
}
=
{
푥 ∈ ℝ / −1
2
≤ 푥 ≤ 1
2
}
.
d)
∣∣∣푥
2
∣∣∣ ≥ 5
Temos que ∣∣∣푥
2
∣∣∣ ≥ 5 ⇐⇒ 푥
2
≤ −5 ou 푥
2
≥ 5
⇐⇒ 푥 ≤ 2.(−5) ou 푥 ≥ 2.(5)⇐⇒ 푥 ≤ −10 ou 푥 ≥ 10.
Portanto o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o e´ 푆 = {푥 ∈ ℝ / 푥 ≤ −10 ou 푥 ≥ 10} .
e) ∣2푥 + 1∣ ≤ 3
Temos que
∣2푥 + 1∣ ≤ 3 ⇐⇒ −3 ≤ 2푥 + 1 ≤ 3 ⇐⇒ 2푥 + 1 ≥ −3 e 2푥 + 1 ≤ 3
⇐⇒ 2푥 ≥ −4 e 2푥 ≤ 2 ⇐⇒ 푥 ≥ −4
2
e 푥 ≤ 2
2
⇐⇒ 푥 ≥ −2 e 푥 ≤ 1.
Assim o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o e´
푆 = {푥 ∈ ℝ / 푥 ≥ −2 e 푥 ≤ 1} = {푥 ∈ ℝ / − 2 ≤ 푥 ≤ 1}.
2
f) ∣5− 3푥∣ ≥ 1
Temos que
∣5−3푥∣ ≥ 1 ⇐⇒ 5−3푥 ≤ −1 ou 5−3푥 ≥ 1 ⇐⇒ −3푥 ≤ −6 ou −3푥 ≥ −4
⇐⇒ −3푥 ≤ −6 .(−1) ou − 3푥 ≥ −4 .(−1) ⇐⇒ 3푥 ≥ 6 ou 3푥 ≤ 4
⇐⇒ 푥 ≥ 6
3
ou 푥 ≤ 4
3
⇐⇒ 푥 ≥ 2 ou 푥 ≤ 4
3
.
Assim o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o e´ 푆 =
{
푥 ∈ ℝ / 푥 ≥ 2 ou 푥 ≤ 4
3
}
.
3