CÁLCULO III INTEGRAIS DUPLAS RESOLVIDAS EM 14 SET 2016

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AULAS PARTICULARES DE 3º GRAU - CÁLCULO III
INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES
1. Conceitos Importantes
As relações 
 e 
que nos dão as coordenadas cartesianas de um dado ponto em termos de suas coordenadas polares podem ser vistas como uma transformação que leva o ponto (r, θ) do plano rθ a pontos do plano xy. 
De uma maneira geral, a transformação de uma integral de uma região do plano cartesiano xy para um novo plano uv é a seguinte: 
. Dessa forma, temos:
, onde 
é o determinante jacobiano de x e y em relação a u e v, definido por:
.	 
No caso das coordenadas polares, temos 
e 
, cujo jacobiano é dado por:
Assim, temos a seguinte relação entre as integrais em coordenadas cartesianas e polares:
2. Exercícios Resolvidos
2.1. 
Solução:
2.2. 
Solução:
 
Mas: 
. Substituindo:
Resolvendo 
:
Resolvendo 
:
Retornando à integral:
2.3. Calcular 
, onde R é a região delimitada por 
 e 
.
Solução:
A região R é representada abaixo:
Fazendo a mudança para as coordenadas polares, temos:
Assim:
2.4. Calcular 
, onde R é a região delimitada por 
.
Solução:
Em primeiro lugar, façamos a seguinte mudança de variável:
. A nova região R’ será dada por:
Assim, temos:
¨
Agora, façamos a mudança para as coordenadas polares:
Onde:
Assim:
2.5. Calcular 
, onde R é a região delimitada por 
.
Solução:
Façamos a mudança de variável: 
. Assim, o jacobiano é dado por:
Assim:
.
Façamos a mudança agora para coordenadas polares:
Assim:
2.6. Calcular 
, onde R é a região do primeiro quadrante delimitada por xy = 1, xy =2, y = x e y = 4 + x.
Solução:
Façamos a seguinte mudança de variável: u = y – x e v = xy. Assim, o jacobiano dessa transformação é dado por:
Assim:
Substituindo:
CÁLCULO III – INTEGRAIS DUPLAS – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
LIVRO-TEXTO: CÁLCULO B (DIVA FLEMINNG & MÍRIAN GONÇALVES)
EXERCÍCIOS 7.8
1. Calcular 
, onde R é a região delimitada por 
 e 
.
Solução:
A região R é representada abaixo:
Fazendo a mudança para as coordenadas polares, temos:
Assim:
2. Calcule 
, onde R é a região delimitada pela elipse 
.
Solução:
3. Calcule a integral
Solução:
4. Calcule a integral 
Solução:
 
Mas: 
. Substituindo:
Resolvendo 
:
Resolvendo 
:
Retornando à integral:
OUTRA SOLUÇÃO:
5. Calcule 
, onde R é a região delimitada por 
. Interprete geometricamente.
Solução:
6. Calcule a área de um triângulo cujos vértices são A(2, 2), B(0, 0) e C(2,0) usando integral dupla.
Solução:
Representando graficamente o triângulo ABC:
Integrando:
3. Exercícios Propostos
1. Calcule o volume do conjunto de todos (x,y,z) tais que 
.
Resp: 
2. Calcule 
, onde R é delimitada pelo triângulo (1,1), (1,2) e (2,-1).
Resp: 
3. Calcular 
, onde R é delimitada por 
.
Resp: 
4. Calcular 
, onde R é o retângulo 
e 
.
Resp: 2ln(5) – ln(3) – 3ln(2)
5. Calcular o volume do sólido acima do plano xy delimitado por 
.
Resp: 
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