AP1 Calculo 1

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AP1/AP1-CL1-2010.2-Gabarito.pdf
AP01 - Resposta - 2/2010 Ca´lculo I
Resposta da AP01 - Ca´lculo I
1aQuesta˜o [2, 0 pontos]
Calcule os seguintes limites de func¸o˜es:
(a) lim
x→5
5x− 25
x2 − 25 ; (b) limx→0
sen (3x)
2x
.
Resposta:
(a) lim
x→5
5x− 25
x2 − 25 = limx→5
5(x− 5)
(x− 5)(x+ 5) = limx→5
5
x+ 5
=
5
10
=
1
2
.
(b) lim
x→0
sen (3x)
2x
= lim
x→0
3 sen (3x)
3(2x)
=
3
2
lim
x→0
sen (3x)
3x
=
3
2
.
2aQuesta˜o [2, 0 pontos]
Encontre as ass´ıntotas verticais e as ass´ıntotas horizontais do gra´fico da func¸a˜o
f(x) =
x− 4
x+ 1
Resposta: Temos que:
lim
x→+∞
x− 4
x+ 1
= lim
x→+∞
x
(
1− 4
x
)
x
(
1 +
1
x
) = 1 e lim
x→−∞
x− 4
x+ 1
= lim
x→−∞
x
(
1− 4
x
)
x
(
1 +
1
x
) = 1.
Logo, y = 1 e´ a u´nica ass´ıntota horizontal do gra´fico da func¸a˜o f .
Por outro lado, temos que:
lim
x→−1+
x− 4
x+ 1
= −∞, pois x− 4→ −5 e x+ 1→ 0+ quando x→ −1+ e
lim
x→−1−
x− 4
x+ 1
= +∞, pois x− 4→ −5 e x+ 1→ 0− quando x→ −1−.
Logo, x = −1 e´ a u´nica ass´ıntota vertical do gra´fico da func¸a˜o f .
1
AP01 - Resposta - 2/2010 Ca´lculo I
3aQuesta˜o. [2, 0 pontos]
Encontre os valores de a e b para que a func¸a˜o
f(x) =

2x− 1, se x ≤ −1
x2 − 2ax+ b, se −1 < x < 1
4− x, se x ≥ 1
seja cont´ınua.
Resposta: Para que a func¸a˜o f seja cont´ınua em x = −1 e em x = 1, devemos ter:
lim
x→−1+
f(x) = lim
x→−1−
f(x) = f(−1) e lim
x→1+
f(x) = lim
x→1−
f(x) = f(1).
Temos que:
(i) f(−1) = −3
(ii) f(1) = 3
(iii) lim
x→−1+
f(x) = lim
x→−1+
x2 − 2ax+ b = 1 + 2a+ b
(iv) lim
x→−1−
f(x) = lim
x→−1−
2x− 1 = −3
(v) lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
4− x = 3
(vi) lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
x2 − 2ax+ b = 1− 2a+ b
De (i) = (iii) = (iv) e (ii) = (v) = (vi), obtemos, respectivamente, as equac¸o˜es
2a+ b = −4 e −2a+ b = 2. Da´ı, a = −3
2
e b = −1.
4aQuesta˜o [2, 0 pontos]
Determine a equac¸a˜o da reta tangente a` curva xy2 − 4xy = 6 no ponto (−2, 1).
Resposta: Derivando implicitamente, obtemos:
y2 + 2xy
dy
dx
− 4y − 4x dy
dx
= 0 ⇒ dy
dx
(2xy − 4x) = 4y − y2 ⇒ dy
dx
=
4y − y2
2xy − 4x .
Assim,
f ′(−2) = dy
dx
∣∣∣
x=−2
=
4(1)− (1)2
2(−2)(1)− 4(−2) =
3
4
.
2
AP01 - Resposta - 2/2010 Ca´lculo I
Logo, a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto (−2, 1) e´
y − 1 = 3
4
(x+ 2) =⇒ y = 1 + 3
4
(x+ 2) =⇒ y = 3
4
x+
10
4
, isto e´, y =
3
4
x+
5
2
.
5aQuesta˜o [2, 0 pontos]
Calcule da derivada de cada uma das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) =
3x
4 + x2
(b) f(x) = 6 sen (x2 + 1)
Resposta:
(a) f ′(x) =
3(4 + x2)− (3x)(2x)
(4 + x2)2
=
12− 3x2
(4 + x2)2
(b) f ′(x) = 6 cos (x2 + 1) (2x) = 12x cos (x2 + 1)
3
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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
RESPOSTAS – AP1 – CA´LCULO 1 – 23/09/2012
Nome: Matr´ıcula:
Po´lo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res-
ponsa´vel;
Questa˜o 1 [2 pontos]
Calcule os seguintes limites de func¸o˜es:
(a) lim
x→−1
4x2 − 8x− 12
x3 + 3x2 + 2x
(b) lim
x→2
9 sen (x2 − 4)
3x2 − 12
Soluc¸a˜o.
(a) lim
x→−1
4x2 − 8x− 12
x3 + 3x2 + 2x
= lim
x→−1
4(x− 3)(x+ 1)
x(x+ 2)(x+ 1)
= lim
x→−1
4(x− 3)
x(x+ 2)
=
−16
−1 = 16.
(b) lim
x→2
9 sen (x2 − 4)
3x2 − 12 = limx→2
9 sen (x2 − 4)
3(x2 − 4) = 3.
Observe que, no item (a), usamos a simplificac¸a˜o para calcular o limite. No item (b), fizemos um
ajuste na expressa˜o para usar o Limite Trigonome´trico Fundamental,
lim
t→0
sen t
t
= 1,
uma vez que, se x→ 2, enta˜o o argumento (x2 − 4) tende a zero.
Questa˜o 2 [2 pontos]
Encontre as ass´ıntotas verticais e as ass´ıntotas horizontais do gra´fico da func¸a˜o f(x) =
3x− 1
2 + x
,
fazendo um estudo completo dos limites infinito e no infinito:
Soluc¸a˜o.
A expressa˜o da func¸a˜o, f(x) =
3x− 1
2 + x
, indica que x = −2 sera´ uma ass´ıntota vertical. Para
confirmar o comportamento da func¸a˜o nas vizinhanc¸as deste ponto devemos calcular os limites
laterais:
(i) lim
x→−2+
3x− 1
2 + x
= −∞, pois 3x− 1→ −7 < 0 e 2 + x→ 0+ quando x→ −2+;
(ii) lim
x→−2−
3x− 1
2 + x
= +∞, pois 3x− 1→ −7 < 0 e 2 + x→ 0− quando x→ −2−.
CA´LCULO 1 AP1 2
Para estudar a poss´ıvel existeˆncia de ass´ıntotas horizontais, devemos fazer o estudo dos limites no
infinito:
(iii) lim
x→+∞
3x− 1
2 + x
= lim
x→+∞
x
(
3− 1
x
)
x
(2
x
+ 1
) = 3;
(iv) lim
x→−∞
3x− 1
2 + x
= lim
x→−∞
x
(
3− 1
x
)
x
(2
x
+ 1
) = 3.
Dos estudos dos limites, podemos concluir, de (i) e (ii) que a reta x = −2 e´ a u´nica ass´ıntota
vertical do gra´fico de f e, de (iii) e (iv), que a reta y = 3 e´ a u´nica ass´ıntota horizontal do gra´fico
de f .
Questa˜o 3 [2 pontos]
Seja f : R −→ R a func¸a˜o definida por
f(x) =

ax+ b, se x < −1
x2 − x− 5
x+ 2
, se x ≥ −1.
(a) Encontre os valores de a e b para os quais f seja cont´ınua. Justifique sua resposta.
(b) Encontre os valores de a e b para os quais f seja diferencia´vel. Justifique sua resposta.
Soluc¸a˜o.
(a) Observe que a func¸a˜o f , independentemente dos valores atribu´ıdos a`s constantes a e b, sera´
cont´ınua e diferencia´vel em todos os nu´meros reais x 6= −1. Veja que a expressa˜o x
2 − x− 5
x+ 2
na˜o esta´ definida em x = −2, mas −2 < −1.
Para que a func¸a˜o f seja cont´ınua em x = −1, devemos ter:
lim
x→−1+
f(x) = lim
x→−1−
f(x) = f(−1).
Observe tambe´m que:
(i) f(−1) = −3;
(ii) lim
x→−1+
f(x) = lim
x→−1+
x2 − x− 5
x+ 2
= −3;
(iii) lim
x→−1−
f(x) = lim
x→1−
ax+ b = −a+ b.
Assim, a condic¸a˜o para f ser cont´ınua em x = −1 e´ −a+ b = 3, que tambe´m pode ser expressa
como b = a+ 3.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
CA´LCULO 1 AP1 3
(b) Para que f seja diferencia´vel em x = −1, devemos ter:
f ′+(−1) = f ′−(1) = f ′(−1).
Para calcular f ′+(1) e f
′
−(−1), podemos usar as regras de derivac¸a˜o:
f ′−(x) = (ax+ b)
′ = a
e
f ′+(x) =
(x2 − x− 5
x+ 2
)′
=
(2x− 1)(x+ 2)− (x2 − x− 5)
(x+ 2)2
=
=
2x2 + 4x− x− 2− x2 + x+ 5
(x+ 2)2
=
x2 + 4x+ 3
(x+ 2)2
.
Portanto, a condic¸a˜o para que f seja diferencia´vel em x = −1 e´ f ′−(−1) = a = f ′+(−1) = 0.
Ou seja, a = 0 e, consequentemente, b = 3, pois a condic¸a˜o de ser cont´ınua tambe´m deve ser
satisfeita.
Note que ha´ uma infinidade de possibilidades para a e b nas quais f sera´ cont´ınua. Basta que b
seja igual a a+ 3. No entanto, para que f seja diferencia´vel, a condic¸a˜o determina de maneira
u´nica a e b como 0 e 3, respectivamente.
Resumindo, a resposta do item (a) e´ b = a+ 3 e a resposta do item (b) e´ a = 0 e b = 3.
Questa˜o 4 [2 pontos]
Determine a equac¸a˜o da reta tangente a` curva y2 + 2xy − x2 = −7 no ponto P = (2,−1).
Soluc¸a˜o.
Derivando implicitamente, obtemos:
2y
dy
dx
+ 2y + 2x
dy
dx
− 2x = 0 ⇒ dy
dx
(2x+ 2x) = 2x− 2y ⇒ dy
dx
=
x− y
x+ y
, se x+ y 6= 0.
Assim,
f ′(2) =
dy
dx
∣∣∣
x=2
=
2− (−1)
2 + (−1) =
3
1
= 3.
Logo, a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto P = (2,−1) e´:
y = −1 + 3(x− 2) = 3x− 7.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
CA´LCULO 1 AP1 4
Questa˜o 5 [2 pontos]
Considere a func¸a˜o f(x) =
x2 − 2x+ 1
x+ 1
. Determine os intervalos onde f e´ crescente e os intervalos
onde f e´ decrescente.
Soluc¸a˜o.
O crescimento ou decrescimento do gra´fico da func¸a˜o f sera´ deduzido da ana´lise do sinal da derivada
da func¸a˜o. Assim, calculamos f ′(x) =
x2 + 2x− 3
(x+ 1)2
, para todo x ∈ R− {−1}.
Como o denominador da expressa˜o, (x + 1)2, e´ sempre positivo (para x 6= −1), o sinal de f ′ sera´
determinado pelo sinal da expressa˜o quadra´tica x2 + 2x − 3 = (x + 3)(x − 1). As ra´ızes sa˜o −3
e 1. A derivada f ′ sera´ positiva para todos os valores de x tais que x < −3 ou x > 1. Isso pode
ser expresso na forma de intervalos como (−∞, −3) ∪ (1, +∞). Ale´m disso, f ′ sera´ negativa para
todos os valores entre as ra´ızes −3 e 1, lembrando da condic¸a˜o x 6= −1. Isso pode ser expresso em
forma de intervalos como (−3, −1) ∪ (−1, 1).
Podemos enta˜o concluir que
(i) f ′(x) > 0 ⇐⇒ x2 + 2x− 3 > 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞,−3) ∪ (1,+∞);
(ii) f ′(x) < 0 ⇐⇒ x2 + 2x− 3 < 0 e x 6= −1 ⇐⇒ x ∈ (−3,−1) ∪ (−1, 1).
Assim, a func¸a˜o f e´ crescente nos intervalos (−∞,−3) e (1,+∞) e e´ decrescente nos intervalos
(−3,−1) e (−1, 1).
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
AP1/AP1-CL1-2008.2-Gabarito.pdf
Respostas da AP1 de Ca´lculo I- 2/2008
1a Questa˜o (2,0) Calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→2
x2 − 4
x− 2 = limx→2
(x+ 2) (x− 2)
x− 2 = limx→2 x+ 2 = 4
(b) lim
x→∞
x2 − 2x+ 5
2x3 + 4
= lim
x→∞
x2−2x+5
x3
2x3+4
x3
= lim
x→∞
1
x
− 2 1
x2
+ 5 1
x3
2 + 4 1
x3
=
0
2
= 0
2a Questa˜o (2,0) Observando o gra´fico da func¸a˜o f , esboc¸ado na figura a seguir, determine
o seguinte:
a) f(2)= 1 b) f(−1)= −2 c) lim
x→−1
f(x)= −2 d) lim
x→0
f(x)= −1
e) lim
x→2
f(x)= 1
c
s−1−3
2
s1
−2
−1
Gra´fico de f
3a Questa˜o (2,0) Calcule a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o f(x) =
2x
x2 + 1
no ponto (1, 1).
g′(x) =
2(x2 + 1)− 2x 2x
(x2 + 1)2
=
−2x2 + 2
(x2 + 1)2
= 2
1− x2
(x2 + 1)2
, g′(1) = 0.
A equac¸a˜o da reta procurada e´ y − 1 = 0 ou y = 1.
4a Questa˜o (2,0) Calcule as derivadas das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = (4x− 1)3 f ′(x) = 3 (4x− 1)2 4 = 12 (4x− 1)2
(b) g(x) =
√
x (x2 − 5) g′(x) = 1
2
√
x
(x2 − 5) + 2x√x
5a Questa˜o (2,0) Derive implicitamente xy3 − x5y2 = 4 em relac¸a˜o a x.
y3 + x 3y2 y′ − 5x4 y2 − x5 2y y′ = 0
(3xy2 − 2x5y) y′ = 5x4 y2 − y3
y′ =
5x4y2 − y3
3xy2 − 2x5y =
y2 (5x4 − y)
y (3xy − 2x5) =
5x4y − y2
3xy − 2x5 =
y(5x4 − y)
x(3y − 2x4)
1
AP1/AP1-CL1-2010.1-Gabarito.pdf
AP01 - resposta - 1/2010 Ca´lculo I
Resposta da AP01 - Ca´lculo I
1aQuesta˜o.
Calcule os seguintes limites de func¸o˜es:
(a) lim
x→3
x2 − 9
x− 3 (b) limx→0
4 sen (3x)
5x
Soluc¸a˜o:
(a) lim
x→3
x2 − 9
x− 3 = limx→3
(x− 3)(x+ 3)
x− 3 = limx→3 x+ 3 = 6
(b) lim
x→0
4 sen (3x)
5x
=
4
5
lim
x→0
3 sen (3x)
3x
=
4
5
lim
x→0
[
3
sen (3x)
3x
]
=
12
5
2aQuesta˜o.
Encontre as ass´ıntotas verticais e as ass´ıntotas horizontais do gra´fico da func¸a˜o real
dada por f(x) =
2x− 1
x+ 3
, fazendo um estudo completo dos limites infinito e no infinito.
Soluc¸a˜o:
Temos que:
(i) lim
x→−3+
2x− 1
x+ 3
= −∞, pois 2x− 1→ −7 e x+ 3→ 0+, quando x→ −3+
(ii) lim
x→−3−
2x− 1
x+ 3
= +∞, pois 2x− 1→ −7 e x+ 3→ 0−, quando x→ −3−
(iii) lim
x→+∞
2x− 1
x+ 3
= lim
x→+∞
x
(
2− 1
x
)
x
(
1 +
3
x
) = 2
(iv) lim
x→−∞
2x− 1
x+ 3
= lim
x→−∞
x
(
2− 1
x
)
x
(
1 +
3
x
) = 2
Logo, x = −3 e´ a u´nica ass´ıntota vertical do gra´fico de f e y = 2 e´ a u´nica ass´ıntota
horizontal do gra´fico de f .
3aQuesta˜o.
1
AP01 - resposta - 1/2010 Ca´lculo I
Determine os valores de a e b, tais que a func¸a˜o f : R −→ R, definida por
f(x) =

x2 − 2x se x ≤ 3,
a x+ b se x > 3
(i) seja cont´ınua; (ii) seja diferencia´vel.
Soluc¸a˜o:
Para que f seja cont´ınua, os limites laterais, quando x → 3, devem coincidir e serem
iguais ao valor da func¸a˜o f(3) = 3.
lim
x→3−
f(x) = lim
x→3−
(x2 − 2x) = 3 = f(3);
lim
x→3+
f(x) = lim
x→3+
(a x+ b) = 3a+ b.
Portanto, para que a func¸a˜o seja cont´ınua, 3a+ b = 3.
Agora, devemos assumir a condic¸a˜o obtida no item anterior, pois toda func¸a˜o diferencia´vel
e´, necessariamente, cont´ınua, e calcular a derivada em x = 3 usando a definic¸a˜o de derivada
num ponto, com limites laterais. Ou seja, vamos substituir b por 3− 3a
f ′−(3) = lim
x→3−
f(x)− 3
x− 3 = limx→3−
x2 − 2x− 3
x− 3 = limx→3− x+ 1 = 4;
f ′+(3) = lim
x→3+
f(x)− 3
x− 3 = limx→3+
a x+ 3− 3a− 3
x− 3 = limx→3+
a x− 3a
x− 3 = a.
Conclusa˜o: para que f seja cont´ınua, basta que 3a + b = 3. No entanto, para que f seja
diferencia´vel, e´ preciso que a = 4 e, portanto, b = −9.
4aQuesta˜o.
Determine a equac¸a˜o da reta tangente a` curva y =
x
x− 1 na origem.
Soluc¸a˜o:
O ponto de tangeˆncia e´ a origem (0, 0), logo a inclinac¸a˜o da reta tangente e´ m = y′(0).
Derivando-se encontramos y′(x) =
1
(1− x)2 e, portanto, y
′(0) = 1.
Da´ı, a reta tangente e´ y = x.
2
AP01 - resposta - 1/2010 Ca´lculo I
5aQuesta˜o.
Uma part´ıcula esta´ percorrendo a curva definida por x2 + 4y2 = 8. Sabemos que
dx
dt
= 3 no instante em que a part´ıcula passa o ponto (−2, 1). Determine dy
dt
neste exato
instante.
Soluc¸a˜o:
Derivamos a equac¸a˜o x2 + 4y2 = 8 em relac¸a˜o a t, admitindo que x e y dependem dessa
varia´vel:
2x
dx
dt
+ 8y
dy
dt
= 0
x
dx
dt
+ 4y
dy
dt
= 0
Agora, como
dx
dt
= 3 no instante que x = −2 e y = 1, obtemos a resposta procurada:
dy
dt
=
3
2
.
3
AP1/AP1-CL1-2012.1-Gabarito.pdf
AP01 - Resposta - 1/2012 Ca´lculo I
Resposta da AP01 - Ca´lculo I
1aQuesta˜o. [2, 0 pontos]
Calcule os seguintes limites de func¸o˜es:
(a) lim
x→−2
x3 − x2 − 6x
x2 + x− 2 (b) limx→4
sen(x− 4)
16− x2
Soluc¸a˜o:
(a) lim
x→−2
x3 − x2 − 6x
x2 + x− 2 = limx→−2
x(x− 3)(x+ 2)
(x− 1)(x+ 2) = limx→−2
x(x− 3)
x− 1 =
−10
3
(b) lim
x→4
sen(x− 4)
16− x2 = limx→4
[
sen(x− 4)
(4− x)(4 + x)
]
= lim
x→4
[
sen(x− 4)
−(x− 4)(4 + x)
]
=
= lim
x→4
[
1
−(4 + x)
sen(x− 4)
x− 4 =
]
= lim
x→4
1
−(4 + x) limx→4
sen(x− 4)
x− 4 = −
1
8
2aQuesta˜o. [2, 0 pontos]
Encontre as ass´ıntotas verticais e as ass´ıntotas horizontais do gra´fico da func¸a˜o f dada
abaixo, fazendo um estudo completo dos limites infinito e no infinito:
f(x) =
√
1 + 4x2
x− 2
Soluc¸a˜o:
Temos que:
(i) lim
x→2+
√
1 + 4x2
x− 2 = +∞, pois
√
1 + 4x2 → √17 e x− 2→ 0+ quando x→ 2+;
(ii) lim
x→2−
√
1 + 4x2
x− 2 = −∞, pois
√
1 + 4x2 → √17 e x− 2→ 0− quando x→ 2−;
(iii) lim
x→+∞
√
1 + 4x2
x− 2 = limx→+∞
√
x2
( 1
x2
+ 4
)
x
(
1− 2
x
) = lim
x→+∞
x
√
1
x2
+ 4
x
(
1− 2
x
) = 2;
(iv) lim
x→−∞
√
1 + 4x2
x− 2 = limx→−∞
√
x2
( 1
x2
+ 4
)
x
(
1− 2
x
) = lim
x→+∞
−x
√
1
x2
+ 4
x
(
1− 2
x
) = −2.
1
AP01 - Resposta - 1/2012 Ca´lculo I
De (i) e (ii), concluimos que a reta x = 2 e´ a u´nica ass´ıntota vertical do gra´fico de f
e, de (iii) e (iv), concluimos que as retas y = 2 e y = −2 sa˜o as ass´ıntotas horizontais do
gra´fico de f .
3aQuesta˜o. [2, 0 pontos]
Encontre os valores de a e b para que a func¸a˜o f definida abaixo seja cont´ınua:
f(x) =

x3 − 1, se x ≤ −2
x2 − ax+ 2b, se −2 < x < 1
6− x, se x ≥ 1
.
Soluc¸a˜o:
Para que a func¸a˜o f seja cont´ınua em x = −2 e em x = 1, devemos ter:
lim
x→−2+
f(x) = lim
x→−2−
f(x) = f(−2) e lim
x→1+
f(x) = lim
x→1−
f(x) = f(1).
Temos que:
(i) f(−2) = −9
(ii) f(1) = 5
(iii) lim
x→−2+
f(x) = lim
x→−2+
x2 − ax+ 2b = 4 + 2a+ 2b
(iv) lim
x→−2−
f(x) = lim
x→−2−
x3 − 1 = −9
(v) lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
6− x = 5
(vi) lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
x2 − ax+ 2b = 1− a+ 2b
De (i) = (iii) = (iv) e (ii) = (v) = (vi), obtemos, respectivamente, as equac¸o˜es
2a+ 2b = −13 e −a+ 2b = 4.
Da´ı, a =
−17
3
e b =
−5
6
.
4aQuesta˜o. [2, 0 pontos]
Calcule da derivada de cada uma das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = (1− e2x) (x2 − 1)4 (b) f(x) = 3− tg (2x)
x2 + 1
2
AP01 - Resposta - 1/2012 Ca´lculo I
Soluc¸a˜o:
(a) f ′(x) = (−2e2x) (x2 − 1)4 + (1− e2x) 4(x2 − 1)3 2x =
= (−2e2x) (x2 − 1)4 + 8x(1− e2x) (x2 − 1)3
(b) f ′(x) =
(−2sec2 (2x))(x2 + 1)− (3− tg (2x))2x
(x2 + 1)2
=
=
−2(x2 + 1) sec2 (2x) + 2x tg (2x)− 6x
x4 + 2x2 + 1
5aQuesta˜o. [2, 0 pontos]
Um c´ırculo se expande de tal modo que o comprimento do seu raio varia a` raza˜o de
2 cm/s. Determine a taxa de variac¸a˜o de sua a´rea no instante em que o comprimento do seu
raio e´ 10 cm/s.
Soluc¸a˜o:
Denotemos por r = r(t) o comprimento do raio do c´ırculo no instante t. Da´ı, A(r) = pi r2
denota a a´rea do c´ırculo em func¸a˜o de seu raio r.
Para todo t, temos que:
dA
dt
=
dA
dr
dr
dt
.
Como
dA
dr
= 2pi r e, como nos e´ dado,
dr
dt
= 2, segue que
dA
dt
= 4pi r(t), para todo t.
Logo, quando r(t) = 10, obtemos
dA
dt
= 40pi.
Portanto, a taxa de variac¸a˜o desejada e´ de 40pi cm2/s.
3
AP1/AP1-CL1-2007.2-Gabarito.pdf
Ca´lculo I - AP1 - gabarito 2/2007
Gabarito da AP1 de Ca´lculo I
1a Questa˜o (3.0 pontos) Calcule os seguintes limites, caso existam:
(a) lim
x→1−
2x+ 1
x2 + x− 2 = limx→1−
2x+ 1
(x− 1) (x+ 2) = −∞
(b) lim
x→∞
√
9x2 + 2
3− 4x = limx→∞
√
9 +
2
x2
3
x
− 4
=
√
9
−4 = −
3
4
.
(c) f(x) =

√
x2 + 5, se x ≥ 2,
√
2x− 1, se x < 2
em x = 2
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2+
√
x2 + 5 =
√
9 = 3 lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
√
2x− 1 =
√
3
Como os limites laterais sa˜o diferentes, na˜o existe lim
x→2
f(x).
2a Questa˜o (2.0 pontos) verifique se a func¸a˜o f(x) =

x2 + 1, se x ≥ 1,
2x, se x < 1
e´ cont´ınua
em em x = 1
Soluc¸a˜o:
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
x2 + 1 = 2 lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
2x = 2
Assim, lim
x→1
f(x) = lim
x→1+
f(x) = lim
x→1−
f(x) = 2 = f(1).
Portanto f e´ cont´ınua em x = 1.
3a Questa˜o (2.0 pontos) Calcule as derivadas das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = x cos x2 f ′(x) = cos (x2)− 2x2 sen (x2)
(b) g(x) = (3x+ 2)
√
x g′(x) = 3
√
x+
1
2 (3x+ 2)√
x
=
1
2
9x+ 2√
x
4a Questa˜o (1.0 ponto) Use diferenciac¸a˜o impl´ıcita para calcular a derivada y′ em
x2 y2 + x2 + y2 + x y = 1.
Soluc¸a˜o:
2xy2 + 2x2yy′ + 2x+ 2yy′ + y + xy′ = 0
1
Ca´lculo I - AP1 - gabarito 2/2007
2x2y2 + 2x+ y + (2x2y + 2y + x)y′ = 0
y′ = − 2x
2y2 + 2x+ y
2x2y + 2y + x
5a Questa˜o (2.0 pontos) Encontre os pontos onde a tangente e´ horizontal na func¸a˜o f(x) =
1
x2 − 1.
Soluc¸a˜o: A tangente e´ horizontal quando tem coeficiente angular 0. Portanto, queremos encon-
trar x tal que f ′(x) = 0.
f ′(x) = − 2x
(x2 − 1)2 = 0 =⇒ 2x = 0 =⇒ x = 0
Portanto, a tangente e´ horizontal no ponto (0, f(0)) = (0,−1).
2
AP1/AP1-CL1-2013.1-Gabarito.pdf
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
RESPOSTAS – AP1 – CA´LCULO 1 – 07/04/2013
Nome: Matr´ıcula:
Po´lo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res-
ponsa´vel;
Questa˜o 1 [2 pontos]
Calcule os seguintes limites de func¸o˜es:
(a) lim
x→3
x3 − x2 − 6x
x2 + x− 12 (b) limx→−1
(x2 + 4) sen (x+ 1)
x3 − 3x2 − 4x
Soluc¸a˜o.
(a) lim
x→3
x3 − x2 − 6x
x2 + x− 12 = limx→3
x(x+ 2)(x− 3)
(x+ 4)(x− 3) = limx→3
x(x+ 2)
x+ 4
=
15
7
(b) lim
x→−1
(x2 + 4) sen (x+ 1)
x3 − 3x2 − 4x = limx→−1
(x2 + 4) sen (x+ 1)
x(x− 4)(x+ 1) = 1
Questa˜o 2 [2 pontos]
Encontre as ass´ıntotas verticais e as ass´ıntotas horizontais do gra´fico da func¸a˜o f dada abaixo,
fazendo um estudo completo dos limites infinito e no infinito:
f(x) =
√
3x2 + 1
2− x
Soluc¸a˜o:
Temos que:
(i) lim
x→2+
√
3x2 + 1
2− x = −∞, pois
√
3x2 + 1→ √13 e 2− x→ 0− quando x→ 2+;
(ii) lim
x→2−
√
3x2 + 1
2− x = +∞, pois
√
3x2 + 1→ √13 e 2− x→ 0+ quando x→ 2−;
(iii) lim
x→+∞
√
3x2 + 1
2− x = limx→+∞
√
x2
(
3 +
1
x2
)
x
(2
x
− 1
) = lim
x→+∞
x
√
3 +
1
x2
x
(2
x
− 1
) = −√3;
CA´LCULO 1 AP1 2
(iv) lim
x→−∞
√
x2 + 1
2− x = limx→−∞
√
x2
(
3 +
1
x2
)
x
(2
x
− 1
) = lim
x→+∞
(−x)
√
3 +
1
x2
x
(2
x
− 1
) = √3.
De (i) e (ii), concluimos que a reta x = 2 e´ a u´nica ass´ıntota vertical do gra´fico de f e, de (iii) e
(iv), concluimos que as retas y =
√
3 e y = −√3 sa˜o as ass´ıntotas horizontais do gra´fico de f .
Questa˜o 3 [2 pontos]
Seja f(x) =

2x− 1, se x < −1
x2 − x− 5
x+ 2
, se x ≥ −1
.
(a) f e´ cont´ınua em x = −1? Justifique sua resposta.
(b) f e´ diferencia´vel em x = −1? Justifique sua resposta.
Soluc¸a˜o.
(a) Para que a func¸a˜o f seja cont´ınua em x = −1, devemos ter:
lim
x→−1+
f(x) = lim
x→−1−
f(x) = f(−1).
Temos que:
(i) f(−1) = −3
(ii) lim
x→−1+
f(x) = lim
x→−1+
x2 − x− 5
x+ 2
= −3
(iii) lim
x→−1−
f(x) = lim
x→1−
2x− 1 = −3
Como (i) = (ii) = (iii), temos que f e´ cont´ınua em x = −1.
(b) Para que f seja diferencia´vel em x = −1, devemos ter:
f ′+(−1) = f ′−(−1) = f ′(−1).
Como f ′+(1) = 0 e f
′
−(−1) = 2, segue que f na˜o e´ diferencia´vel em x = −1.
Questa˜o 4 [2 pontos]
Seja y = f(x) uma func¸a˜o deriva´vel definida implicitamente pela equac¸a˜o
xy2 − x2 + 2y = −9.
Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto P = (−1, 4).
Soluc¸a˜o.
Derivando implicitamente, obtemos:
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio
CEDERJ
CA´LCULO 1 AP1 3
y2 + 2xy
dy
dx
− 2x+ 2 dy
dx
= 0 ⇒ dy
dx
=
2x− y2
2xy + 2
, se 2xy + 2 6= 0.
Assim,
f ′(−1) = dy
dx
∣∣∣
x=−1
=
2(−1)− (4)2
2(−1)(4) + 2 =
−18
−6 = 3.
Logo, a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto P = (−1, 4) e´:
y = 4 + 3(x+ 1) = 3x+ 7.
Questa˜o 5 [2 pontos]
Calcule a derivada de cada uma das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) =
( x− 1
x2 + 4
)3
(b) g(x) = (4 + e2x) (x+ senx)
Soluc¸a˜o.
(a) f ′(x) = 3
( x− 1
x2 + 4
)2 [(1)(x2 + 4)− (x− 1)(2x)
(x2 + 4)2
]
= 3
( x− 1
x2 + 4
)2 [−x2 + 2x+ 4
(x2 + 4)2
]
=
=
3 (x− 1)2 (−x2 + 2x+ 4)
(x2 + 4)4
=
−3x4 + 12x3 − 3x2 − 18x+ 12
x4 + 2x2 + 16
(b) g′(x) = (2 e2x) (x+ senx) + (4 + e2x) (1 + cosx) =
= 4(1 + cosx) + e2x (1 + 2x+ 2 senx+ cosx)
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
AP1/AP1-CL1-2008.1-Gabarito.pdf
Gabarito da AP1 de Ca´lculo I- 1/2008
1a Questa˜o (2,0) Calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→ 3
x2 + x− 12
x2 − 4x+ 3 = limx→ 3
(x+ 4)(x− 3)
(x− 3)(x− 1) =
7
2
(b) lim
x→−∞
3x2 + 4x− 5
2x3 − 6x2 + x+ 1 = 0
2a Questa˜o (2,5) Encontre a equac¸a˜o da reta tangente a` curva Encontre a equac¸a˜o da reta
tangente a` curva 2x2 + 4xy − 3y2 = −2 no ponto (1, 2).
4x+ 4y + 4x
dy
dx
− 6y dy
dx
= 0 =⇒ (4x− 6y)dy
dx
= −4x− 4y =⇒
=⇒ dy
dx
= −4x+ 4y
4x− 6y = −2
(x+ y)
2x− 3y .
Assim, para x = 1 e y = 2, temos
dy
dx
=
3
2
= m
A equac¸a˜o da reta tangente e´ dada por
y − 2 = 3
2
(x− 1) =⇒ 2y − 3x = 1 =⇒ 3x− 2y = −1.
3a Questa˜o (3,0) Calcule as derivadas das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = (x− 1)4√2x− 3
f ′(x) = 4(x− 1)3 (2x− 3)1/2 + 1
2
(2x− 3)−1/2 2 (x− 1)4 = 4(x− 1)
3 (2x− 3) + (x− 1)4
(2x− 3)1/2 =
=
(x− 1)3 [4 (2x− 3) + x (x− 1)√
2x− 3 =
(x− 1)3 (9x− 13)√
2x− 3 .
(b) g(x) =
x
x2 − 3
g′(x) =
1 (x2 − 3)− 2x (x)
(x2 − 3)2 = −
x2 + 3
(x2 − 3)2 .
(c) h(x) = 3 sen4x
h′(x) = 3 cos (4x) 4 = 12 cos (4x).
4a Questa˜o (2,5) Determine o domı´nio e as ass´ıntotas verticais e horizontais, fazendo um
estudo completo dos limites infinitos e no infinito da func¸a˜o f(x) =
4x
x2 − 4.
O domı´nio da func¸a˜o: Dom(f) = R− {−2, 2 }.
1
Comportamento assinto´tico vertical: ana´lise da func¸a˜o em torno de x = −2 e x = 2.
lim
x→−2−
4x
x2 − 4 = −∞ limx→−2+
4x
x2 − 4 = +∞
lim
x→2−
4x
x2 − 4 = −∞ limx→2+
4x
x2 − 4 = +∞
Portanto func¸a˜o tem duas ass´ıntotas verticais, x = −2 e x = 2.
Comportamento assinto´tico horizontal: limites de f quando x tende a +∞ e a −∞.
lim
x→±∞
4x
x2 − 4 = 0.
Logo, a func¸a˜o tem uma ass´ıntota horizontal, y = 0, o eixo horizontal.
Gra´fico da func¸a˜o f (na˜o e´ necessa´rio fazer).
–6
–4
–2
0
2
4
6
y
–6 –4 –2 2 4 6
x
2
AP1/AP1-CL1-2011.1-Gabarito.pdf
AP01 - Resposta - 1/2011 Ca´lculo I
Resposta da AP01 - Ca´lculo I
1aQuesta˜o. [2, 0 pontos]
Calcule os seguintes limites de func¸o˜es:
(a) lim
x→−2
x2 − 2x− 8
x2 + 3x + 2
= lim
x→−2
(x + 2)(x− 4)
(x + 2)(x + 1)
= lim
x→−2
x− 4
x + 1
=
−6
−1 = 6
(b) lim
x→0
3x− 4 sen (2x)
2x
= lim
x→0
[
3x
2x
− 4 sen (2x)
2x
]
=
3
2
− 4 lim
x→0
sen (2x)
2x
=
3
2
− 4 = −5
2
2aQuesta˜o. [2, 0 pontos]
Encontre as ass´ıntotas verticais e as ass´ıntotas horizontais do gra´fico da func¸a˜o f
dada abaixo, fazendo um estudo completo dos limites infinito e no infinito:
f(x) =
x + 2
1− x.
Temos que:
(i) lim
x→+∞
x + 2
1− x = limx→+∞
x
(
1 +
2
x
)
x
(1
x
− 1
) = −1;
(ii) lim
x→−∞
x + 2
1− x = limx→−∞
x
(
1 +
2
x
)
x
(1
x
− 1
) = −1.
De (i) e (ii), concluimos que y = −1 e´ a u´nica ass´ıntota horizontal do gra´fico da
func¸a˜o f .
Por outro lado, temos que:
(iii) lim
x→1+
x + 2
1− x = −∞, pois x + 2→ 3 e 1− x→ 0
− quando x→ 1+
(iv) lim
x→1−
x + 2
1− x = +∞, pois x + 2→ 3 e 1− x→ 0
+ quando x→ 1−.
De (iii) e (iv), concluimos que x = 1 e´ a u´nica ass´ıntota vertical do gra´fico da func¸a˜o
f .
3aQuesta˜o. [2, 0 pontos]
Encontre os valores de a e b para que a func¸a˜o f definida abaixo seja cont´ınua:
1
AP01 - Resposta - 1/2011 Ca´lculo I
f(x) =

x2 − 3x + 1, se x ≤ −1
−2ax + b, se −1 < x ≤ 2
x3 − 1, se x > 2
Para que a func¸a˜o f seja cont´ınua em x = −1 e em x = 2, devemos ter:
lim
x→−1+
f(x) = lim
x→−1−
f(x) = f(−1) e lim
x→2+
f(x) = lim
x→2−
f(x) = f(2).
Temos que:
(i) f(−1) = 5
(ii) f(2) = −4a + b
(iii) lim
x→−1+
f(x) = lim
x→−1+
−2ax + b = 2a + b
(iv) lim
x→−1−
f(x) = lim
x→−1−
x2 − 3x + 1 = 5
(v) lim
x→2+
f(x) = lim
x→2+
x3 − 1 = 7
(vi) lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
−2ax + b = −4a + b
De (i) = (iii) = (iv) e (ii) = (v) = (vi), obtemos, respectivamente, as equac¸o˜es
2a + b = 5 e −4a + b = 7. Da´ı, a = −1
3
e b =
17
3
.
4aQuesta˜o. [2, 0 pontos]
Determine a equac¸a˜o da reta tangente a` curva 2x2y − xy + y3 + 10 = 0 no ponto
(1,−2).
Derivando implicitamente, obtemos:
4xy + 2x2
dy
dx
− y − x dy
dx
+ 3y2
dy
dx
= 0 ⇒ dy
dx
(2x2 − x + 3y2) = −4xy + y ⇒
⇒ dy
dx
=
−4xy + y
2x2 − x + 3y2 .
Assim,
f ′(1) =
dy
dx
∣∣∣
x=1
=
−4(1)(−2) + (−2)
2(1)2 − 1 + 3(−2)2 =
6
13
.
2
AP01 - Resposta - 1/2011 Ca´lculo I
Logo, a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto (1,−2) e´
y = −2 + 6
13
(x− 1), isto e´, y = 6
13
x− 32
13
.
5aQuesta˜o. [2, 0 pontos]
Calcule da derivada de cada uma das seguintes func¸o˜es:
(a) f ′(x) =
(x2 + 1
3x + 4
)′
=
2x(3x + 4)− (x2 + 1)(3)
(3x + 4)2
=
3x2 + 8x− 3
(3x + 4)2
(b) f ′(x) = (2x cos (x3 − 1))′ = 2 cos (x3 − 1) + 2x(−sen (x3 − 1))(3x2) =
= 2 cos (x3 − 1)− 6x3 sen (x3 − 1)
3
AP1/AP1-CL1-2014.2-Gabarito.pdf
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
RESPOSTAS – AP1 – CA´LCULO 1 – 21/09/2014
Nome: Matr´ıcula:
Po´lo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res-
ponsa´vel;
Questa˜o 1 [2 pontos]
Sejam f(x) = ln
( 1− x
1 + x2
)
e g(x) = (x3 + x− 1) sen(4x). Calcule:
(a)[1 ponto] lim
x→−1
f ′(x); (b)[1 ponto] lim
x→0
g′(x).
Soluc¸a˜o:
(a) Temos que:
f ′(x) =
(1 + x2
1− x
)[−(1 + x2)− (1− x)(2x)
(1 + x2)2
]
=
x2 − 2x− 1
(1− x)(1 + x2) .
Logo,
lim
x→−1
f ′(x) = lim
x→−1
x2 − 2x− 1
(1− x)(1 + x2) =
2
4
=
1
2
.
(b) Temos que
g′(x) = (3x2 + 1) sen(4x) + (x3 + x− 1) cos(4x) (4) =
= (3x2 + 1) sen(4x) + (4x3 + 4x− 4) cos(4x).
Logo,
lim
x→0
g′(x) = lim
x→0
[
(3x2 + 1) sen(4x) + (4x3 + 4x− 4) cos(4x)] =
= lim
x→0
[
(3x2 + 1) sen(4x)
]
+ lim
x→0
[
(4x3 + 4x− 4) cos(4x)] = −4.
Questa˜o 2 [2 pontos]
Considere a func¸a˜o f(x) =
3x√
x2 − 4 .
(a)[0,5 pontos] Determine
o dom´ınio de f ;
(b)[1 ponto] Encontre as ass´ıntotas horizontais e as ass´ıntotas verticais, caso existam, do gra´fico
de f , fazendo um estudo completo dos limites infinitos e no infinito;
CA´LCULO 1 AP1 2
(c)[0,5 pontos] Trace um esboc¸o do gra´fico de f .
Soluc¸a˜o:
(a) D(f) = {x ∈ R; x2 − 4 > 0} = {x ∈ R; (x+ 2)(x− 2) > 0} = {x ∈ R; x < −2 ou x > 2} =
= (−∞,−2) ∪ (2,+∞)
(b) Temos que:
(i) lim
x→−2−
3x√
x2 − 4 = −∞, pois 3x→ −6 < 0 e
√
x2 − 4→ 0+ quando x→ −2−;
(ii) lim
x→2+
3x√
x2 − 4 = +∞, pois 3x→ 6 > 0 e
√
x2 − 4→ 0+ quando x→ 2+;
(iii) lim
x→+∞
3x√
x2 − 4 = limx→+∞
3x√
x2
(
1− 4
x2
) = limx→+∞ 3x
x
√(
1− 4
x2
) = 3,
onde utilizamos
√
x2 = |x| = x, pois x > 0;
(iv) lim
x→−∞
3x√
x2 − 4 = limx→−∞
3x√
x2
(
1− 4
x2
) = limx→+∞ 3x
(−x)
√(
1− 4
x2
) = −3,
onde utilizamos
√
x2 = |x| = −x, pois x < 0.
De (i) e (ii), concluimos que as reta x = −2 e x = 2 sa˜o as ass´ıntotas verticais do gra´fico de f e,
de (iii) e (iv), concluimos que as retas y = 3 e y = −3 sa˜o as ass´ıntotas horizontais do gra´fico de
f .
(c) Um esboc¸o do gra´fico de f e´:
Questa˜o 3 [2 pontos]
Seja r a reta tangente ao gra´fico de f(x) =
6
x− 1 no ponto P = (a, f(a)), com a < 0, e seja m o
coeficiente angular de r. Se m =
−3
2
, determine:
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
CA´LCULO 1 AP1 3
(a)[1 ponto] o ponto P ;
(b)[1 ponto] a equac¸a˜o de r.
Soluc¸a˜o:
(a) Como m = f ′(a) e f ′(x) =
−6
(x− 1)2 , para todo x ∈ R− {1}, segue que:
f ′(a) =
−3
2
⇔ −6
(a− 1)2 =
−3
2
⇔ −3a2 + 6a− 3 = −12 ⇔ 3a2 − 6a− 9 = 0.
Logo, a = −1 ou a = 3. Como, por hipo´tese, a < 0, segue que a = −1. Da´ı, P = (−1,−3).
(b) Como P = (a, f(a)) = (−1,−3) ∈ r e m = −3
2
e´ o coeficiente angular de r, segue que a
equac¸a˜o de r e´ dada por:
y = f(a) +m(x− a) = −3− 3
2
(x+ 1), ou seja, y =
−3
2
x− 9
2
=
−3x− 9
2
.
Questa˜o 4 [2 pontos]
Sejam a, b ∈ R e seja f a func¸a˜o definida por:
f(x) =
{
x2 − x+ 4, se x ≤ 2
b− ax, se x > 2
Determine os valores de a e b para que f seja: (a)[1 ponto] cont´ınua; (b)[1 ponto] diferencia´vel.
Soluc¸a˜o:
(a) Para que f seja cont´ınua, devemos ter f cont´ınua em x = 2, ou seja,
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2−
f(x) = f(2).
Temos que:
(i) f(2) = 6;
(ii) lim
x→2+
f(x) = lim
x→2+
b− ax = b− 2a;
(iii) lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
x2 − x+ 4 = 6.
De (i) = (ii) = (iii), obtemos a equac¸a˜o −2a + b = 6. Logo, para que f seja cont´ınua em x = 2,
as constantes a e b devem satisfazer a equac¸a˜o −2a+ b = 6.
(b) Para que f seja diferencia´vel, f deve ser diferencia´vel em x = 2; para que f seja diferencia´vel
em x = 2, f deve ser, primeiramente, cont´ınua em x = 2. Assim, as constantes a e b devem,
inicialmente, satisfazer −2a + b = 6. Por outro lado, para que f seja diferencia´vel em x = 2,
devemos ter, ainda,
f ′−(2) = f
′
+(2).
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
CA´LCULO 1 AP1 4
Como f ′+(2) = −a e f ′−(2) = 3, segue que a = −3. Da´ı, da equac¸a˜o anterior −2a+ b = 6, obtemos
b = 0. Portanto, para que f seja diferencia´vel em x = 2, devemos ter a = −3 e b = 0.
Questa˜o 5 [2 pontos]
Seja y = f(x), y > 0, uma func¸a˜o deriva´vel definida implicitamente pela equac¸a˜o
x4 + xy3 − 2y2 = 1.
Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto P de abscissa 1.
Soluc¸a˜o:
Primeiramente, devemos determinar o ponto P . Assim, como P = (x, y) = (1, f(1)), para determi-
narmos y = f(1), substitu´ımos x = 1 na equac¸a˜o e obtemos:
(1)4 + (1)y3 − 2y2 = 1 ⇒ y3 − 2y2 = 0 ⇒ y2(y − 2) = 0 ⇒ y = 0 ou y = 2.
Como, por hipo´tese, y > 0, segue que y = f(1) = 2 e, portanto, P = (1, 2).
Agora, derivando implicitamente, obtemos:
4x3 + y3 + 3xy2
dy
dx
− 4y dy
dx
= 0 ⇒ dy
dx
=
−4x3 − y3
3xy2 − 4y .
Logo,
f ′(1) =
dy
dx
∣∣∣
x=1
=
−4(1)3 − (2)3
3(1)(2)2 − 4(2) =
−12
4
= −3.
Segue que a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto P = (1, 2) e´:
y = 2− 3(x− 1) = 5− 3x.
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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
RESPOSTAS – AP1 – CA´LCULO 1 – 19/09/2015
Nome: Matr´ıcula:
Po´lo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res-
ponsa´vel;
Questa˜o 1 [2 pontos]
Calcule os seguintes limites de func¸o˜es:
(a)[1 ponto] lim
x→−1
(x2 − 2x) sen(x+ 1)
x3 − x2 − 2x (b) [1 ponto] limx→−∞
x5 −√3x4 + x2
2x3 − x+√7
Soluc¸a˜o:
(a) lim
x→−1
(x2 − 2x) sen (x+ 1)
x3 − x2 − 2x = limx→−1
(x2 − 2x) sen (x+ 1)
x(x+ 1)(x− 2) = limx→−1
[
(x2 − 2x)
x(x− 2) ·
sen (x+ 1)
(x+ 1)
]
=
= lim
x→−1
(x2 − 2x)
x(x− 2) · limx→−1
sen (x+ 1)
(x+ 1)
= lim
x→−1
x(x− 2)
x(x− 2) · limx→−1
sen (x+ 1)
(x+ 1)
= 1
(b) lim
x→−∞
x5 −√3x4 + x2
2x3 − x+√7 = limx→−∞
x5
(
1−
√
3
x
+
1
x3
)
x3
(
2− 1
x2
+
1
x3
) = lim
x→−∞
x5
2x3
= lim
x→−∞
x2
2
= +∞
Questa˜o 2 [2 pontos]
Determine os valores de a e b para que a func¸a˜o f definida abaixo seja diferencia´vel:
f(x) =
{
x2 + x− 2, se x ≤ 4
b− ax, se x > 4
Soluc¸a˜o:
Para que f seja diferencia´vel, e´ necessa´rio, primeiramente, que f seja cont´ınua, ou seja, f tem que
ser cont´ınua em 4:
lim
x→4+
f(x) = lim
x→4−
f(x) = f(4).
Temos que:
(i) f(4) = 18
(ii) lim
x→4+
f(x) = lim
x→4+
b− ax = b− 4a
CA´LCULO 1 AP1 2
(iii) lim
x→4−
f(x) = lim
x→4−
x2 + x− 2 = 18
De (i) = (ii) = (iii), obtemos a equac¸a˜o b − 4a = 18. Logo, para que f seja cont´ınua em 4,
devemos ter b− 4a = 18.
Por outro lado, para que f seja diferencia´vel, f deve ser diferencia´vel em x = 4, ou seja:
f ′−(4) = f
′
+(4).
Como f ′+(4) = −a e f ′−(4) = 9, segue que a = −9. Da´ı, da equac¸a˜o b − 4a = 18 obtida acima,
segue que b = −18.
Questa˜o 3 [2 pontos]
Calcule a derivada das seguintes func¸o˜es:
(a)[1 ponto] f(x) =
1− e2x
4 + x2
(b)[1 ponto] g(x) = (x4 + x) cos(x2 − 1)
Soluc¸a˜o:
(a) f ′(x) =
(−2e2x)(4 + x2)− (1− e2x)(2x)
(4 + x2)2
=
(−2x2 + 2x− 8)e2x − 2x
(4 + x2)2
(b) g′(x) = (4x3 + 1) cos(x2 − 1) + (x4 + x) (−2x) sen(x2 − 1) =
= (4x3 + 1) cos(x2 − 1)− (2x2)(x3 + 1) sen(x2 − 1)
Questa˜o 4 [2 pontos]
Seja y = f(x), y < −1, uma func¸a˜o deriva´vel definida implicitamente pela equac¸a˜o
2x3 − xy2 − 4y = 10.
Seja r a reta tangente ao gra´fico de f no ponto P de abscissa −1.
(a)[1,5 pontos] Determine o coeficiente angular da reta r;
(b)[0,5 pontos] Determine a equac¸a˜o da reta r.
Soluc¸a˜o:
(a) Primeiramente, devemos determinar o ponto P . Assim, como P = (x, y) = (−1, f(−1)), para
determinarmos y = f(−1), substitu´ımos x = −1 na equac¸a˜o e obtemos:
2(−1)3 − (−1)y2 − 4y = 10 ⇒ y2 − 4y − 2 = 10 ⇒ y2 − 4y − 12 = 0 ⇒ y = −2 ou y = 6.
Como, por hipo´tese, y < −1, segue que y = f(−1) = −2 e, portanto, P = (−1,−2).
Agora, derivando implicitamente, obtemos:
6x2 − y2 − x(2y)dy
dx
− 4dy
dx
= 0 ⇒ dy
dx
=
y2 − 6x2
−2xy
− 4 .
Logo,
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
CA´LCULO 1 AP1 3
f ′(−1) = dy
dx
∣∣∣
x=−1
=
(−2)2 − 6(−1)2
−2(−1)(−2)− 4 =
−2
−8 =
1
4
.
Portanto, o coeficiente angular da reta r e´
1
4
.
(b) Segue de (a) que a equac¸a˜o da reta r e´:
y = −2 + 1
4
(x+ 1) =
x− 7
4
.
Questa˜o 5 [2 pontos]
Um c´ırculo se expande de tal modo que o comprimento do seu raio varia a` raza˜o de 2 cm/s. Determine
a taxa de variac¸a˜o de sua a´rea no instante em que o comprimento do seu raio e´ 10 cm/s.
Soluc¸a˜o:
Denotemos por r = r(t) o comprimento do raio do c´ırculo no instante t. Assim, A(r) = pi r2 denota
a a´rea do c´ırculo em func¸a˜o de seu raio r.
Para todo t, temos que:
dA
dt
=
dA
dr
dr
dt
.
Como
dA
dr
= 2pi r e, como nos e´ dado,
dr
dt
= 2, segue que
dA
dt
= 4pi r(t), para todo t.
Logo, quando r(t) = 10, obtemos
dA
dt
= 40pi.
Portanto, a taxa de variac¸a˜o desejada e´ de 40pi cm2/s.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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RESPOSTAS – AP1 – CA´LCULO 1 – 03/04/2016
Nome: Matr´ıcula:
Po´lo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res-
ponsa´vel;
Questa˜o 1 [1 ponto]
Se f(x) =
( x− 1
x2 + 1
)3
, calcule lim
x→−1
f ′(x).
Soluc¸a˜o:
Temos que:
f ′(x) =
[( x− 1
x2 + 1
)3]′
= 3
( x− 1
x2 + 1
)2
·
[(1)(x2 + 1)− (x− 1)(2x)
(x2 + 1)2
]
= 3
( x− 1
x2 + 1
)2
·
[1 + 2x− x2
(x2 + 1)2
]
.
Logo,
lim
x→−1
f ′(x) = lim
x→−1
3
( x− 1
x2 + 1
)2
·
[1 + 2x− x2
(x2 + 1)2
]
=
−6
4
=
−3
2
.
Questa˜o 2 [1 ponto]
Se g(x) = (x5 + 3x− 1) cos(2x), calcule lim
x→0
g′(x).
Soluc¸a˜o:
Temos que:
g′(x) = [(x5 + 3x− 1) cos(2x)]′ = (5x4 + 3) cos(2x)− 2(x5 + 3x− 1) sen(2x).
Logo,
lim
x→0
g′(x) = lim
x→0
[(5x4 + 3) cos(2x)− 2(x5 + 3x− 1) sen(2x)] = 3.
Questa˜o 3 [1 ponto]
Seja f(x) =

xex − 1, se x < 1
ex
2 − x
x2
, se x ≥ 1
. f e´ cont´ınua em x = 1? Justifique sua resposta.
CA´LCULO 1 AP1 2
Soluc¸a˜o:
Para que a func¸a˜o f seja cont´ınua em x = 1, devemos ter:
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1−
f(x) = f(1).
Temos que:
(i) f(1) = e− 1
(ii) lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
xex − 1 = e− 1
(iii) lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
ex
2 − x
x2
= e− 1
Como (i) = (ii) = (iii), temos que f e´ cont´ınua em x = 1.
Questa˜o 4 [1,5 pontos]
Seja f(x) =

xex − 1, se x < 1
ex
2 − x
x2
, se x ≥ 1
. f e´ diferencia´vel em x = 1? Justifique sua resposta.
Soluc¸a˜o:
Para que f seja diferencia´vel em x = 1, devemos ter:
f ′+(1) = f
′
−(1) = f
′(1).
Temos que:
(xex − 1)′ = ex + xex e
(ex2 − x
x2
)′
=
(2xex
2 − 1)(x2)− (ex2 − x)(2x)
x4
.
Da´ı, f ′+(1) = 1 e f
′
−(1) = 2e. Logo, f na˜o e´ diferencia´vel em x = 1.
Questa˜o 5 [1,5 pontos]
Seja g : R→ R um func¸a˜o deriva´vel e seja f(x) = (x− 1) · g(x− senx). Sabendo que g(pi) = −1
e g′(pi) =
1
2
, determine f ′(pi).
Soluc¸a˜o:
Temos que
f ′(x) = (1) · g(x− senx) + (x− 1) · g′(x− senx) · (1− cosx) =
= g(x− senx) + (x− 1) · g′(x− senx) · (1− cosx).
Da´ı,
f ′(pi) = g(pi) + (pi − 1) · g′(pi) · (2), pois sen(pi) = 0 e cos(pi) = −1.
Como g(pi) = −1 e g′(pi) = 1
2
, segue que f ′(pi) = pi − 2.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
CA´LCULO 1 AP1 3
Questa˜o 6 [2 pontos]
Se y = f(x) e´ uma func¸a˜o deriva´vel definida implicitamente pela equac¸a˜o 2x − 2y = sen(x + y),
determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto P = (pi, pi).
Soluc¸a˜o:
Derivando implicitamente, obtemos:
cos(x+ y) ·
(
1 +
dy
dx
)
= 2− 2 dy
dx
⇒ dy
dx
[2 + cos(x+ y)] = 2− cos(x+ y) ⇒
⇒ dy
dx
=
2− cos(x+ y)
2 + cos(x+ y)
, se 2 + cos(x+ y) 6= 0. Assim,
f ′(pi) =
dy
dx
∣∣∣
x=pi
=
2− cos(pi + pi)
2 + cos(pi + pi)
=
1
3
.
Logo, a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto P = (pi, pi) e´
y = pi +
1
3
(x− pi) = 1
3
x+
2pi
3
.
Questa˜o 7 [2 pontos]
Um bala˜o metereolo´gico e´ lanc¸ado do solo a uma distaˆncia de 400m de um observador fixo no solo.
Sabendo que o bala˜o sobe verticalmente a` raza˜o de 3m/s, determine a taxa de variac¸a˜o, em relac¸a˜o
ao tempo, da distaˆncia entre o bala˜o e o observador, quando a altura do bala˜o e´ de 300m.
Soluc¸a˜o:
Graficamente, temos
Portanto, usando o Teorema de Pita´goras, temos a relac¸a˜o x(t)2 + 4002 = s(t)2.
Derivando temos:
2x(t)
dx
dt
+ 0 = 2s(t)
ds
dt
=⇒ x(t) dx
dt
= s(t)
ds
dt
=⇒ ds
dt
=
x(t)
s(t)
dx
dt
.
Quando x(t) = 300, temos:
s(t)2 = 3002 + 4002 =⇒ s(t) =√(300)2 + (400)2 = 100 √32 + 42 = 500.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
CA´LCULO 1 AP1 4
Dai, quando x(t) = 300, obtemos
ds
dt
=
(300)(3)
500
=
9
5
.
Portanto, a taxa de variac¸a˜o, em relac¸a˜o ao tempo, da distaˆncia entre o bala˜o e o observador, e´
9
5
m/s.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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AP01 - Resposta - 2/2011 Ca´lculo I
Resposta da AP01 - Ca´lculo I
1aQuesta˜o. [2, 0 pontos]
Calcule os seguintes limites de func¸o˜es:
(a) lim
x→3
x3 − x2 − 6x
3x− 9 (b) limx→0
3 sen (2x)
5x
Soluc¸a˜o:
(a) lim
x→3
x3 − x2 − 6x
3x− 9 = limx→3
x(x− 3)(x + 2)
3(x− 3) =
15
3
= 5
(b) lim
x→0
3 sen (2x)
5x
=
3
5
lim
x→0
2 sen (2x)
2x
=
6
5
lim
x→0
sen (2x)
2x
=
6
5
2aQuesta˜o. [2, 0 pontos]
Encontre as ass´ıntotas verticais e as ass´ıntotas horizontais do gra´fico da func¸a˜o f dada
abaixo, fazendo um estudo completo dos limites infinito e no infinito:
f(x) =
2x− 1
x + 3
.
Soluc¸a˜o:
Temos que:
(i) lim
x→−3+
2x− 1
x + 3
= −∞, pois 2x− 1→ −7 e x + 3→ 0+, quando x→ −3+;
(ii) lim
x→−3−
2x− 1
x + 3
= +∞, pois 2x− 1→ −7 e x + 3→ 0−, quando x→ −3−;
(iii) lim
x→+∞
2x− 1
x + 3
= lim
x→+∞
x
(
2− 1
x
)
x
(
1 +
3
x
) = 2;
(iv) lim
x→−∞
2x− 1
x + 3
= lim
x→−∞
x
(
2− 1
x
)
x
(
1 +
3
x
) = 2.
De (i) e (ii), concluimos que x = −3 e´ a u´nica ass´ıntota vertical do gra´fico de f e, de
(iii) e (iv), concluimos que y = 2 e´ a u´nica ass´ıntota horizontal do gra´fico de f .
1
AP01 - Resposta - 2/2011 Ca´lculo I
3aQuesta˜o. [2, 0 pontos]
Encontre os valores de a e b para que a func¸a˜o f definida abaixo seja cont´ınua:
f(x) =

x− a, se x < 1
x2 − 2x + 1, se 1 ≤ x ≤ 4
3x + b, se x > 4
Soluc¸a˜o:
Para que a func¸a˜o f seja cont´ınua em x = 1 e em x = 4, devemos ter
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1−
f(x) = f(1) e lim
x→4+
f(x) = lim
x→4−
f(x) = f(4).
Temos que:
(i) f(1) = 0
(ii) f(4) = 9
(iii) lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
x2 − 2x + 1 = 0
(iv) lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
x− a = 1− a
(v) lim
x→4+
f(x) = lim
x→4+
3x + b = 12 + b
(vi) lim
x→4−
f(x) = lim
x→4−
x2 − 2x + 1 = 9
De (i) = (iii) = (iv) e (ii) = (v) = (vi), obtemos, respectivamente, as equac¸o˜es
1− a = 0 e 12 + b = 9. Da´ı, a = 1 e b = −3.
4aQuesta˜o. [2, 0 pontos]
Seja y = f(x) uma func¸a˜o deriva´vel definida implicitamente pela equac¸a˜o
y2 − 4xy + x2 = 1.
Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto P = (1, 4).
Soluc¸a˜o:
Derivando implicitamente, obtemos
dy
dx
=
4y − 2x
2y − 4x . Logo,
dy
dx
∣∣∣
x=1
=
4(4)− 2(1)
2(4)− 4(1) =
14
4
=
7
2
.
Segue que a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto P = (1, 4) e´:
2
AP01 - Resposta - 2/2011 Ca´lculo I
y = 4 +
7
2
(x− 1) = 7
2
x +
1
2
.
5aQuesta˜o. [2, 0 pontos]
Calcule da derivada de cada uma das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) =
5x
x2 + 1
(b) f(x) = (x2 − 1) sen (x)
Soluc¸a˜o:
(a) f ′(x) =
5(x2 + 1)− (5x)(2x)
(x2 + 1)2
=
5x2 + 5− 10x2
x4 + 2x2 + 1
=
−5x2 + 5
x4 + 2x2 + 1
(b) f ′(x) = 2x sen (x) + (x2 − 1) cos (x)
3
AP1/AP1-CL1-2009.2-Gabarito.pdf
Gabarito da Primeira Avaliac¸a˜o Presencial de Ca´lculo I
Cada uma das questo˜es vale 2.5 pontos.
1a Questa˜o
Encontre as ass´ıntotas verticais e horizontais da func¸a˜o f(x) =
x− 1
x− 2.
O domı´nio da func¸a˜o f e´ D(f) = {x ∈ R;x 6= 2} = R− {2}.
Comportamento assinto´tico vertical: ana´lise da func¸a˜o em torno de x = 2.
lim
x→2−
x− 1
x− 2 = −∞ limx→2+
x− 1
x− 2 = +∞
Comportamento assinto´tico horizontal: limites de f quando x tende a +∞ e a −∞.
lim
x→±∞
x− 1
x− 2 = 1.
Conclusa˜o: A func¸a˜o tem uma ass´ıntota vertical, x = 2, e tem uma ass´ıntota horizontal,
y = 1.
2a Questa˜o
Calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→1
1− x3
1− x2 =
3
2
(b) lim
x→3−
f(x) = lim
x→3−
x− 1 = 2
lim
x→3+
f(x) = lim
x→3+
3x− 7 = 2
(c) lim
x→0
sen 4x
3x
=
4
3
3a Questa˜o
Encontre a equac¸a˜o da reta tangente a` curva x2y − 2y3 = 7 no ponto (−3, 1).
2xy + x2
dy
dx
− 6y2 dy
dx
= 0 =⇒ (x2 − 6y2)dy
dx
= −2xy =⇒
=⇒ dy
dx
= − 2xy
x2 − 6y2 .
Assim, para x = −3 e y = 1, temos dy
dx
= 2 = m
1
A equac¸a˜o da reta tangente e´ dada por
y − 1 = 2 · (x+ 3) =⇒ y = 2 x+ 7.
4a Questa˜o
Calcule a derivada de cada uma das seguintes func¸o˜es, simplificando sua resposta:
(a) f(x) =
3x
2 + x3
f ′(x) =
3(2 + x3)− (3x2) (3x)
(2 + x3)2
=
−6 (x3 − 1)
(2 + x3)2
=
6 (1− x3)
x6 + 4x3 + 4
(b) g(x) = 4 sen 6x2 g′(x) = 48 x cos 6 x2
2
AP1/AP1-CL1-2015.1-Gabarito.pdf
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
RESPOSTAS – AP1 – CA´LCULO 1 – 29/03/2015
Nome: Matr´ıcula:
Po´lo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res-
ponsa´vel;
Questa˜o 1 [2 pontos]
Calcule os seguintes limites de func¸o˜es:
(a)[1 ponto] lim
x→4
2− 2 cos(x− 4)
(x− 4)2 (b)[1 ponto] limx→−∞
√
25x3 +
√
5x− 1
x3 − 2x+ 1
Soluc¸a˜o:
(a) lim
x→4
2− 2 cos(x− 4)
(x− 4)2 = limx→4
[
2− 2 cos(x− 4)
(x− 4)2 ·
2 + 2 cos(x− 4)
2 + 2 cos(x− 4)
]
=
= lim
x→4
4− 4 cos2(x− 4)
(x− 4)2[2 + 2 cos(x− 4)] = limx→4
4 sen2(x− 4)
(x− 4)2[2 + 2 cos(x− 4)] =
= lim
x→4
4
2 + 2 cos(x− 4) · limx→4
sen2(x− 4)
(x− 4)2 = limx→4
[sen(x− 4)
x− 4
]2
= 1
(b) lim
x→−∞
√
25x3 +
√
5x− 1
x3 − 2x+ 1 = limx→−∞
√√√√√√x3
(
25 +
√
5
x2
− 1
x3
)
x3
(
1− 2
x2
+
1
x3
) = lim
x→−∞
√
25 = 5
Questa˜o 2 [2 pontos]
Determine o valor de L para que a func¸a˜o f : [−1,+∞) → R definida abaixo seja cont´ınua em todo
seu dom´ınio:
f(x) =

2− x
3−√x2 + 5 , se x 6= 2
L, se x = 2
.
Soluc¸a˜o:
Para que f seja cont´ınua em todo seu dom´ınio, e´ necessa´rio que f seja cont´ınua em 2, ou seja,
devemos ter lim
x→2
f(x) = f(2) = L. Assim, vamos calcular lim
x→2
f(x). Temos que:
CA´LCULO 1 AP1 2
lim
x→2
2− x
3−√x2 + 5 = limx→2
[
2− x
3−√x2 + 5 ·
3 +
√
x2 + 5
3 +
√
x2 + 5
]
= lim
x→2
(2− x)(3 +√x2 + 5)
9− (x2 + 5) =
= lim
x→2
(2− x)(3 +√x2 + 5)
4− x2 = limx→2
(2− x)(3 +√x2 + 5)
(2− x)(2 + x) = limx→2
3 +
√
x2 + 5
2 + x
=
6
4
=
3
2
.
Portanto, L =
3
2
.
Questa˜o 3 [2 pontos]
Uma part´ıcula desloca-se sobre o eixo x de modo que sua posic¸a˜o, em metros, no instante t, em
segundos, e´ dada pela equac¸a˜o x(t) = t2(t+ 1)4, t ≥ 0.
(a) [1 ponto] Determine a velocidade da part´ıcula no instante t;
(b) [1 ponto] Determine a acelerac¸a˜o da part´ıcula no instante t.
Soluc¸a˜o:
(a) v(t) = x′(t) = 2t(t+ 1)4 + t2 4(t+ 1)3 = 2t(t+ 1)4 + 4t2(t+ 1)3 m/s
(b) a(t) = v′(t) = 2(t+ 1)4 + 2t 4(t+ 1)3 + 8t(t+ 1)3 + 4t2 3(t+ 1)2 =
= 2(t+ 1)4 + 8t(t+ 1)3 + 8t(t+ 1)3 + 12t2(t+ 1)2 =
= 2(t+ 1)4 + 16t(t+ 1)3 + 12t2(t+ 1)2 m/s2
Questa˜o 4 [2 pontos]
Sejam f a func¸a˜o dada por f(x) =
(xex − 1
x2 + 1
)4
e r a reta tangente ao gra´fico de f no ponto
P = (0, 1).
(a)[1,5 pontos] Determine o coeficiente angular mr da reta r;
(b)[0,5 pontos] Determine a equac¸a˜o da reta r.
Soluc¸a˜o:
(a) O coeficiente angular mr da reta r e´, por definic¸a˜o, f
′(0). Assim, devemos calcular f ′(x) e, em
seguida, f ′(0). Temos que:
f ′(x) = 4
(xex − 1
x2 + 1
)3
·
[(xex − 1)′(x2 + 1)− (xex − 1)(x2 + 1)′
(x2 + 1)2
]
=
= 4
(xex − 1
x2 + 1
)3
·
[(ex + xex)(x2 + 1)− (xex − 1)(2x)
(x2 + 1)2
]
, para todo x ∈ R.
Logo, f ′(0) = −4. Portanto, mr = −4.
(b) Como mr = −4, segue que a equac¸a˜o da reta r e´:
y = 1− 4(x− 0) = 1− 4x.
Questa˜o 5 [2 pontos]
A func¸a˜o diferencia´vel y = f(x) e´ tal que, para todo x ∈ D(f), a equac¸a˜o abaixo e´ verificada:
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
CA´LCULO 1 AP1 3
x2 sen(f(x)) + f(x)2 cos2(x) = 10.
Determine f ′(x).
Soluc¸a˜o:
Como y = f(x), podemos reescrever a equac¸a˜o acima da seguinte maneira:
x2 sen(y) + y2 cos2(x) = 10.
Agora, vamos determinar y′ = f ′(x) =
dy
dx
, derivando implicitamente essa equac¸a˜o:
2x sen(y) + x2 cos(y)
dy
dx
+ 2y
dy
dx
cos2(x) + y2 2 cos(x) (−sen(x)) = 0
Da´ı,
dy
dx
=
−2x sen(y) + 2y2 sen(x) cos(x)
x2 cos(y) + 2y cos2(x)
.
Portanto,
f ′(x) =
−2x sen(f(x)) + 2f(x)2 sen(x) cos(x)
x2 cos(f(x)) + 2f(x) cos2(x)
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
AP1/AP1-CL1-2009.1-Gabarito.pdf
Gabarito da AP1- 1/2009 Ca´lculo I
Gabarito da Primeira Avaliac¸a˜o Presencial de Ca´lculo I
(3,0 pontos) (1) Considere a func¸a˜o
f(x) =

x+ 2a se x < −2
3ax+ b se −2 ≤ x ≤ 1
3x− 2b se 1 < x
(a) Calcule lim
x→−2−
f(x), lim
x→−2+
f(x), lim
x→1+
f(x) e lim
x→1−
f(x). Se algum limite na˜o existir,
justifique explicando porque.
(b) Para que valores a e b a func¸a˜o sera´ cont´ınua nos dois pontos −2 e 1? Justifique
sua resposta.
Soluc¸a˜o:
(a) lim
x→−2−
f(x) = lim
x→−2−
x+ 2a = −2 + 2a
lim
x→−2+
f(x) = lim
x→−2+
3ax+ b = −6a+ b
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
3x− 2b = 3− 2b
lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
3ax+ b = 3a+ b
(b) Para f ser cont´ınua nos dois pontos −2 e 1 devemos ter
lim
x→−2−
f(x) = lim
x→−2+
f(x) = f(−2)
e
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1−
f(x) = f(1)
Assim, obtemos o sistema { −2 + 2a = −6a+ b
3− 2b = 3a+ b
Resolvendo-o, encontramos a = 1− b e 8a− b = 2. Da´ı b = 2
3
=⇒ a = 1
3
. Obtendo-se
f(−2) = −4/3 e f(1) = 5/4.
Portanto, para que a func¸a˜o f seja cont´ınua em ambos pontos −2 e 1, devemos ter a = 1
3
e b =
2
3
.
(3,0 pontos) (2) Calcule as derivadas das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = x sen (2x) (b) g(x) =
2x
1− x (c) h(x) = (x
2 + 3)8
1
Gabarito da AP1- 1/2009 Ca´lculo I
Soluc¸a˜o:
(a) f ′(x) = sen (2x) + 2x cos (2x)
(b) g′(x) =
2(1− x)− 2x(−1)
(1− x)2 =
2
(1− x)2
(c) h′(x) = 16x(x2 + 3)7
(2,0 pontos) (3) Calcule a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o f(x) =
√
x+ 1 no
ponto de coordenada x = 3.
Soluc¸a˜o:
A derivada de f no ponto x = 3 e´ o coeficiente angular da reta tangente:
y − f(3) = f ′(3) (x− 3).
Derivando a func¸a˜o obtemos f ′(x) =
1
2
√
x+ 1
.
Como f(3) = 2 e f ′(3) =
1
4
, a equac¸a˜o procurada e´ y − 2 = 1
4
(x− 3),
ou seja, y =
1
4
(x+ 5).
(2,0 pontos) (4) A equac¸a˜o x2 − xy + y2 = 3 define y como uma func¸a˜o de x em torno do
ponto (−1, 1).
(a) Expresse
dy
dx
em termos de y e de x.
(b) Calcule
dy
dx
no ponto (−1, 1).
Soluc¸a˜o:
(a) Derivando x2 − xy + y2 = 3 implicitamente em relac¸a˜o a` x, temos
2x− y − xdy
dx
+ 2y
dy
dx
= 0
=⇒ dy
dx
(2y − x) = y − 2x =⇒ dy
dx
=
y − 2x
2y − x .
(b) Calculando no ponto (−1, 1), obtemos dy
dx
=
1 + 2
2 + 2
=
3
4
.
2