Identidade de Conjuntos

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CONJUNTOS
Prof. Ce´sar Francisco de Moura Couto
Matema´tica Discreta
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CEFET-MG Operac¸o˜es com Conjuntos
Introduc¸a˜o
• Sejam A e B conjuntos. A unia˜o dos conjuntos A e B, indicada por A∪B, e´ o conjunto que
conte´m aqueles elementos que esta˜o em A ou em B, ou em ambos.
A ∪B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}
• Diagrama de Venn
• A unia˜o dos conjuntos {1, 3, 5} e {1, 2, 3} e´ o conjunto {1, 2, 3, 5}
• Sejam A e B conjuntos. A intersec¸a˜o dos conjuntos A e B, indicada por A ∩B, e´ o
conjunto que conte´m aqueles elementos que esta˜o em A e em B, simultaneamente.
A ∩B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}
• Diagrama de Venn
• A intersec¸a˜o dos conjuntos {1, 3, 5} e {1, 2, 3} e´ o conjunto {1, 3}
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Introduc¸a˜o
• Dois conjuntos sa˜o chamados de disjuntos se sua intersec¸a˜o e´ um conjunto vazio.
• Sejam A e B conjuntos. A diferenc¸a entre A e B, indicada por A−B. e´ o conjunto que
conte´m aqueles elementos que esta˜o em A mas na˜o esta˜o em B. A diferenc¸a entre A e B e´
tambe´m chamada de complemente de B em relac¸a˜o a A. A−B = {x|x ∈ A ∧ x /∈ B}
• Diagrama de Venn
• A diferenc¸a dos conjuntos {1, 3, 5} e {1, 2, 3} e´ o conjunto {5}
• Considere U como conjunto universo. O complemento do conjunta A, indicado por A, e´ o
complemento de A em relac¸a˜o a` U . Em outras palavras, o complemento do conjunto A e´
U −A. A = {x|x /∈ A}
• Diagrama de Venn
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Identidades de Conjuntos
Identidades de Conjuntos
Identidade Nome
A ∪ ∅ = A Propriedades dos elementos neutros
A ∩ U = A
A ∪ U = U Propriedades de dominac¸a˜o
A ∩ ∅ = ∅
A ∪A = A Propriedades idempotentes
A ∩A = A
(A) = A Propriedade da complementac¸a˜o
A ∪B = B ∪A Propriedades comutativas
A ∩B = B ∩A
(A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) Propriedades associativas
(A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) Propriedades distributivas
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)
(A ∩B) = A ∪B Leis de De Morgan
(A ∪B) = A ∩B
A ∪ (A ∩B) = A Propriedades de absorc¸a˜o
A ∩ (A ∪B) = A
A ∪A = U Propriedades dos complementares
A ∩A = ∅
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Identidade de Conjuntos
• Demonstre que A ∩B = A ∪B.
• Soluc¸a˜o: Para mostrar que A ∩B = A ∪B, sera´ mostrado que A ∩B ⊆ A ∪B e que
A ∪B ⊆ A ∩B. Primeiro sera´ mostrado que A ∩B ⊆ A ∪B. Enta˜o, suponha que
x ∈ A ∩B. Pela definic¸a˜o de complemento, x /∈ A ∩B. Pela definic¸a˜o de intersec¸a˜o,
¬((x ∈ A) ∧ (x ∈ B)) e´ verdadeira. Aplicando a lei de De Morgan (da lo´gica), vemos que
¬(x ∈ A) ou ¬(x ∈ B). Assim, pela definic¸a˜o de negac¸a˜o, x /∈ A ou x /∈ B. Pela
definic¸a˜o de complemento, x ∈ A ou x ∈ B. Tem-se que, pela definic¸a˜o de unia˜o,
x ∈ A ∪B. Isso mostra que A ∩B ⊆ A ∪B.
• Agora, sera´ mostrado que A ∪B ⊆ A ∩B. Suponha agora que x ∈ A ∪B. Pela definic¸a˜o
de unia˜o, x ∈ A ou x ∈ B. Usando a definic¸a˜o de complemento, tem-se que x /∈ A ou
x /∈ B. Consequentemente,¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B) e´ verdadeira. Pela lei de De Morgan (da
lo´gica), conclui-se que ¬((x ∈ A) ∧ (x ∈ B)) e´ verdadeira. Pela definic¸a˜o de intersec¸a˜o,
tem-se que ¬(x ∈ A ∩B) mante´m-se. Usa-se a definic¸a˜o de complemento para concluir que
x ∈ (A ∩B). Isso mostra que A ∪B ⊆ A ∩B. Como mostra-se que cada conjunto e´ um
subconjunto do outro, os dois conjuntos sa˜o iguais e a identidade esta´ demonstrada.
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Identidade de Conjuntos
• Use a notac¸a˜o de construc¸a˜o do conjunto e equivaleˆncias lo´gicas para estabelecer a segunda lei
de De Morgan A ∩B = A ∪B
• Soluc¸a˜o: Pode-se demonstrar essa identidade seguindo os seguintes passos.
A ∩B = {x|x /∈ A ∩B} pelo definic¸a˜o de complemento
= {x|¬(x ∈ (A ∩B)} pela definic¸a˜o do s´ımbolo: na˜o pertence
= {x|¬(x ∈ A ∧ x ∈ B)} pela definic¸a˜o de intersec¸a˜o
= {x|¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B)} pela primeira lei de De Morgan para equivaleˆncias lo´gicas
= {x|x /∈ A ∨ x /∈ B} pela definic¸a˜o do s´ımbolo: na˜o pertence
= {x|x ∈ A ∨ x ∈ B} pela definic¸a˜o do complemento
= {x|x ∈ A ∪B} pela definic¸a˜o da unia˜o
= A ∪B pelo significado da notac¸a˜o de
construc¸a˜o do conjunto
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Identidade de Conjuntos
• Demonstre a propriedade distributiva que afirma que A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)
• Soluc¸a˜o:
A ∩ (B ∪ C) = {x ∈ A ∧ x ∈ (B ∪ C)} pelo definic¸a˜o de intersec¸a˜o
= {x ∈ A ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C)} pela definic¸a˜o de unia˜o
= {(x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C)} pela propriedade
distributiva (da Lo´gica)
= {x ∈ (A ∩B) ∨ x ∈ (A ∩ C)} pela definic¸a˜o de intersec¸a˜o
= {x ∈ (A ∩B) ∪ x ∈ (A ∩ C)} pela definic¸a˜o de unia˜o
= (A ∩B) ∪ (A ∩ C) pelo significado da notac¸a˜o de
construc¸a˜o do conjunto
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Identidade de Conjuntos
• Demonstre que A ∪ (B ∩ C) = (C ∪B) ∩A
• Soluc¸a˜o:
A ∪ (B ∩ C) = A ∩ (B ∩ C) pela primeira lei de De Morgan
= A ∩ (B ∪ C) pela segunda lei de De Morgan
= (B ∪ C) ∩A pela propriedade comutativa para intersec¸o˜es
= (C ∪B) ∩A pela propriedade comutativa para unio˜es
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Identidade de Conjuntos
• Demonstre que (A−B)− C = A− (B ∪ C)
• Soluc¸a˜o: ?
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