Equações do 2º Grau

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1 Equac¸o˜es do 2∘ grau
Uma equac¸a˜o do tipo 푎푥2 + 푏푥 + 푐 = 0, onde 푎, 푏, 푐 ∈ ℝ e 푎 ∕= 0 e´ chamada equac¸a˜o do 2∘
grau.
Resolver uma equac¸a˜o desse tipo corresponde a obter os valores de 푥 que satisfazem a igualdade,
isto e´, tornam a mesma verdadeira.
Para resolver uma equac¸a˜o desse tipo usamos a seguinte fo´rmula de Bhaskara:
푥 =
−푏±√Δ
2푎
, onde Δ = 푏2 − 4푎푐.
Exemplo 1.1 Resolva as seguintes equac¸o˜es do 2∘ grau:
a) 푥2 − 5푥 + 6 = 0
Temos 푎 = 1, 푏 = −5 e 푐 = 6.
Logo usando a fo´rmula de Bhaskara obtemos:
Δ = 푏2 − 4푎푐 = (−5)2 − 4(1)(6) = 25− 24 = 1 e 푥 = −푏±
√
Δ
2푎
=
−(−5)±√1
2
=
5± 1
2
.
Assim
푥1 =
5 + 1
2
=
6
2
= 3 e 푥2 =
5− 1
2
=
4
2
= 2,
e o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o e´ 푆 = {2, 3}.
b) 2푥2 + 푥− 1 = 0
Temos 푎 = 2, 푏 = 1 e 푐 = −1.
Portanto usando a fo´rmula de Bhaskara obtemos:
Δ = 푏2 − 4푎푐 = (1)2 − 4(2)(−1) = 1 + 8 = 9 e 푥 = −푏±
√
Δ
2푎
=
−1±√9
2.2
=
−1± 3
4
.
Logo
푥1 =
−1 + 3
4
=
2
4
=
1
2
e 푥2 =
−1− 3
4
=
−4
4
= −1,
e o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o e´ 푆 =
{
1
2
,−1
}
.
c) 3푥2 − 9푥 = 0
Temos 푎 = 3, 푏 = −9 e 푐 = 0.
Logo usando a fo´rmula de Bhaskara obtemos:
Δ = 푏2− 4푎푐 = (−9)2− 4(3)(0) = 81− 0 = 81 e 푥 = −푏±
√
Δ
2푎
=
−(−9)±√81
2.3
=
9± 9
6
.
Assim
푥1 =
9 + 9
6
=
18
6
= 3 e 푥2 =
9− 9
6
=
0
6
= 0,
e o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o e´ 푆 = {0, 3}.
1
d) 푥2 − 25 = 0
Temos 푎 = 1, 푏 = 0 e 푐 = −25.
Assim usando a fo´rmula de Bhaskara obtemos:
Δ = 푏2−4푎푐 = (0)2−4(1)(−25) = 0+100 = 100 e 푥 = −푏±
√
Δ
2푎
=
−0±√100
2
=
0± 10
2
.
Logo
푥1 =
0 + 10
2
= 5 e 푥2 =
0− 10
2
= −5,
e o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o e´ 푆 = {−5, 5}.
Observac¸a˜o: Uma equac¸a˜o do 2∘ grau onde 푏 = 0 ou 푐 = 0 e´ dita incompleta e pode ser
resolvida sem utilizar a fo´rmula de Bhaskara.
A seguir apresentaremos os Exemplos (푐) e (푑) resolvidos sem o uso da fo´rmula de Bhaskara.
Exemplo 1.2 Resolva as seguintes equac¸o˜es do 2∘ grau:
a) 3푥2 − 9푥 = 0
Temos que
3푥2 − 9푥 = 0 ⇒ 3푥(푥− 3) = 0 ⇒ 3푥 = 0 ou 푥− 3 = 0 ⇒ 푥 = 0 ou 푥 = 3.
Portanto o conjunto desta equac¸a˜o e´ 푆 = {0, 3}.
b) 푥2 − 25 = 0
Temos que
푥2 − 25 = 0 ⇒ 푥2 = 25 ⇒ 푥 = ±
√
25 ⇒ 푥 = ±5.
Logo o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o dada e´ 푆 = {−5, 5}.
Exerc´ıcio: Resolva as seguintes equac¸o˜es:
a) 푥2 − 16 = 0
b) 3푥2 − 27 = 0
c) 5푥2 − 125푥 = 0
2
d) −4푥2 + 196푥 = 0
e) 푥2 − 6푥 + 9 = 0
f) 3푥2 − 5푥− 2 = 0
g) −푥2 − 2푥 + 35 = 0
Bons Estudos!
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