Introdução à Topografia

Prévia do material em texto

Topografia – Notas de aula 1 
TOPOGRAFIA 
 
 
1) Introdução 
 
Topografia é a área da engenharia que estuda os processos e métodos para o 
levantamento de uma pequena área da superfície terrestre, bem como seu contorno, dimensões 
e posição relativa, sem considerar a curvatura terrestre. A Topografia atua tanto na superfície 
terrestre como nos interiores de minas e fundos de rios, lagos e mares. 
Na Topografia, para representações e cálculos, supõe-se a Terra como sendo plana, 
quando na realidade ela é um elipsóide de revolução, podendo ser representado como uma 
esfera. 
 Pode-se afirmar que quando as distâncias forem muito pequenas, seus valores medidos 
sobre a superfície esférica resultarão sensivelmente iguais àqueles medidos sobre um plano. 
 Através da Topografia pode-se figurar em um plano a imagem da região considerada; 
isto equivale a dizer que pode-se projetar sobre um plano horizontal, dentro da superfície 
considerada, todos os detalhes naturais e artificiais nela compreendidos. 
 
Representação de uma superfície Topográfica 
A porção da superfície terrestre, levantada topograficamente, é representada através de uma 
projeção ortogonal cotada e denomina-se superfície topográfica. 
 
 
 
 
Divisões da Topografia 
 
Classicamente, visando atender aos seus objetivos, a topografia se divide em: 
topometria e topologia. 
A topometria estuda os processos clássicos de medida de distância, ângulos e 
diferença de nível. Encarrega-se, portanto, da medida das grandezas lineares e angulares, quer 
seja no plano horizontal ou no plano vertical, objetivando definir o posicionamento relativo 
dos pontos topográficos (ponto topográfico é qualquer ponto do terreno que contribui para a 
definição das medidas lineares ou angulares). Por sua vez, a topometria se divide em: 
planimetria e altimetria. 
a) A planimetria estuda e estabelece os procedimentos e métodos de medida, no plano 
horizontal, de distâncias e ângulos, e a conseqüente determinação de coordenadas planas 
(X,Y) de pontos de interesse. Para representá-las deve ser feita através de uma vista de cima e 
Topografia – Notas de aula 2 
elas aparecerão projetadas sobre um mesmo plano horizontal. Essa representação chama-se 
planta. 
b) A altimetria estuda e estabelece os procedimentos e métodos de medida de distâncias 
verticais ou diferenças de nível, incluindo-se a medida de ângulos verticais. E a operação 
topográfica que visa ao levantamento de dados altimétricos é o nivelamento. A topometria 
pode alcançar o seu objetivo mediante três procedimentos distintos: 
1) efetuando medidas de grandezas angulares e lineares em relação a um plano 
horizontal de referência: planimetria; efetuando medidas de grandezas angulares e lineares em 
relação a um plano vertical de referência: altimetria; 
2) efetuando conjuntamente medidas de grandezas angulares e lineares em relação aos 
planos horizontal e vertical, determinando assim as posições relativas dos pontos 
topográficos, bem como suas respectivas alturas – taqueometria (Taqueometria: do grego 
“takhys” (rápido), “metrum” (medida). São levantamentos topográficos denominados 
planialtimétricos; 
3) efetuando medidas de ângulos, distâncias e diferenças de nível sobre fotografias 
tomadas de pontos do terreno: fotogrametria terrestre; ou sobre fotografias tomadas a partir 
de aeronaves: aerofotogrametria. 
 
Sistemas de Coordenadas Geográficas 
 
A latitude de um ponto é o ângulo medido ao longo do meridiano do lugar (meridiano 
de Greenwich), com origem o Equador. Varia entre -90º e +90º. O sinal negativo indica 
latitudes do hemisfério sul e o sinal positivo hemisférico norte. 
A longitude é o ângulo medido ao longo do Equador, tendo origem em um meridiano 
de referência. Varia de 0º a 180º, positivamente para Oeste e negativamente para Leste. 
A posição de qualquer ponto da superfície da Terra fica perfeitamente definida através 
das suas coordenadas geográficas e a sua altitude (Figura 1.4). 
 
Figura 1.4: Representação das coordenadas geográficas (latitude e longitude) de um ponto P. 
Linha do Equador: é o círculo máximo da Terra, cujo plano é normal à linha dos pólos. 
Paralelos: são os círculos cujos planos são paralelos ao plano do Equador. Os paralelos 
mais importantes são: Trópico de Capricórnio (O = 23°23’S) e Trópico de Câncer (O = 
23°23’N). 
Meridianos: são as seções elípticas cujos planos contêm a linha dos pólos e que são 
normais aos paralelos. 
Vertical do lugar: é a linha que passa por um ponto da superfície terrestre (em direção 
ao centro do planeta) e que é normal à superfície representada pelo geóide naquele ponto. Esta 
Topografia – Notas de aula 3 
linha é materializada pelo “fio de prumo” dos equipamentos de medição (teodolito, estação, 
nível etc.), ou seja, a direção na qual atua a força da gravidade. 
Coordenadas Geográficas: é o nome dado aos valores de latitude e longitude que 
definem a posição de um ponto na superfície terrestre. Esses valores dependem do elipsóide 
de referência utilizado para a projeção do ponto em questão. 
 
 
2) Unidades de medidas 
 
Medidas lineares 
 
 Utiliza-se o sistema métrico decimal [m] e seus derivados: 
 
[nm]: nanômetro = 1 x 10
-9
 m = 0,000000001 m 
[μm]: micrômetro = 1 x 10-6 m = 0,000001 m 
[mm]: milímetro = 1 x 10
-3
 m = 0,001 m 
[cm]: centímetro = 1 x 10
-2
 m = 0,01 m 
[dm]: decímetro = 1 x 10
-1
 m = 0,1 m 
[dam]: decâmetro = 1 x 10 m = 10 m 
[hm]: hectômetro = 1 x 10
2
 m = 100 m 
[km]: quilômetro = 1 x 10
3
 m = 1000 m 
 
 
Prefixos das unidades SI 
 
Nome Símbolo Fator de multiplicação da unidade 
yotta Y 10
24
 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 
zetta Z 10
21
 = 1 000 000 000 000 000 000 000 
exa E 10
18
 = 1 000 000 000 000 000 000 
peta P 10
15
 = 1 000 000 000 000 000 
tera T 10
12
 = 1 000 000 000 000 
giga G 10
9
 = 1 000 000 000 
mega M 10
6
 = 1 000 000 
quilo k 10³ = 1 000 
hecto h 10² = 100 
deca da 10 
deci d 10
-1
 = 0,1 
centi c 10
-2
 = 0,01 
mili m 10
-3
 = 0,001 
micro µ 10
-6
 = 0,000 001 
nano n 10
-9
 = 0,000 000 001 
pico p 10
-12
 = 0,000 000 000 001 
femto f 10
-15
 = 0,000 000 000 000 001 
atto a 10
-18
 = 0,000 000 000 000 000 001 
zepto z 10
-21
 = 0,000 000 000 000 000 000 001 
yocto y 10
-24
 = 0,000 000 000 000 000 000 000 001 
 
 
 
 
Topografia – Notas de aula 4 
Em um terreno relativamente plano, as medidas lineares serão a distância horizontal 
entre A e B: 
 
 
 
 
Para um terreno inclinado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Medidas angulares 
Sistema sexagesimal: grau (º), minuto (’) e segundo (”) 
Exemplo: 35º 12’ 54” 
 
 Medidas de área 
[cm²]: centímetro quadrado = 0,0001 m² 
[m²]: metro quadrado = 1 m² 
[km²]: kilômetro quadrado = 1.000.000 m² 
are = 100 m² 
acre = 4.046,86 m² 
[ha] hectare = 10.000 m² 
alqueire paulista = 2,42 ha = 24.200 m² 
alqueire mineiro = 4,84 ha = 48.400 m² 
 
 Medidas de volume 
[cm³]: centímetro cúbico = [ml]: mililitro = 0,000000001 m³ 
[l]: litro = [dm³]: decímetro cúbico = 0,001 m³ 
[m³]: metro cúbico = 1 m³ 
A B 
AB 
L1 
L2 
L3 
A 
B 
AB = L1 + L2 + L3 
Topografia – Notas de aula 5 
3) Escala 
 
 Para a representação dos detalhes medidos no campo (objeto), sobre uma folha de 
papel (modelo), as distâncias são reduzidas segundo uma razão constante (escala). 
 
 Escala de ampliação: 
L
l
M
 
 
 L = valor inteiro 
 
 Exemplo: escala 1:100 ou 1/100. Isso quer dizer que 1 unidadeno modelo equivale a 
100 unidades no objeto (terreno). 
 
 
4) Elementos angulares 
 
 Unidades: Sistema sexagesimal: grau (º), minuto (’) e segundo (”). 
Exemplo: 12º32’44” 
 
 Azimute:azimute de uma linha é o ângulo formado entre a direção norte e a linha 
considerada. O azimute é obtido a partir do norte no sentido horário, variando de 0º a 360º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rumos: rumo de uma linha é o ângulo formado entre a direção norte-sul e a linha, medido a 
partir do norte ou do sul, na direção da linha e variando no intervalo de 0º a 90º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
s 
Azimute A-B 
Sentido horário 
N 
N 
C 
B 
A D 
s 
P 
RP-C 
RP-B 
RP-D 
RP-A 
Topografia – Notas de aula 6 
Os rumos são definidos pelos quadrantes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Métodos de levantamentos topográficos 
 
 Fazer um levantamento topográfico é proceder a todas as operações necessárias para 
alcançar os objetivos da Topografia, isto é, a medição de ângulos e distâncias e a execução de 
desenhos e cálculos necessários à representação fiel no papel dos elementos colhidos no 
trabalho de campo. 
 Para e execução de um levantamento planimétrico comum de uma poligonal, deve-se 
fazer uma operação denominada de caminhamento. Consiste em percorrer todo o perímetro do 
polígono, medindo todos os ângulos e lados. 
 Existem três métodos: 
 
 Ângulos internos: consiste em medir todos os ângulos internos do polígono e seus 
lados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fechamento angular: ang int = 180º . (n – 2) 
 
 n: número de lados do polígono 
 
Se ang int 180º . (n – 2) => erro angular de fechamento 
N 
S 
E W 
(SW) (SE) 
(NW) (NE) 
0 
3 2 
1 
4 
Sentido do caminhamento Sentido do caminhamento 
N 
Topografia – Notas de aula 7 
 Deflexões: consiste em medir a deflexão de cada vértice. Deflexão é o ângulo formado 
em um vértice, entre o prolongamento da linha anterior e a linha seguinte. A deflexão varia de 
0º a 180º à esquerda ou à direita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fechamento angular: Defl D – Defl E = 360º 
 
Se Defl D – Defl E 360º => erro angular de fechamento 
 
 
 Azimutes acumulados: também denominado “Conservação de Azimutes”, consiste em 
“carregar”, durante a leitura com o teodolito, o azimute inicial. Em poligonais fechadas o 
azimute inicial deve ser igual ao azimute final. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N 
Az 
inicial 
Defl 0-1 
Defl 1-2 
Defl 2-3 
Defl 3-4 
Defl 4-5 
Defl 5-0 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
Az inicial 
Az 1-2 
Az 2-3 
Az 3-0 
Az final 
N 
N 
N 
N 
0 
3 
2 
1 
Topografia – Notas de aula 8 
6) Cálculo de rumos 
 
 
Ângulos internos 
 
Estaca Pto visado Az. inicial Âng interno Rumos Q 
0 1 48º12’ 48º12’ NE 
1 2 85º10’ 36º58’ SE 
2 3 90º20’ 52º42’ SW 
3 0 80º11’ 27º29’ NW 
0 1 104º17’ 48º14’ NE 
 
 
ang int = 180º . (n – 2) => 359º58’ 
 
ξ = ± 2’ 
 
 
 
Estaca Pto visado Az. inicial Âng interno Rumos Q 
0 1 142º31’ 
1 2 102º14’ 
2 3 93º06’ 
3 4 201º16’ 
4 5 134º01’ 
5 0 107º19’ 
0 1 82º02’ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Topografia – Notas de aula 9 
7) Coordenadas Parciais 
 
 Coordenadas parciais de um polígono são as projeções dos vértices (pontos) do 
polígono sobre um sistema de eixos (x, y), passando pelo vértice anterior. 
 O sistema de eixos (x, y) são orientados com sendo a direção Norte-Sul o eixo das 
ordenadas (y) e a direção Leste-Oeste o eixo das abscissas (x). Portanto, em cada vértice, tem-
se um sistema de coordenadas que serão as projeções de cada extremo do alinhamento. 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo das coordenadas parciais: 
 
 Dado um ponto P qualquer, temos: 
 
 
 
 
 
 
0 
1 
2 
3 
y 
y 
y 
x 
x 
x 
x 
y1 
y2 
y3 
y0 
x1 
x1 
x3 
x0 
R0-P 
y 
x 
P 
YP 
xP 0 
d 
y 
Topografia – Notas de aula 10 
d
x
senR PP0
 => 
PP senRdx 0.
 
 
d
y
R PP0cos
 => 
PP Rdy 0cos.
 
 
Portanto, (xP, yP) são as coordenadas cartesianas do ponto P em relação a um sistema 
de eixos passando pela origem 0. 
 
Os valores de x e y, devem ser acompanhados de sinal, já que podem existir outros 
pontos com os mesmos valores absolutos das coordenadas em outro quadrante. Assim, temos: 
 
 
 
 
8) Erro Linear de Fechamento 
 
 Em um poligonal fechada, a soma dos valores das coordenadas parciais x e y deve ser 
igual a zero. Na prática, as somas resultam diferentes de zero devido a erros nas medidas 
lineares. 
 Para satisfazer a condição de igualdade, tem-se: 
 
0
1
xxi
n
i
 e 
0
1
yyi
n
i
 
 
 Sendo ∆x e ∆y os erros lineares em coordenadas, isto é, são os catetos do triângulo 
retângulo formado pelo deslocamento do ponto 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
E W 
S 
NE 
SE 
NW 
SW 
y + 
x + 
y - 
x + 
y + 
x - 
y - 
x - 
N 
y 
x 
 
y 0’ 
∆y 
∆x 
0 
e 
Topografia – Notas de aula 11 
O erro linear de fechamento é a hipotenusa do triângulo retângulo: 
 
22
yxe
 
 
Erro relativo: 
100.
p
e
Er
 (%) onde p = perímetro do polígono 
 
Erro relativo máximo permitido: Er 0,1% 
 
 
Distribuição do erro linear 
 Quando o erro for aceitável, deve-se fazer as correções das coordenadas parciais para 
que o polígono se torne fechado. 
 
Dada a seguinte proporção: 
 
 
i
x
xi
x
i
xi l
p
C
pl
C
.
 
 
 
i
y
yi
y
i
yi
l
p
C
pl
C
.
 
 
onde: Cxi = correção das abscissas 
 Cyi = correção das ordenadas 
 
Ao efetuar-se a divisão de x pelo perímetro p, obtém-se uma constante ou fator de 
correção, que deverá ser multiplicada pelo valor de cada lado da poligonal; idem para y. 
Os sinais de Cxi e Cyi serão dados em função dos sinais de x e y. 
Quando x for positivo, todos os valores de Cxi deverão ser negativos. Caso x for 
negativo, os valores de Cxi serão positivos. Idem para y e Cyi. 
Obtidos os valores das correções, calcula-se as coordenadas parciais compensadas. 
 
n
i
xxiC
1
0
 
 
n
i
yyiC
1
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Topografia – Notas de aula 12 
9) Coordenadas Totais (X, Y) 
 
 São as projeções de cada vértice do polígono sobre um sistema de eixos cartesianos 
passando pelo vértice inicial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X1 = x1 X2 = X1 + x2 X3 = X2 + x3 X0 = X3 + x0 = 0 
Y1 = y1 Y2 = Y1 + y2 Y3 = Y2 + y3 Y0 = Y3 + y0 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 
1 
2 
3 
Y 
X X1 
Y1 
Y2 
X2 
Y3 
X3 
Topografia – Notas de aula 13 
10) Cálculo da área pelas coordenadas totais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Área (A): 
 
2
)).((
2
)).((
2
)).((
2
)).((3030011032322121 YYXXYYXXYYXXYYXXA
 
 
 
)]).(()).(.[(
2
1
)]).(()).(.[(
2
1
3030011032322121 YYXXYYXXYYXXYYXXA
 
 
 
)]}).(()).([()]).(()).(.{[(
2
1
3030011032322121 YYXXYYXXYYXXYYXXA
 
 
 
)]).(()).([()]).(()).([(.2 3030011032322121 YYXXYYXXYYXXYYXXA
 
 
0 
1 
2 
3 
Y 
X 
X1 
Y1 
Y2 
X2 
Y3 
X3 
X0 
Y0