Análise Dimensional e Semelhança

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Introdução 
 
• Há muitos problemas de interesse no campo da mecânica 
dos fluidos que não podem ser resolvidos usando apenas 
as equações diferenciais e integrais; 
• Muitas vezes é necessário apelar aos métodos 
experimentais; 
• Como os experimentos são geralmente muito caros, é 
necessário manter o número de ensaios em um nível 
mínimo; 
• Isso é feito usando uma técnica chamada análise 
dimensional, a qual é baseada na noção de 
homogeneidade dimensional. 
Introdução 
 
• Muitas vezes é preciso efetuar experimentos envolvendo 
objetos que são muito grandes para serem manipulados 
em experiências a um custo razoável. Exemplo: 
 escoamentos em represas; 
 escoamentos ao redor de submarinos e navios; 
 escoamentos ao redor de estádios e edifícios; 
 escoamentos ao redor de automóveis e caminhões. 
• Quando a realização de teste experimental em um 
protótipo de tamanho real é impossível ou de custo 
proibitivo, a única maneira viável de atacar o problema é o 
teste de modelos em laboratório. 
Modelo em escala 
de grandes edifícios. 
Introdução 
• Por outro lado, tem-se também escoamentos de interesse 
que envolvem dimensões bastante pequenas, tais como: 
 escoamento dentro de um tubo capilar; 
 escoamento ao redor de um microrganismo; 
 escoamento em torno e dentro de uma gotícula em 
queda. 
• Esses escoamentos demandam que o modelo seja maior 
que o protótipo, de modo que as observações possam ser 
efetuadas com um grau de acurácia aceitável. 
Introdução 
Análise Dimensional 
Revisão de Dimensões 
• Todas as quantidades têm alguma combinação de dimensões de 
comprimento, tempo, massa e força, que são relacionadas pela 
segunda lei de Newton, 
amF


• Em termos de dimensões, 
2t
ML
F 
 F  dimensão de força; 
 M  dimensão de massa; 
 L  dimensão de comprimento; e 
 t  dimensão de tempo. 
• Determinar a unidade do produto RT da Equação de Estado dos 
Gás Ideais: 
TRp 
]/p[]R[ T
M
L
L
F 3
2

2
23
2
2/
t
L
M
L
L
tML

Análise Dimensional 
Análise Dimensional da Equação de Navier-Stokes 
Análise Dimensional 
Vpg
Dt
VD 

2 
• Para regime permanente (e dividindo tudo por ρ), tem-se: 
 
































2
2
2
2
2
21
z
u
y
u
x
u
x
pg
z
uw
y
uv
x
uu 
• Esta equação é dimensionalmente homogênea, cada termo 
tem dimensão [L/t2]. 
Análise Dimensional 
• Vamos simbolizar todos os componentes de velocidade por “V” e 
os componentes de comprimento por “L”. 
 
 
 
 
• Esta equação exprime uma igualdade dimensional, mas não uma 
igualdade numérica. Transformamos numa forma adimensional, 
dividindo-se cada termo por (V2/L): 
 



















2
2
L
V
L
pg
L
V 

 











VLV
p
V
gL 
22
1








VL
gL
V
f
V
p
,
2
2
Análise Dimensional 
inerciadeforça
pressãodeforça
EulerdenúmeroEu
V
p
 )(
2
nalgravitacioforça
inerciadeforça
FroudedenúmeroFr
gL
V
 )(2
2
avisdeforça
inerciadeforça
ynoldsdenúmero
VL
cos
)Re(Re 
• Em um determinado problema físico, a variável dependente q1 
pode ser expressa em termos das variáveis independentes 
como: 
em que n representa o número total de variáveis. 
• O teorema  de Buckingham [Edgar Buckingham (1867-1940)], 
afirma que (n - m) grupos de variáveis adimensionais, chamados 
parâmetros , em que m é o número de dimensões básicas 
envolvidas nas variáveis físicas, podem ser relacionados por: 
O teorema  de Buckingham 
),,,,( 4321 nqqqqfq 
),,,( 3211 mnf   0),,,,( 3211  mnG 
0)...,,,( 21 nqqqg
m é normalmente o número mínimo, r, de dimensões independentes 
(massa, tempo e etc) requerido para definir as dimensões de q1, 
q2...,qn. Algumas vezes m ≠ r. 
• Exemplo: Força de arrasto F sobre uma esfera depende do 
diâmetro da esfera D, da massa específica do fluido ρ, da 
viscosidade μ, e da velocidade do fluido V. 
O teorema  de Buckingham 
),,,( VDfF  0),,,,( VDFg 
Dependente 
Independentes 
O teorema  de Buckingham 
0,
22






VDDV
F
G


 





VD
G
DV
F


 122
Ou 
• Um parâmetro π não é independente se pode ser formado a 
partir de qualquer combinação de outros parâmetros π. Ex.: 
3
2
2
1
5



Ou 
2
2/1
1
6
2



Determinação dos Grupos π 
Ex. 1) Partindo-se da função característica, f (F, V, ρ, μ, d) = 0, a 
aplicação do teorema dos π respeita a seguinte sequência: 
1º PASSO: 
Determinar o número “n” de variáveis que influenciam o fenômeno. 
n = 5 
2º PASSO: 
Selecione um conjunto de dimensões fundamentais (primárias ). MLt ou 
FLt 
3º PASSO: 
Escrevemos a equação dimensional de cada uma das variáveis. “r” é o 
número de dimensões primárias. 
 
r= 3 
Determinação dos Grupos π 
4º PASSO: 
Selecione da lista um conjunto de r parâmetros dimensionais que 
inclua todas as dimensões primárias. Estes parâmetros são chamados 
de repetentes e nenhum deles pode ter dimensões que sejam uma 
potência das dimensões de outro repetente. 
Geralmente m=r. No exemplo 2 isto não ocorre. 
O valor de “m” pode ser estabelecido determinando-se o posto da 
matriz dimensional. O posto de uma matriz é igual à ordem do seu 
maior determinante não-nulo. 
 
m=3 
Determinação dos Grupos π 
Dica: uma escolha sensata para a maioria dos problemas é um 
comprimento, uma velocidade e uma massa ou densidade. 
Repetentes: ρ, V, D 
4º PASSO: 
Determinação dos Grupos π 
5º PASSO: 
Forme equações dimensionais, combinando os parâmetros 
selecionados no passo 4 com cada um dos outros parâmetros 
remanescentes, um de cada vez, a fim de formar grupos 
adimensionais. 
n-m = 5-3 = 2 grupos adimensionais 
a=-1; b=-2; c=-2 
Verificar que 
2 
Determinação dos Grupos π 
6º PASSO: 
Certifique-se de que cada grupo obtido é adimensional. 
Determinação dos Grupos π 
Ex. 2) Quando um pequeno tubo é imerso em uma 
poça de líquido, a tensão de superficial causa a 
formação de um menisco na superfície livre, para 
cima ou para baixo dependendo do ângulo de 
contato sólido-líquido-gás. Experiências indicam que 
a magnitude do efeito capilar, Δh, é uma função do 
diâmetro do tubo, D, do peso específico, γ, e da 
tensão superficial, σ. Determine o número de 
parâmetros π independentes que possam ser 
formados e obtenha um conjunto. 
Determinação dos Grupos π 
1º PASSO: 
n = 4 
2º PASSO: 
MLt 
3º PASSO: 
 
r= 3 
Construção da matriz dimensional: 
m= 2 
4º PASSO: 
 
Determinação dos Grupos π 
4º PASSO: 
Repetentes: D e γ 
5º PASSO: 
a=-1; b=0 
Verificar que 
n-m = 4-2 = 2 grupos adimensionais 
Determinação dos Grupos π 
6º PASSO: 
Certifique-se de que cada grupo obtido é adimensional. 
Grupos Adimensionais Importantes Na 
Mecânica dos Fluidos 
• Forças encontradas nos escoamentos: 
• Significado físico de cada parâmetro: 




2V
p
Eu
inérciadeforça
pressãodeforça
Eu 




V
Re
acosvisforça
inérciadeforça
Re

g
V
Fr












2
2
2
g
V





A
A
V
p
2



V
VV


gravidadeadforça
inérciadeforça
Fr

c
V
M 


2
2
c
V
c
V


ilidadecompressíbedforça
inérciadeforça
M 



V
St




VV 2
3


inérciadeforça
centrífugaforça
St




2V
We 



2V
erficialtensãoedforça
inérciadeforça
We
sup

Grupos Adimensionais Importantes Na 
Mecânica dos Fluidos 
Grupos Adimensionais Importantes Na 
Mecânica dos Fluidos 
Semelhança 
 
• É o estudo da previsão das condições do protótipo a 
partir de observações de modelos; 
• A semelhança envolve o uso de parâmetros 
adimensionais obtidos da análise dimensional; 
• Tipos de semelhanças: geométrica, cinemática e 
dinâmica. 
Semelhança 
• Semelhança geométrica: O protótipo e o modelo 
devem ter a mesma forma. 
 
 
 
 
 
 
O modelo pode ser reduzido ou aumentado. 
Semelhança 
• Semelhança cinemática: As velocidades em 
pontos correspondentes têm a mesma direção e 
sentido. 
 
 
 
 
 
 
 
Semelhança 
• Semelhança dinâmica: As forças se relacionam 
em módulo por um fator de escala constante em 
todos os pontos correspondentes do 
escoamento. 
 
 
 
 
 
 
 
Semelhança 
• Considerando a força de arrasto sobre uma esfera, 
tem-se: 
 
 
• Os parâmetros adimensionais podem ser vistos como 
razões entre forças. Logo: 
),,,( VDfF 










VD
f
DV
F
122
protótipoelo
VDVD
















modprotótipoelo ReRemod 
protótipoelo
DV
F
DV
F












22
mod
22 
Semelhança 
Ex. 3) A vazão em volume de glicerina (viscosidade 
cinemática igual a 0,001 m2/s) num oleoduto (diâmetro 
igual a 800 mm) é igual a 1,20 m3/s. O diâmetro dos 
tubos de um modelo deste oleoduto é 50,0 mm e os 
experimentos devem ser realizados com água. Qual 
deve ser a velocidade média no escoamento de água no 
modelo para que o número de Reynolds no modelo seja 
igual ao do protótipo? 
“Porque há esperança para a árvore, que, 
se for cortada, ainda se renovará, e não 
cessarão os seus renovos. Se envelhecer 
na terra a sua raiz, e morrer o seu tronco 
no pó, ao cheiro das água, brotará e dará 
ramos como a planta.” (Jó 14.7-9)