SEFAZ PE XEST estatistica jeronymo Aula 08 Distribuição de Probabilidade Conjunta

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Distribuições Conjuntas
Estatística p/ SEFAZ/PE
Professor: Jeronymo Marcondes
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AULA EXTRA ± Distribuição de Probabilidade Conjunta 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
Distribuição conjunta de variáveis discretas 2 
Esperança e covariância 7 
Distribuição conjunta de variáveis contínuas 11 
Lista de Exercícios resolvidos em aula 42 
Gabarito 53 
 
 
Bem vindos de volta! Agora vamos estudar as distribuições de probabilidade 
conjuntas, ou seja, como podemos analisar o comportamento probabilístico de duas 
variáveis conjuntamente. 
 
Esta aula será mais curta, pois não é um assunto muito cobrado e aprofundado em 
concursos. Porém, já caiu. Então, tem que saber e pronto! Porém, isso não 
significa que a aula será fácil, muito pelo contrário. 
 
Mas, antes, uma dica de concurseiro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DICAS DE UM CONCURSEIRO 
 
Estamos em uma época farta de concursos bons, tais 
como Receita, ISS/SP, e, quem sabe em breve, AFT. Não 
fiquem empolgados demais de forma a perder seu foco. 
Muitas vezes, o concurseiro fica tão empolgado que se 
esquece de focar no seu objetivo. Tentem manter a calma 
e pensem como seria bom se você atingisse o seu 
objetivo. 
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1. Distribuição conjunta de variáveis discretas 
 
Muitas vezes um experimento gera valores para mais de uma variável, ou seja, um 
mesmo ponto amostral se refere a valores de mais de uma variável. 
 
A título de ilustração, suponha que você faça uma pesquisa em vários lares que 
adotaram até 3 animais, podendo ser gatos ou cachorros. Neste caso, você pode ter 
duas variáveis, uma primeira (ܺ) que indicaria a quantidade de gatos adotados em 
cada lar, e uma segunda variável binária, que assumiria valor igual a 1 se o primeiro 
animal adotado for um gato. Assim: 
 ܺ ൌ ݍݑܽ݊ݐ݅݀ܽ݀݁�݀݁�݃ܽݐ݋ݏ�ܽ݀݋ݐܽ݀݋ݏ ܻ ൜ ?�ǡݏ݁�݋�݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋�݈ܽ݊݅݉ܽ�ܽ݀݋ݐܽ݀݋�݂݋݅�ݑ݉�݃ܽݐ݋ ?�ǡ ܿܽݏ݋�ܿ݋݊ݐݎžݎ݅݋ ൠ 
 
Se nós colocarmos todas as possibilidades em uma tabela: 
 
Resultados X Y 
GGG 3 1 
GCG 2 1 
GGC 2 1 
GCC 1 1 
CGG 2 0 
CGC 1 0 
CCG 1 0 
CCC 0 0 
 
A partir desta tabela, podemos construir a famosa tabela de dupla entrada de 
distribuição de probabilidade conjunta. Essa tabela irá nos mostrar qual a 
probabilidade de ocorrência conjunta de valores de ambas as variáveis. Veja a 
tabela abaixo. 
 
 
 
 
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3DUD�R�HQWHQGLPHQWR�GH�FRPR�³OHU´�HVWD�WDEHOD��WRPH�R�H[HPSOR�GD�SULPHLUD�FpOXOD��
A primeira célula é: 
 ܲሺܺǡ ܻሻ ൌ ܲሺܺ ൌ ?�݁�ܻ ൌ ?ሻ ൌ ? ? 
 
Ora, o que está sendo dito é que a probabilidade (ܺ) e (ܻ) assumirem valores iguais 
a zero, isso é, só serem adotados cachorros, é de 1/8. 
 
O interessante é que podemos obter todas as informações importantes sobre as 
distribuições de probabilidade de cada uma das variáveis, somente com base 
nesta tabela. 
 
Por exemplo, você pode obter qual a probabilidade de o primeiro animal adotado ser 
um gato, independentemente da quantidade de animais adotados. Assim, o que 
você estaria buscando é: 
 ܲሺܻ ൌ ?ሻ ൌ�ǫ 
 
Esse é o caso que chamamos de probabilidade marginal. A probabilidade 
marginal de um evento é a sua probabilidade de ocorrência, independente do valor 
assumido pela outra variável. No presente caso: 
 ܲሺܻ ൌ ?ሻ ൌ ? ൅ ? ?൅ ? ?൅ ? ?ൌ ? ?ൌ ? ?ൌ ? ? ? 
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Você entendeu o que fizemos? Nós apenas somamos todos os elementos ao longo 
da linha que especifica ܻ ൌ ?. 
 
Da mesma forma, poderíamos obter as probabilidades marginais de ܺ ao somarmos 
as colunas. Por exemplo: 
 ܲሺܺ ൌ ?ሻ ൌ ? ?൅ ? ?ൌ ? ? 
 
Em outros termos, o que se está fazendo é avaliar qual a probabilidade de 
ocorrência de: 
 ܲሺܺ ൌ ?ሻ ൌ ܲ൫ሺܺ ൌ ?�݁�ܻ ൌ ?ሻ�݋ݑ�ሺܺ ൌ ?�݁�ܻ ൌ ?ሻ൯ 
 
Isso facilita a visualização da forma como a probabilidade marginal é obtida por 
meio do cálculo da probabilidade da ocorrência de ܻ independentemente do valor de ܺ. 
 
Além disso, nós podemos usar a tabela de dupla entrada para encontrarmos as 
probabilidades condicionais. Lembra-se da fórmula? Para dois eventos quaisquer 
(ܣ e ܤ), a probabilidade de ocorrência de ܣ dado que ܤ já ocorreu é dada por: 
 ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܣ�݁�ܤሻܲሺܤሻ 
 
Então, agora podemos calcular esta probabilidade para valores específicos de cada 
evento, sendo que será bem mais fácil. 
 
Vamos a um exemplo. Qual é a probabilidade de adotarmos 3 gatos, dado que a 
primeira adoção foi um felino? Ora, isso é a mesma coisa que: 
 ܲሺܺ ൌ ?ȁܻ ൌ ?ሻ ൌ ܲሺܺ ൌ ?�݁�ܻ ൌ ?ሻܲሺܻ ൌ ?ሻ 
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O denominador é a própria probabilidade marginal de ܻ ൌ ?. Essa é fácil de 
encontrar, pois basta somar todas as entradas ao longo da linha que indica este 
valor: 
 ܲሺܻ ൌ ?ሻ ൌ ? ൅ ? ?൅ ? ?൅ ? ?ൌ ? ?ൌ ૚૛ 
 
A probabilidade conjunta fica fácil de encontrar na tabela, pois basta procurar a 
entrada relativa ao que estamos procurando, no caso ܺ ൌ ? e ܻ ൌ ?. Se você olhar 
na tabela você encontrará: 
 ܲሺܺ ൌ ?�݁�ܻ ൌ ?ሻ ൌ ? ? 
 
Olha só como encontrar: 
 
 
Viu? Basta procurar a intersecção relativa às probabilidades procuradas. Essa 
intersecção vai te dizer qual a probabilidade de ܺ e ܻ assumirem determinados 
valores. Assim, o valor procurado é dado por: 
 
ܲሺܺ ൌ ?ȁܻ ൌ ?ሻ ൌ ܲሺܺ ൌ ?�݁�ܻ ൌ ?ሻܲሺܻ ൌ ?ሻ ൌ ቀ ? ?ቁቀ ? ?ቁ ൌ ? ?ൌ ? ? ? 
 
 
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Assim, podemos colocar o formato da tabela de uma forma mais didática: 
 
 
Assim fica fácil encontrar qualquer probabilidade condicional. A título de ilustração 
imagine que queiramos saber a probabilidade de uma pessoa ter 2 gatos adotados 
dos seus 3 animais, sendo que o primeiro foi um cachorro. Esta pergunta é 
equivalente a: 
 ܲሺܺ ൌ ?ȁܻ ൌ ?ሻ ൌ ܲሺܺ ൌ ?�݁�ܻ ൌ ?ሻܲሺܻ ൌ ?ሻ ൌǫ 
 
Primeiramente, precisamos calcular a probabilidade marginal para ܻ ൌ ?: 
 ܲሺܻ ൌ ?ሻ ൌ ? ?൅ ? ?൅ ? ?൅ ? ൌ ? ?ൌ ? ? 
 
O que já era meio que óbvio, certo? Pois, como sabíamos que esta variável só pode 
assumir dois valores, se ܲሺܻ ൌ ?ሻ ൌ ?Ȁ ?, então ܲሺܻ ൌ ?ሻ ൌ ?Ȁ ?. 
 
Assim, consultando a tabela podemos encontrar a probabilidade condicional em 
questão, dada por: 
 
ܲሺܺ ൌ ?ȁܻ ൌ ?ሻ ൌ ܲሺܺ ൌ ?�݁�ܻ ൌ ?ሻܲሺܻ ൌ ?ሻ ൌ ቀ ? ?ቁቀ ? ?ቁ ൌ ? ? 
 
 
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Agora, eu quero que vocês prestem atençãoem algo importante: a 
independência entre as variáveis. 
 
Isso vem causando dúvidas em alguns alunos, a definição de independência. No 
nosso exemplo, dizer que as variáveis são independentes é o mesmo que defini-las 
da seguinte forma: 
 ܲሺܺȁܻሻ ൌ ܲሺܺሻ ܲሺܻȁܺሻ ൌ ܲሺܻሻ 
 
Ou seja, as probabilidades condicionais são iguais às respectivas probabilidades 
marginais. Por exemplo, ܺ será independente de ܻ se a sua probabilidade 
condicionada a esta variável for igual a sua probabilidade marginal. 
 
Assim, nós podemos saber se as variáveis do nosso exemplo são independentes. 
Veja o exemplo que resolvemos: 
 
ܲሺܺ ൌ ?ȁܻ ൌ ?ሻ ൌ ܲሺܺ ൌ ?�݁�ܻ ൌ ?ሻܲሺܻ ൌ ?ሻ ൌ ቀ ? ?ቁቀ ? ?ቁ ൌ ? ? 
 
Viram? A probabilidade de ܺ ser igual a 2 muda se condicionarmos tal valor a ܻ ൌ ? 
(de 1/8 para 1/4). Ou seja, estas variáveis não são independentes! 
 
2. Esperança e Covariância 
 
Nós já estudamos o conceito de esperança, então vamos aplica-lo ao nosso estudo 
de distribuições conjuntas. Para encontrarmos a esperança de uma variável, basta 
aplicarmos o conceito à distribuição marginal de uma variável. Só lembrando: 
 ܧሺܺሻ ൌ ܺଵ ڄ ଵܲ ൅ ܺଶ ڄ ଶܲ ǥܺ௡ ڄ ௡ܲ 
 
Sendo ௡ܲ a probabilidade associada a variável ܺ௡. 
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Assim, a esperança de ܻ é dada por: 
 ܧሺܻሻ ൌ ሺ ? ? ܲሺܻ ൌ ?ሻሻ ൅ ሺ ? ? ܲሺܻ ൌ ?ሻሻ ൌ ൬ ? ? ? ?൰ ൅ ൬ ? ? ? ?൰ ൌ ૚૛ 
 
Entendeu? Agora fica fácil encontrar a variância da variável, pois nós já sabemos 
que: 
 ܸܽݎ݅Ÿ݊ܿ݅ܽ ൌ ݉±݀݅ܽ�݀݋ݏ�ݍݑܽ݀ݎܽ݀݋ݏ െ ݍݑܽ݀ݎܽ݀݋�݀ܽ�݉±݀݅ܽ 
 
Então, basta encontrarmos a esperança dos quadrados para definirmos a seguinte 
função: 
 ܸܽݎሺܻሻ ൌ ܧሺܻଶሻ െ ሾܧሺܻሻሿଶ 
 
Então, vamos calcular a esperança dos quadrados: 
 ܧሺܻଶሻ ൌ ? ? ? ? ?൅ ?ଶ ? ? ?ൌ ? ? 
 
Portanto, a variância desta variável será dada por: 
 ܸܽݎሺܻሻ ൌ ܧሺܻଶሻ െ ሾܧሺܻሻሿଶ ൌ ? ?െ ൬ ? ?൰ଶ ൌ ૚૝ 
 
Viu? Não tem segredo para encontrar a variância de uma variável! O que nós 
precisamos estudar ágora é um conceito ligado à variância conjunta de duas 
variáveis: a covariância. 
 
-³9DULkQFLD�FRQMXQWD��SURIHVVRU´" 
 
É isso aí! O que nós vamos tentar encontrar é uma medida que expressa o quanto 
GXDV� YDULiYHLV� ³IOXWXDP� HP� FRQMXQWR´�� ,VVR� p� IHLWR� SRU� PHLR� GR� YDORU� PpGLR� GR 
produto dos desvios de duas variáveis. 
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³&RPR�p�TXH�p´" 
 
Vamos por partes. Defina covariância: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bom, a forma mais simples de encontrarmos a covariância é com base no segundo 
método acima descrito. Vamos fazer isso para nosso exemplo. Nós podemos 
encontrar a esperança de cada uma das duas variáveis isoladamente de forma bem 
simples, tal como demonstramos acima. Assim, precisamos encontrar a esperança 
do produto das mesmas! 
 
Isso é feito da seguinte forma, vamos rearranjar os valores da nossa tabela de 
forma a encontrarmos as probabilidades dos produtos das variáveis. Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
ܥ݋ݒሺܺǡ ܻሻ ൌ ?݊ ?෍ሾሺܺ௜ െ ܧሺܺሻሻ ?ሺ ௜ܻ െ ܧሺܻሻሻሿ௡௜ୀଵ 
ܥ݋ݒሺܺǡ ܻሻ ൌ ܧሺܺ ? ܻሻ െ ܧሺܺሻ ? ܧሺܻሻ ܥ݋ݒሺܺǡ ܻሻ ൌ ݉±݀݅ܽ�݀݋ݏ�݌ݎ݋݀ݑݐ݋ݏ െ ݌ݎ݋݀ݑݐ݋�݀ܽ�݉±݀݅ܽ 
A covariância é o valor médio do produto dos desvios entre duas variáveis 
(ܺ e ܻ). Assim, para duas variáveis quaisquer, defina a covariância como: 
Porém, há uma forma mais simples de aplicarmos esta fórmula: 
 
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Agora faça assim, veja qual a probabilidade deste produto ocorrer na tabela lá em 
cima. Assim, fica fácil. Vamos calcular a esperança dos produtos: 
 ܧሺܺ ? ሻܻ ൌ ? ڄ ? ?൅ ? ? ? ?൅ ? ? ? ?൅ ? ڄ ? ൅ ? ? ? ൅ ? ? ? ?൅ ? ? ? ?൅ ? ? ? ?ൌ ? ?ൌ ૚ 
 
Nós ainda não calculamos a esperança de X, então vamos a ela: 
 ܧሺܺሻ ൌ ? ? ? ?൅ ? ? ? ?൅ ? ? ? ?൅ ? ? ? ?ൌ ? ? ? ൌ ૚ǡ ૛૞ 
 
 
Agora, vamos calcular a covariância: 
 ܥ݋ݒሺܺǡ ܻሻ ൌ ܧሺܺ ? ሻܻ െ ܧሺܺሻ ? ܧሺܻሻ ൌ ? െ ?ǡ ? ? ? ?ǡ ? ൌ ૙ǡ૜ૠ૞ 
 
 
 
 
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$�FRYDULkQFLD�p�XWLOL]DGD�SDUD�LQGLFDU�XP�JUDX�GH�³DVVRFLDomR�HQWUH�DV�YDULiYHLV´��6H�
as variáveis estiverem positivamente (negativamente) correlacionadas, a 
covariância será positiva (negativa). 
 
Por exemplo, as vDULiYHLV�³UHQGD�PpGLD´�H�³JDVWRV�HP�FRQVXPR´�GH�XPD�HFRQRPLD�
tendem a estar positivamente correlacionadas, de forma que, na média, quanto 
maior a renda, maior deve ser o gasto em consumo. Neste caso, a covariância entre 
tais variáveis deve ser positiva. 
 
Se duas variáveis são independentes, a sua covariância é zero! Porém, atenção, o 
fato de a covariância ser igual a zero não significa que duas variáveis são 
independentes. 
 
Ótimo! Vamos aprofundar um pouco mais e estudar os mesmos conceitos 
para distribuições contínuas. 
 
3. Distribuição conjunta de variáveis contínuas ± tema extra 
 
O que vamos falar agora é um assunto mais complicado. Portanto, não precisa ficar 
desesperado, pois isso quase nunca é cobrado em concurso (a não ser em 
concursos mais específicos). 
 
A distribuição conjunta de variáveis contínuas é dada por uma função similar a 
nossa famosa função densidade de probabilidade (fdp): a função densidade 
conjunta (fdc). 
 
A fdc para duas variáveis quaisquer, ܺ e ܻ, é dada por: 
 ݂݀ܿ ൌ ݂ሺܺǡ ܻሻ 
 
Esta função tem características semelhantes da nossa fdp. Vamos complicar sua 
vida um pouquinho (hora de lembrar-se dos conceitos básicos de cálculo): 
 
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 ?ሻ� ሺ݂ܺǡ ܻሻ ൒ ? ?ሻ� න න ሺ݂ܺǡ ܻሻܻ݀ܺ݀ ൌ ?ାஶିஶାஶିஶ 
 
-³1mR�HQWHQGL�QDGD��9RFr�HVWi�GRLGR��SURIHVVRU�´ 
 
Calma, vamos por partes. 
 
A primeira propriedade tem a ver com o fato de que, tal como uma fdp, a fdc é 
ligada ao conceito de probabilidade de ocorrência. Portanto, o menor valor que a 
mesma pode assumir é zero, poLV�QmR�Ki�FRPR�D�³SUREDELOLGDGH´�GH�RFRUUrQFLD�GH�
um evento ser negativa. 
 
A segunda propriedade nos diz que o somatório (lembre-se de que o conceito de 
integral está intimamente relacionado a somatório) das duas variáveis, para todas 
suas ocorrência possíveis, deve ser igual a 1. Isso está nos dizendo que a 
probabilidade de ocorrência de qualquer elemento contido no espaço amostral é 
igual a 1. Lembre-se do conceito de distribuição de probabilidade acumulada! 
 
-³0DV��SDUD�TXH�LVVR´" 
 
Vejam o seguinte exercício. 
 
Exercício 1 
 
Dada a seguinte fdc: 
 ࢌሺ࢞ǡ ࢟ሻ ൌ ൜࡭࢞࢟ǡ ࢖ࢇ࢘ࢇ�૙ ൏ ࢞ ൏ ૚�ࢋ�૙ ൏ ࢟ ൏ ૚૙ǡ���ࢉࢇ࢙࢕�ࢉ࢕࢔࢚࢘ž࢘࢏࢕ ൠ 
 
'HWHUPLQH�R�YDORU�GH�³࡭´� 
 
 
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Resolução 
 
Ora, vocês sabem que: 
 න න ݂ሺݔǡ ݕሻ݀ݔ݀ݕ ൌ ?ାஶିஶାஶିஶ 
 
Assim, primeirovamos resolver para ݔ e depois para ݕ. Bom, primeiramente, vamos 
definir os intervalos superiores e inferiores para as duas variáveis, o que pelo 
enunciado sabemos que são 0 e 1 para ambas as variáveis. 
 නන݂ሺݔǡ ݕሻ݀ݔ݀ݕ ൌ ?ଵ଴ଵ଴ 
 
Agora, vamos substituir a função específica: 
 
 නනܣݔݕ݀ݔ݀ݕ ൌ ?ଵ଴ଵ଴ 
 
Resolver para ݔ basta integrar a função nesta variável e tirar a outra para fora como 
se fosse uma constante (junto com ܣ). 
 නܣݕනݔ݀ݔ݀ݕ ൌ ?ଵ଴ଵ଴ 
 
Bom, vocês já aprenderam qual a integral de ݔ, certo? Ora, é o valor que derivado 
gera ݔ. Assim: 
 නݔ ൌ ݔଶ ? 
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Derive esta função para ver que isso é verdade! Então, vamos resolver a integral 
definida lá em cima: 
 නܣݕ ቈݔଶ ?቉଴ଵ ݀ݕ ൌ ?ଵ଴ 
 
Assim, defina a função neste intervalo e diminua o valor do intervalo inferior do 
superior: 
 නܣݕ ቈ ? ? ? െ ?ଶ ? ൌ ? ?቉ ݀ݕ ൌ ?ଵ଴ 
 
Agora, integre com relação a ݕ: 
 නܣ ? ? ? ? ݕ݀ݕ ൌ නܣ ?ݕ݀ݕ ൌଵ଴ ?ଵ଴ 
 
A integral de ݕ é fácil, pois é igual a de ݔ. Então: 
 ܣ ?ቈݕଶ ?቉଴ଵ ൌ ? 
 ܣ ?ቈ ?ଶ ? െ ?ଶ ?቉ ൌ ? 
 ܣ ?൤ ? ?൨ ൌ ? 
 ܣ ?ൌ ? ՜ ࡭ ൌ ૝ 
 
Verdade! Não é nada trivial, mas dá para fazer, caso seja necessário. 
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Veja que a integral deve ser definida dentro do intervalo que se deseja 
analisar, portanto se você quiser avaliar outro intervalo, basta mudar o 
intervalo em que você está definindo a integral. Vamos ver como isso é feito 
nos exercícios. 
 
Bom, vamos continuar com alguns conceitos importantes que já discutimos, mas 
aplicados ao caso de variáveis contínuas, tal como a distribuição marginal para 
cada variável. 
 
Olhe, até agora nós encontramos as distribuições marginais por meio da 
probabilidade de que esta assuma um determinado valor independentemente do 
TXH�DFRQWHFH�FRP�DV�GHPDLV��1D�YHUGDGH��QyV�³VRPiYDPRV´�DV�OLQKDV�RX�FROXQDV�
da nossa tabela de dupla entrada de distribuição conjunta. 
 
O que vamos fazer no caso de variáveis contínuas é muito semelhante. Vamos 
³VRPDU´�DV�SUREDELOLGDGHV�GH�TXH�XPD�YDULiYHO�DVVXPD�XP�YDORU�DR� ORQJR�GH�XP�
intervalo, independentemente do valor assumido pelas demais. 
 
 
Exercício 2 
 
Dada a seguinte fdc: 
 ࢌሺ࢞ǡ ࢟ሻ ൌ ൜૝࢞࢟ǡ ࢖ࢇ࢘ࢇ�૙ ൏ ࢞ ൏ ૚�ࢋ�૙ ൏ ࢟ ൏ ૚૙ǡ���ࢉࢇ࢙࢕�ࢉ࢕࢔࢚࢘ž࢘࢏࢕ ൠ 
 
Encontre a função densidade de probabilidade marginal para ࢟. 
 
Resolução 
 
-³)XQomR�GHQVLGDGH�GH�SUREDELOLGDGH�PDUJLQDO��SURIHVVRU´" 
 
 
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Exatamente. Pense comigo, se nós integrarmos a função acima, mas sem definir 
um intervalo, nós teremos uma função como resultado de tal operação. 
 
Veja, vamos integrar esta função com relação a ݔ, tratando ݕ como uma constante: 
 න ?ݕ ቈݔଶ ?቉଴ଵ ݀ݕ ൌଵ଴ ?ݕ ቈ ? ? ? െ ?ଶ ? ൌ ? ?቉଴ଵ ൌ ?ݕ ? ൌ ૛࢟ 
 
Viram? Esta é uma função de ݕ! Ou seja, para qualquer valor de ݔ, a probabilidade 
de um determinado intervalo só depende de ݕ. Intuitivamente, o que estamos 
ID]HQGR�p�³VRPDU´�DV�SUREDELOLGDGHV�GH�ݕ para todos os valores possíveis de ݔ. Esta 
é a função densidade de probabilidade marginal. Se vocês quiserem saber a 
probabilidade de um determinado intervalo, basta integrar a função com relação a ݕ 
e definir a integral no intervalo desejado. 
 
Retornando. 
 
Bom, nós podemos retirar qualquer informação de uma determinada fdc, tal 
como variância e covariância. Porém, a maior parte disso não será importante 
para o seu concurso. Mas, algumas coisas podem ser importantes, tal como a 
esperança de uma variável, bem como o cálculo da probabilidade condicional. 
 
A esperança é fácil, pois nós já vimos como fazer isso na nossa aula anterior. 
Vamos usar nosso exemplo para facilitar. A diferença é que nós vamos nos basear 
na já calculada função de distribuição marginal. 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 3 
 
Dada a seguinte fdc: 
 ࢌሺ࢞ǡ ࢟ሻ ൌ ൜૝࢞࢟ǡ ࢖ࢇ࢘ࢇ�૙ ൏ ࢞ ൏ ૚�ࢋ�૙ ൏ ࢟ ൏ ૚૙ǡ���ࢉࢇ࢙࢕�ࢉ࢕࢔࢚࢘ž࢘࢏࢕ ൠ 
 
Encontre a esperança de ࢟. 
 
Resolução 
 
Bom, se você quiser a esperança de uma variável, primeira coisa a fazer é calcular 
sua função de distribuição marginal. No caso de ݕ, se chamarmos a função de 
distribuição marginal de ݃ሺݕሻ, já temos isso calculado: 
 ݃ሺݕሻ ൌ ?ݕ 
 
$JRUD�p�Vy� ID]HU�R�TXH�YRFr� Mi� VDEH�� ³VRPDQGR´� WRGRV�RV�YDORUHV�SRVVtYHLV�GH� ݕ 
PXOWLSOLFDGRV�SHOD�VXD�³SUREDELOLGDGH´��2UD��QyV�Mi�YLPos que isso é: 
 ܧሺݕሻ ൌ නݕ ? ?ݕ݀ݕଵ଴ 
 
Essa é a nossa esperança! Agora é só integrar. 
 ܧሺݕሻ ൌ ?නݕ ?݀ݕଵ଴ 
 
 ܧሺݕሻ ൌ ? ቈݕଷ ?቉଴ଵ ൌ ? ቈ ?ଷ ? െ ?ଷ ?቉ ൌ ૛૜ 
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Percebe que no final das contas é a mesma coisa que estudamos na aula 
anterior? A única diferença é que você tem que encontrar a distribuição 
marginal primeiro. 
 
Para finalizarmos, vamos ver como podemos encontrar as probabilidades 
condicionais. Ou seja, se eu te perguntar, qual a probabilidade de que uma variável 
esteja em um determinado intervalo, dado que a outra está em outro, como 
encontrar tal valor? Pense em termos da nossa antiga fórmula: 
 ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܣ�݁�ܤሻܲሺܤሻ 
 
Agora aplique ao nosso caso contínuo: 
 
௫݂ȁ௬ ൌ ݂ሺݔǡ ݕሻ݂ሺݕሻ 
 
Legal, agora você consegue encontrar a probabilidade condicional. Vamos a mais 
um exemplo. 
 
Exercício 4 
 
Dada a seguinte fdc: 
 ࢌሺ࢞ǡ ࢟ሻ ൌ ൜૝࢞࢟ǡ ࢖ࢇ࢘ࢇ�૙ ൏ ࢞ ൏ ૚�ࢋ�૙ ൏ ࢟ ൏ ૚૙ǡ���ࢉࢇ࢙࢕�ࢉ࢕࢔࢚࢘ž࢘࢏࢕ ൠ 
 
Encontre a função que define ࢌ࢞ȁ࢟. 
 
Resolução 
 
Bom, nós já temos calculados, dos exercícios anteriores, ݂ሺݕሻ e, pelo enunciado, 
sabemos ݂ሺݔǡ ݕሻ, portanto: 
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௫݂ȁ௬ ൌ ݂ሺݔǡ ݕሻ݂ሺݕሻ ൌ ?ݔݕ ?ݕ ൌ ૛࢞ 
 
Veja que resultado interessante você chegou. A probabilidade condicional de ࢞ dado ࢟ é igual à probabilidade marginal de ࢞. O que isso quer dizer mesmo? 
Isso! As variáveis são independentes! Veja no caso de ࢟: 
 
௬݂ȁ௫ ൌ ݂ሺݔǡ ݕሻ݂ሺݔሻ ൌ ?ݔݕ ?ݔ ൌ ૛࢟ ൌ ࢍሺ࢟ሻ 
 
Assim, as variáveis são independentes pois: 
 ࢌሺ࢞ȁ࢟ሻ ൌ ࢍሺ࢞ሻ 
 ࢌሺ࢟ȁ࢞ሻ ൌ ࢍሺ࢟ሻ 
 
Boa pessoal, vamos praticar um pouco! 
 
 
 
Exercício 5 
 
(MTUR ± ESAF/2014) Dois eventos A e B são tais que: P(A) = 0,25; P(B/A) = 0,5; 
P(A/B) = 0,25. Assim, pode-se afirmar que: 
a) A e B são eventos dependentes. 
b) P(B) = 0,5 e os eventos são mutuamente exclusivos. 
c) P(B) = 0,25 e os eventos são independentes. 
d) P(B) = 0,5 e os eventos são independentes. 
e) P(AځB) = 0 e os eventos são independentes. 
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Resolução 
 
Perceba o que está ocorrendo: 
 ܲሺܣሻ ൌ ܲሺܣȁܤሻ ൌ ?ǡ ? ? 
 
Portanto, os eventos são independentes. Se ܣ é independente de ܤ, então ܤ é 
independente de ܣ. Portanto: 
 
 
 ܲሺܤሻ ൌ ܲሺܤȁܣሻ ൌ ?ǡ ? 
 
Alternativa (d). 
 
 
Exercício 6 
 
(MTUR ± ESAF/2014) Uma variável aleatória contínua x possui função 
densidade dada por: f(x) = 0 para x < 0; f(x) = 3x² para ��”�[�”����I�[�� ���SDUD�[�!�
1. Desse modo, a expectância de x é igual a: 
a) 1/3 
b) 3/4 
c) 1/4 
d) 1/2 
e) 1/5 
 
Resolução 
 
Vamos definir nosso problema de forma matemática, pois fica mais fácil de 
visualizar: 
 
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݂ሺݔሻ ൌ ൜ ?ݔଶǡ ݏ݁� ? ൑ ݔ ൑ ? ?ǡ ܿܽݏ݋�ܿ݋݊ݐݎžݎ݅݋ൠ 
 
A esperança (também chamada de expectância) é dada por: 
 ܧሺݔሻ ൌ න ݔ ? ?ݔ ?݀ݔଵ଴ 
 
Vamos resolver: 
 ܧሺݔሻ ൌ න ?ݔ ?݀ݔଵ଴ ൌ ?න ݔ ?݀ݔଵ଴ ൌ ? ቈݔସ ?቉଴ଵ ൌ ? ቈ ?ସ ? െ ?ସ ?቉ ൌ ૜૝ 
 
Alternativa (b). 
 
Exercício 7 
 
(MTUR ± ESAF/2014) Considerando a variável aleatória contínua bidimensional 
definida por f�[�\�� � �[\�SDUD���”�[�”���H���”� \�”����HQWmR�D probabilidade de 
FRQMXQWDPHQWH�RFRUUHU���”�[�”�����H���”�\ ”������RX�VHMD��3�[�”����� ��\�”������p�
igual a: 
a) 2/3 
b) 1/8 
c) 3/62 
d) 3/32 
e) 1/6 
 
Resolução 
 
Ótima forma de treinar um intervalo. O que o exercício está pedindo é: 
 න න ?ݔݕ݀ݔ݀ݕ଴ǡହ଴଴ǡହ଴ 
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Entendeu? Ora, você quer calcular o valor acumulado de probabilidade até 0,5 para 
cada uma das variáveis contínuas, portanto, integre a função e a defina até tal valor. 
 
Vamos lá, começando por x: 
 න න ?ݔݕ݀ݔ݀ݕ଴ǡହ଴଴ǡହ଴ ൌ න ?ݕන ݔ݀ݔ݀ݕ ൌ න ?ݕ ቈݔଶ ?቉଴଴ǡହ ݀ݕ଴ǡହ଴଴ǡହ଴଴ǡହ଴ ൌ න ?ݕ ? ? ?݀ݕ଴ǡହ଴ 
 
Agora, vamos integrar em y: 
 න ?ݕ ? ? ?݀ݕ଴ǡହ଴ ൌ න ? ? ? ݕ݀ݕ ൌ ? ?න ݕ݀ݕ଴ǡହ଴ ൌ ? ?ቈݕଶ ?቉଴଴ǡହ ൌ଴ǡହ଴ ? ? ? ? ?ൌ ? ? ?ൌ ૜૜૛ 
 
Alternativa (d). 
 
Exercício 8 
 
(INEA ± FGV\2013) Duas variáveis aleatórias discretas X e Y têm função de 
probabilidade conjunta dada na tabela a seguir 
 
 
 
A probabilidade condicional P[X = 0 | y = 2] é igual a 
a) 30%. 
b) 40%. 
c) 50%. 
d) 60%. 
e) 70%. 
 
 
 
 
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Resolução 
 
Pessoal, a melhor forma de fazer este exercício é por meio de um raciocínio inverso, 
JHUDQGR�D�WDEHOD�TXH�WHULD�GDGR�RULJHP�D�HVWD�³WDEHOD�UHVXPLGD³��3HQVH�H�YRFr�YHUi�
que ela tem a seguinte forma: 
 
x\y 0 1 2 
0 0,2 0,1 0,3 
1 0 0,2 0,2 
 
Perceba que as probabilidade acima já somam 1, portanto pode-se concluir que o 
elemento ሺݔǡ ݕሻ ൌ ሺ ?ǡ ?ሻ tem probabilidade de ocorrer igual à zero. 
 
Assim, basta fazer o seguinte cálculo: 
 
 
 ܲሺݔ ൌ ?ȁݕ ൌ ?ሻ ൌ ܲሺݔ ൌ ?�݁�ݕ ൌ ?ሻܲሺݕ ൌ ?ሻ 
 
Vamos encontrar a probabilidade de y=2: 
 ܲሺݕ ൌ ?ሻ ൌ ?ǡ ? ൅ ?ǡ ? ൌ ૙ǡ ૞ 
 
Olhando na tabela, nós sabemos que ܲሺݔ ൌ ?�݁�ݕ ൌ ?ሻ ൌ ?ǡ ?, portanto: 
 ܲሺݔ ൌ ?ȁݕ ൌ ?ሻ ൌ ܲሺݔ ൌ ?�݁�ݕ ൌ ?ሻܲሺݕ ൌ ?ሻ ൌ ?ǡ ? ?ǡ ?ൌ ?ǡ ? ൌ ? ? ? 
 
Alternativa (d). 
 
 
 
 
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(IMESC ± VUNESP/2013) Leia o enunciado a seguir para responder às 
questões de números 9 e 11. 
 
Uma variável aleatória contínua tem a função de distribuição de probabilidade 
dada por: 
I�[�� ��[����”�[�”��� 
f(x) = 0 fora desse intervalo. 
 
 
Exercício 9 
 
Então, a probabilidade de que x seja menor do que 0,8 é igual a 
a) 0,84. 
b) 0,78. 
c) 0,70. 
d) 0,64. 
e) 0,60. 
 
 
Resolução 
 
O que o exercício está pedindo é a probabilidade acumulada até 0,8. Nós já vimos 
que isso se faz assim: 
 ܲሺ ? ൑ ݔ ൑ ?ǡ ?ሻ ൌ න ?ݔ݀ݔ଴ǡ଼଴ 
 
Portanto: 
 ܲሺ ? ൑ ݔ ൑ ?ǡ ?ሻ ൌ න ?ݔ݀ݔ଴ǡ଼଴ ൌ ?න ݔ݀ݔ଴ǡ଼଴ ൌ ? ቈݔଶ ?቉଴଴ǡ଼ ൌ ? ? ?ǡ ?ଶ ? ൌ ૙ǡ ૟૝ 
 
Alternativa (d). 
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Exercício 10 
 
O valor esperado é, aproximadamente, 
a) 0,25. 
b) 0,38. 
c) 0,50. 
d) 0,58. 
e) 0,67. 
 
Resolução 
 
Nós já sabemos que para encontrar o valor esperado precisamos fazer a seguinte 
operação: 
 ܧሺݔሻ ൌ නݔ ? ?ݔ݀ݔ 
 
 
Assim: 
 ܧሺݔሻ ൌ න ݔ ? ?ݔ݀ݔଵ଴ ൌ ?න ݔ ?ଵ଴ ݀ݔ ൌ ? ቈݔଷ ?቉଴ଵ ൌ ? ? ቈ ?ଷ ? െ ?ଷ ?቉ ൌ ૛૜ 
 
Isso é, aproximadamente, 0,67. 
 
Alternativa (e). 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 11 
 
A variância da variável aleatória é, aproximadamente, 
a) 0,01. 
b) 0,06. 
c) 0,11. 
d) 0,18. 
e) 0,22. 
 
Resolução 
 
Vamos aprofundar um pouco? Não é difícil, você vai ver. 
 
Qual o jeito mais fácil de calcular a variância? 
 ݒܽݎ݅Ÿ݊ܿ݅ܽ ൌ ݉±݀݅ܽ�݀݋ݏ�ݍݑܽ݀ݎܽ݀݋ݏ െ ݍݑܽ݀ݎܽ݀݋�݀ܽ�݉±݀݅ܽ ൌ ܧሺݔଶሻ െ ሾܧሺݔሻሿ ? 
 
Ora, o segundo membro nós já temos, pois basta elevar o resultado do exercício 
anterior ao quadrado. 
 
E o primeiro membro? 
 ܧሺݔ ?ሻ ൌ නݔ ? ? ?ݔ݀ݔ 
 
Viu? Nada demais. Agora encontre este valor! 
 ܧሺݔሻ ൌ න ݔ ? ? ?ݔ݀ݔଵ଴ ൌ ?න ݔ ?ଵ଴ ݀ݔ ൌ ? ቈݔସ ?቉଴ଵ ൌ ? ? ቈ ?ସ ? െ ?ଷ ?቉ ൌ ૛૝ ൌ ૚૛ 
 
Portanto: 
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 ܸܽݎሺݔሻ ൌ ܧሺݔଶሻ െ ሾܧሺݔሻሿଶ ൌ ? ?െ ൬ ? ?൰ଶ ൌ ? ?െ ? ?ൌ ?ǡ ? െ ?ǡ ? ?ൌ ૙ǡ ૙૟ 
 
Alternativa (b). 
 
Exercício 12 
 
(DEGASE ± CEPERJ/2012) Em uma turma há 20 homens e 10 mulheres. Para 
os homens, o percentual de aprovação foi de 80%, enquanto para as mulheres 
o percentual de aprovação foi de 90%. Se selecionarmos um aluno ao acaso 
dentre o conjunto de alunos aprovados, a probabilidade de este aluno ser do 
sexo masculino será de: 
a) 0,48 
b) 0,60 
c) 0,64 
d) 0,89 
e) 0,90 
 
Resolução 
 
Vamos fazer uma questão de probabilidade para treinar um pouco. 
 
Se dos 20 homens 20% foram aprovados: 
 ܣ݌ݎ݋ݒܽ݀݋ݏ ൌ ? ?ൈ ? ? ?ൌ ? ? 
 
Já das mulheres: 
 ܣ݌ݎ݋ݒܽ݀ܽݏ ൌ ? ?ൈ ? ? ?ൌ ? 
 
Assim, a probabilidade, dentre os aprovados, de selecionarmos um homem é de: 
 
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ܲሺ݄݋݉݁݉ȁܽ݌ݎ݋ݒܽ݀݋ሻ ൌ ? ? ? ? ൅ ?ൌ ?ǡ ? ? 
 
Alternativa (c). 
 
 
Exercício 13 
 
(DEGASE ± CEPERJ/2012) A distribuição apresenta assimetria negativa, que é 
caracterizada, tipicamente, pelas seguintes relações: 
A) média < mediana < moda 
B) média < moda < mediana 
C) moda < média < mediana 
D) moda < mediana < médiaE) mediana < moda < média 
 
Resolução 
 
Basta lembrar-se de como é uma distribuição de assimetria negativa: 
 
 
Alternativa (a). 
 
 
 
 
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Exercício 14 
 
(DEGASE ± CEPERJ/2012) Dois candidatos A e B irão realizar prova para 
determinado concurso. Supondo que a probabilidade de o candidato A ser 
aprovado é de 0,40 e a probabilidade de o candidato B ser aprovado é de 0,30, 
e que a aprovação ou não de um dos candidatos não interfere nas chances de 
aprovação do outro candidato, a probabilidade de ambos serem aprovados no 
concurso é de: 
a) 0,10 
b) 0,12 
c) 0,30 
d) 0,40 
e) 0,70 
 
Resolução 
 
Questão muito fácil. Como a probabilidade de um candidato ser aprovado não 
interfere nas chances do outro, a probabilidade de os dois serem aprovados é de: 
 ܲሺܣ�ݏ݁ݎ�ܽ݌ݎ݋ݒܽ݀݋ሻ ൈ ܲሺܤ�ݏ݁ݎ�ܽ݌ݎ݋ݒܽ݀݋ሻ ൌ ܲሺܣ�݁�ܤ�ݏ݁ݎ݁݉�ܽ݌ݎ݋ݒܽ݀݋ݏሻ 
 
Assim: 
 ܲሺܣ�݁�ܤ�ݏ݁ݎ݁݉�ܽ݌ݎ݋ݒܽ݀݋ݏሻ ൌ ?ǡ ? ൈ ?ǡ ? ൌ ૙ǡ૚૛ 
 
Alternativa (b). 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 15 
 
(IBGE ± CESGRANRIO/2010) Um comitê é formado por três pesquisadores 
escolhidos dentre quatro estatísticos e três economistas. A probabilidade de 
não haver nenhum estatístico é 
a) 1/ 35 
b) 4/35 
c) 27/243 
d) 64/243 
e) 3/7 
 
Resolução 
 
Esta é aquela questão clássica de probabilidade. 
 
Qual é a probabilidade de 1 sucesso? Bom, é: 
 ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ሻ ൌ ?ܥ଻ǡଷ 
 
,VVR� p�� R� YDORU� GH� KXP� ���� �R� FRQMXQWR� IRUPDGR� SRU� ³HFRQRPLVWD´�� ³HFRQRPLVWD´� H�
³HFRQRPLVWD´��GLYLGLGR�SHOD�TXDQWLGDGH�GH�FRPELQDo}HV�SRVVtYHLV��$VVLP� 
 ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ሻ ൌ ?൬ ?Ǩሺ ?ሻǨ ?Ǩ൰ ൌ ? ? ? 
 
Alternativa (a). 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 16 
 
(STN ± ESAF/2008) Dois eventos A e B são ditos eventos independentes se e 
somente se: 
a) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for nula. 
b) a ocorrência de B alterar a probabilidade de ocorrência de A. 
c) a ocorrência de A alterar a probabilidade de ocorrência de B. 
d) a ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A. 
e) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for igual a 1. 
 
Resolução 
 
Questão puramente teórica. Os eventos são independentes se a ocorrência de um 
não alterar a probabilidade de ocorrência do outro. 
 
Alternativa (d). 
 
(BACEN ± CESPE/2013) Considerando que um investidor obtenha retornos 
diários iguais a R$ 10,00, R$ 50,00 ou R$ 100,00 com probabilidades iguais a 
0,70, 0,25 e 0,05, respectivamente, julgue os itens subsequentes. 
 
Exercício 17 
 
A probabilidade de o investidor obter retorno superior a R$ 40,00 é maior que 
25%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resolução 
 
Esta questão é muito fácil, pois a probabilidade de obtermos retornos superior a R$ 
40,00 é a soma das probabilidade de obtermos R$ 50,00 e R$ 100,00: 
 ܲሺܴ ? ? ?ሻ ൅ ܲሺܴ ? ? ? ?ሻ ൌ ?ǡ ? ?൅ ?ǡ ? ?ൌ ?ǡ ? ?ൌ ? ? ? 
 
Alternativa correta. 
 
Exercício 18 
 
O retorno diário esperado pelo investidor é inferior a R$ 20,00. 
 
Resolução 
 
Vamos tirar a esperança do processo: 
 ܧሺݎ݁ݐ݋ݎ݊݋ሻ ൌ ?ǡ ? ? ? ?൅ ?ǡ ? ? ? ? ?൅ ?ǡ ? ? ? ? ? ?ൌ ? ?ǡ ? 
 
Alternativa errada. 
 
 
Exercício 19 
 
Se o retorno diário de R$10,00 e de R$ 100,00 forem eventos independentes, 
então a probabilidade de se obter retorno diário igual a R$10,00 ou R$ 100,00 é 
maior que 73%. 
 
 
 
 
 
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Resolução 
 
Esta questão já foi muito discutida no meio dos concursos. Seu gabarito consta 
como correta, porém, já foi mais do que mostrado, que ela está errada! 
 
Vamos ver o que houve. 
 
Olhe, como os eventos são independentes a probabilidade de intersecção de 
ambos é igual ao produto de suas probabilidades: 
 ܲሺ ? ?� ת ? ? ?ሻ ൌ ܲሺ ? ?ሻ ? ሺܲ ? ? ?ሻ ൌ ?ǡ ? ڄ ?ǡ ? ?ൌ ૙ǡ ૙૜૞ 
 
-³3DUD�TXH�LVVR�p�QHFHVViULR´" 
 
Ora, o que está sendo pedido é: 
 ܲሺ ? ?� ׫ ? ? ?ሻ ൌǫ 
 
Assim, nós já sabemos que: 
 ܲሺ ? ?� ת ? ? ?ሻ ൌ ܲሺ ? ?ሻ ൅ ܲሺ ? ? ?ሻ െ ܲሺ ? ?� ת ? ? ?ሻ 
 
Substituindo os valores: 
 ܲሺ ? ?� ת ? ? ?ሻ ൌ ܲሺ ? ?ሻ ൅ ܲሺ ? ? ?ሻ െ ܲሺ ? ?� ת ? ? ?ሻ ൌ ?ǡ ? ൅ ?ǡ ? ?െ ?ǡ ? ? ?ൌ ૙ǡ ૠ૚૞ 
 
Ou seja, o item está errado! Porém o gabarito consta como certo. O problema é que, 
para chegarmos no resultado do gabarito, precisaríamos considerar os eventos 
como dependentes (mutuamente exclusivos, na verdade), o que vai contra o próprio 
enunciado. 
 
 
 
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Exercício 20 
 
(Ministério das Cidades ± CETRO/2013) Para construir o boxplot, utilizam-se 
as seguintes medidas, exceto: 
a) valor mínimo. 
b) primeiro quartil. 
c) mediana. 
d) valor máximo. 
e) variância. 
 
 
Resolução 
 
9DPRV�QRV�OHPEUDU�GR�³ER[SORW´� 
 
 
 
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Neste caso, nós temos os quartis, a mediana e os valores extremos. Portanto, das 
alternativas, o único parâmetro que não consta é a variância. 
 
Alternativa (e). 
 
 
Exercício 21 
 
(Ministério das Cidades ± CETRO/2013) Com relação a covariância, assinale a 
alternativa correta. 
a) Se duas variáveis são diretamente correlacionadas, a covariância e 
negativa. 
b) A covariância e o único elemento que define a dependência entre duas 
variáveis. 
c) Se duas variáveis são inversamente correlacionáveis, a covariância esta 
entre 0 e 1. 
d) Se duas variáveis são independentes, a covariância é zero. 
e) A covariância não é um bom elemento para definir a correlação entre as 
variáveis. 
 
Resolução 
 
Questão puramente conceitual. 
 
a) Neste caso, a covariância é positiva. 
b) Não, pois há diversas formas de mensurar a dependência. 
c) Errado, pois, neste caso, a covariância é negativa. 
d) Perfeito, conforme definição. 
e) Essa é justamente uma das utilidades da covariância. 
 
Alternativa (d). 
 
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(ICMS-SP ± FCC\2009) Para resolver às questões de números 22 e 23, 
considere a tabela de frequências relativasabaixo, que mostra a distribuição 
dos valores arrecadados, em 2008, sobre determinado tributo, referente a um 
ramo de atividade escolhido para análise. Sabe-se que: 
I. As frequências absolutas correspondem às quantidades de recolhimentos, 
sendo as frequências relativas do segundo e terceiro intervalos de classe 
iguais a x e y, respectivamente. 
II. A média aritmética da distribuição, valor arrecadado por recolhimento, é 
igual a R$ 3.350,00 (valor encontrado considerando que todos os valores 
incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio 
deste intervalo). 
 
 
 
Exercício 22 
 
A porcentagem de recolhimentos com valores arrecadados maiores ou iguais 
a R$ 3.000,00 é 
a) 70% 
b) 65% 
c) 55% 
d) 45% 
e) 40% 
 
 
 
 
 
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Resolução 
 
Bom, nós vamos precisar de 2 equações para encontrarmos estas duas incógnitas. 
 
A primeira é fácil, dado que a soma das frequências relativas deve ser igual a 1: 
 ?ǡ ? ൅ ݔ ൅ ݕ ൅ ?ǡ ? ൅ ?ǡ ? ൌ ? ՜ ࢞ ൅ ࢟ ൌ ૙ǡ ૟ 
 
A segunda equação vem da afirmação II, no que se refere a média aritmética com 
os pontos médios das classes. Os pontos médios serão o valor inferior da classe 
mais R$ 500,00, pois a amplitude da classe é de R$ 1.000,00. Assim, para 
encontrar a média: 
 ? ? ? ?ൈ ?ǡ ? ൅ ? ? ? ?ൈ ݔ ൅ ? ? ? ?ൈ ݕ ൅ ? ? ? ?ൈ ?ǡ ? ൅ ? ? ? ?ൈ ?ǡ ? ൌ ? ? ? ? 
 
Rearranjando a expressão acima: 
 ? ? ?൅ ? ? ? ?ݔ ൅ ? ? ? ?ݕ ൅ ? ? ?൅ ? ? ?ൌ ? ? ? ?՜ ૛૞૙૙࢞ ൅ ૜૞૙૙࢟ ൌ ૚ૠ૞૙ 
 
Bom, com base na primeira equação, sabemos que: 
 ݔ ൌ ?ǡ ? െ ݕ 
 
Substituindo na segunda: 
 ? ? ? ?ሺ ?ǡ ? െ ݕሻ ൅ ? ? ? ?ݕ ൌ ? ? ? ? ՜ ? ? ? ?െ ? ? ? ?ݕ ൅ ? ? ? ?ݕ ൌ ? ? ? ? 
 
Portanto: 
 ? ? ? ?ݕ ൌ ? ? ?՜ ݕ ൌ ?ǡ ? ? 
 
Com base na primeira equação: 
 
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 ݔ ൌ ?ǡ ? െ ?ǡ ? ?ൌ ?ǡ ? ? 
 
Assim, fica fácil encontrar a porcentagem de recolhimentos superiores a R$ 3.000: 
 ܴ݁ܿ݋݈݄݅݉݁݊ݐ݋ݏ� ൒ ?Ǥ ? ? ?ൌ ݕ ൅ ?ǡ ? ൅ ?ǡ ? ൌ ૙ǡ૞૞ ൌ ૞૞ ? 
 
Alternativa (c). 
 
 
Exercício 23 
 
Utilizando o método da interpolação linear, tem-se que o valor da respectiva 
mediana é 
(A) R$ 3.120,00 
(B) R$ 3.200,00 
(C) R$ 3.400,00 
(D) R$ 3.600,00 
(E) R$ 3.800,00 
 
Resolução 
 
Agora que conhecemos x e y, sabemos que até x acumulam-se 45% das 
observações e até y 70%. Portanto, a mediana está na classe do y e corresponde a 
5% das observações nesta classe. Assim: 
 
 ?ǡ ? ? ? ? ? ?ൌ ?ǡ ? ?ݔ 
 
Ou seja, uma amplitude de 1.000 corresponde a 25%, assim como 5% corresponde 
a x. Resolvendo: 
 ?ǡ ? ?ݔ ൌ ? ?՜ ݔ ൌ ? ? ? 
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Portanto, a mediana é iguala a soma do limite inferior da classe mais R$ 200,00: 
 ݉݁݀݅ܽ݊ܽ ൌ ? ? ? ?൅ ? ? ?ൌ ? ? ? ? 
 
Alternativa (b). 
 
Exercício 24 
 
(TRT 16ª ± FCC\2014) Uma população, considerada de tamanho infinito, 
DSUHVHQWD�XPD�GLVWULEXLomR�QRUPDO�FRP�PpGLD�ȝ�H�XPD�YDULkQFLD�SRSXODFLRQDO 
igual a 576. Com base em uma amostra aleatória de tamanho 100 extraída 
desta população, obteve-se um intervalo de FRQILDQoD�SDUD�ȝ�LJXDO�D�>���������
������@�� FRP� XP� QtYHO� GH� FRQILDQoD� GH� ��� í� Į��� &RQVLGHUDQGR� XPD� RXWUD�
amostra aleatória desta população, independente da primeira, de tamanho 144 
obteve-VH�XP�QRYR�LQWHUYDOR�GH�FRQILDQoD�SDUD�ȝ�FRP�XP�QtYHO�GH confiança (1 
í�Į���$�DPSOLWXGH�GHVWH�QRYR�LQWHUYDOR�p�LJXDO�D: 
a) 8,00. 
b) 9,20. 
c) 8,60. 
d) 9,60. 
e) 9,84. 
 
Resolução 
 
Como encontrar a amplitude? 
 
Pense: 
 ܺ ൌ ߤ േ ݖ ?ߪ ?݊ 
 
Assim, nós sabemos que, no caso da primeira amostra: 
 
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 ? ? ?ǡ ? ?ൌ ߤ െ ݖ ?ߪ ?݊ ? ? ?ǡ ? ?ൌ ߤ ൅ ݖ ?ߪ ?݊ 
 
Nós sabemos o valor do desvio padrão populacional (ߪ) e do tamanho da amostra 
(݊): 
 ? ? ?ǡ ? ?ൌ ߤ െ ݖ ? ? ? ? ? ? ? ?ǡ ? ?ൌ ߤ ൅ ݖ ? ? ? ? ? 
 
Agora é só resolver o sisteminha: 
 ? ? ?ǡ ? ?൅ ݖ ? ? ? ? ?ൌ ߤ 
 
 
Substituindo na equação de baixo: 
 ? ? ?ǡ ? ?ൌ ൬ ? ? ?ǡ ? ?൅ ݖ ? ? ? ? ?ൌ൰ ൅ ݖ ? ? ? ? ? 
 ? ?ǡ ? ?ൌ ? ? ݖ ? ? ? ? ? 
 ݖ ൌ ?ǡ ? 
 
Assim: 
 ? ? ?ǡ ? ?൅ ?ǡ ? ? ? ? ? ?ൌ ࣆ ൌ ૛૙૙ 
 
Agora, vamos encontrar a amplitude do intervalo de confiança da segunda amostra, 
já que conhecemos z. A amplitude do intervalo é tão somente: 
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 ? ? ݖ ?ߪ ?݊ 
 
Ora, você não vai somar e diminuir este valor da média a fim de encontrar o 
intervalo de confiança? Então, a amplitude será dada por duas vezes este valor, 
pois este valor será acrescentado a este intervalo do lado esquerdo e direito. Assim: 
 ? ? ݖ ?ߪ ?݊ ൌ ? ? ?ǡ ? ? ? ? ? ?ൌ ૢǡ ૛ 
 
Alternativa (b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Lista dos exercícios resolvidos 
 
Exercício 1 
 
Dada a seguinte fdc: 
 ࢌሺ࢞ǡ ࢟ሻ ൌ ൜࡭࢞࢟ǡ ࢖ࢇ࢘ࢇ�૙ ൏ ࢞ ൏ ૚�ࢋ�૙ ൏ ࢟ ൏ ૚૙ǡ���ࢉࢇ࢙࢕�ࢉ࢕࢔࢚࢘ž࢘࢏࢕ ൠ 
 
'HWHUPLQH�R�YDORU�GH�³࡭´� 
 
 
Exercício 2 
 
Dada a seguinte fdc: 
 ࢌሺ࢞ǡ ࢟ሻ ൌ ൜૝࢞࢟ǡ ࢖ࢇ࢘ࢇ�૙ ൏ ࢞ ൏ ૚�ࢋ�૙ ൏ ࢟ ൏ ૚૙ǡ���ࢉࢇ࢙࢕�ࢉ࢕࢔࢚࢘ž࢘࢏࢕ ൠ 
 
Encontre a função densidade de probabilidade marginal para ࢟. 
 
 
Exercício 3 
 
Dada a seguinte fdc: 
 ࢌሺ࢞ǡ ࢟ሻ ൌ ൜૝࢞࢟ǡ ࢖ࢇ࢘ࢇ�૙ ൏ ࢞ ൏ ૚�ࢋ�૙ ൏ ࢟ ൏ ૚૙ǡ���ࢉࢇ࢙࢕�ࢉ࢕࢔࢚࢘ž࢘࢏࢕ ൠ 
 
Encontre a esperança de ࢟. 
 
 
 
 
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Exercício 4 
 
Dada a seguinte fdc: 
 ࢌሺ࢞ǡ ࢟ሻ ൌ ൜૝࢞࢟ǡ ࢖ࢇ࢘ࢇ�૙ ൏ ࢞ ൏ ૚�ࢋ�૙ ൏ ࢟ ൏ ૚૙ǡ���ࢉࢇ࢙࢕�ࢉ࢕࢔࢚࢘ž࢘࢏࢕ ൠ 
 
Encontre a função que define ࢌ࢞ȁ࢟. 
 
Exercício 5 
 
(MTUR ± ESAF/2014) Dois eventos A e B são tais que: P(A) = 0,25; P(B/A) = 0,5; 
P(A/B) = 0,25. Assim, pode-se afirmar que: 
a) A e B são eventos dependentes. 
b) P(B) = 0,5 e os eventos são mutuamente exclusivos. 
c) P(B) = 0,25 e os eventos são independentes. 
d) P(B) = 0,5 e os eventos são independentes. 
e) P(AځB) = 0 e os eventos são independentes. 
 
 
Exercício 6 
 
(MTUR ± ESAF/2014) Uma variável aleatória contínua x possui função 
densidade dada por: f(x) = 0 para x < 0; f(x) = 3x² para ��”�[�”����I�[�� ���SDUD�[�!�
1. Desse modo, a expectância de x é igual a: 
a) 1/3 
b) 3/4 
c) 1/4 
d) 1/2 
e) 1/5 
 
 
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Exercício 7 
 
(MTUR ± ESAF/2014) Considerando a variável aleatória contínua bidimensional 
definida por f�[�\�� � �[\�SDUD���”�[�”���H���”� \�”����HQWmR�D probabilidade de 
FRQMXQWDPHQWH�RFRUUHU���”�[�”�����H���”�\ ”������RX�VHMD��3�[�”����� ��\�”������p�
igual a: 
a) 2/3 
b) 1/8 
c) 3/62 
d) 3/32 
e) 1/6 
 
 
Exercício 8 
 
(INEA ± FGV\2013) Duas variáveis aleatórias discretas X e Y têm função de 
probabilidade conjunta dada na tabela a seguir 
 
 
 
A probabilidade condicional P[X = 0 | y = 2] é igual a 
a) 30%. 
b) 40%. 
c) 50%. 
d) 60%. 
e) 70%. 
 
 
 
 
 
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(IMESC ± VUNESP/2013) Leia o enunciado a seguir para responder às 
questões de números 9 e 11. 
 
 
Uma variável aleatória contínua tem a função de distribuição de probabilidade 
dada por: 
I�[�� ��[����”�[�”��� 
f(x) = 0 fora desse intervalo. 
 
 
Exercício 9 
 
Então, a probabilidade de que x seja menor do que 0,8 é igual a 
a) 0,84. 
b) 0,78. 
c) 0,70. 
d) 0,64. 
e) 0,60. 
 
 
Exercício 10 
 
O valor esperado é, aproximadamente, 
a) 0,25. 
b) 0,38. 
c) 0,50. 
d) 0,58. 
e) 0,67. 
 
 
 
 
 
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Exercício 11 
 
A variância da variável aleatória é, aproximadamente, 
a) 0,01. 
b) 0,06. 
c) 0,11. 
d) 0,18. 
e) 0,22. 
 
 
Exercício 12 
 
(DEGASE ± CEPERJ/2012) Em uma turma há 20 homens e 10 mulheres. Para 
os homens, o percentual de aprovação foi de 80%, enquanto para as mulheres 
o percentual de aprovação foi de 90%. Se selecionarmos um aluno ao acaso 
dentre o conjunto de alunos aprovados, a probabilidade de este aluno ser do 
sexo masculino será de: 
a) 0,48 
b) 0,60 
c) 0,64 
d) 0,89 
e) 0,90 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 13 
 
(DEGASE ± CEPERJ/2012) A distribuição apresenta assimetria negativa, que é 
caracterizada, tipicamente, pelas seguintes relações: 
A) média < mediana < moda 
B) média < moda < mediana 
C) moda < média < mediana 
D) moda < mediana < média 
E) mediana < moda < média 
 
 
Exercício 14 
 
(DEGASE ± CEPERJ/2012) Dois candidatos A e B irão realizar prova para 
determinado concurso. Supondo que a probabilidade de o candidato A ser 
aprovado é de 0,40 e a probabilidade de o candidato B ser aprovado é de 0,30, 
e que a aprovação ou não de um dos candidatos não interfere nas chances de 
aprovação do outro candidato, a probabilidade de ambos serem aprovados no 
concurso é de: 
a) 0,10 
b) 0,12 
c) 0,30 
d) 0,40 
e) 0,70 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 15 
 
(IBGE ± CESGRANRIO/2010) Um comitê é formado por três pesquisadores 
escolhidos dentre quatro estatísticos e três economistas. A probabilidade de 
não haver nenhum estatístico é 
a) 1/ 35 
b) 4/35 
c) 27/243 
d) 64/243 
e) 3/7 
 
 
Exercício 16 
 
(STN ± ESAF/2008) Dois eventos A e B são ditos eventos independentes se e 
somente se: 
a) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for nula. 
b) a ocorrência de B alterar a probabilidade de ocorrência de A. 
c) a ocorrência de A alterar a probabilidade de ocorrência de B. 
d) a ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A. 
e) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for igual a 1. 
 
 
 (BACEN ± CESPE/2013) Considerando que um investidor obtenha retornos 
diários iguais a R$ 10,00, R$ 50,00 ou R$ 100,00 com probabilidades iguais a 
0,70, 0,25 e 0,05, respectivamente, julgue os itens subsequentes. 
 
Exercício 17 
 
A probabilidade de o investidor obter retorno superior a R$ 40,00 é maior que 
25%. 
 
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Exercício 18 
 
O retorno diário esperado pelo investidor é inferior a R$ 20,00. 
 
 
Exercício 19 
 
Se o retorno diário de R$10,00 e de R$ 100,00 forem eventos independentes, 
então a probabilidade de se obter retorno diário igual a R$10,00 ou R$ 100,00 é 
maior que 73%. 
 
 
Exercício 20 
 
(Ministério das Cidades ± CETRO/2013) Para construir o boxplot, utilizam-se 
as seguintes medidas, exceto: 
a) valor mínimo. 
b) primeiro quartil. 
c) mediana. 
d) valor máximo. 
e) variância. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 21 
 
(Ministério das Cidades ± CETRO/2013) Com relação a covariância, assinale a 
alternativa correta. 
a) Se duas variáveis são diretamente correlacionadas, a covariância e 
negativa. 
b) A covariância e o único elemento que define a dependência entre duas 
variáveis. 
c) Se duas variáveis são inversamente correlacionáveis, a covariância esta 
entre 0 e 1. 
d) Se duas variáveis são independentes, a covariância é zero. 
e) A covariância não é um bom elemento para definir a correlação entre as 
variáveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(ICMS-SP ± FCC\2009) Para resolver às questões de números 22 e 23, 
considere a tabela de frequências relativas abaixo, que mostra a distribuição 
dos valores arrecadados, em 2008, sobre determinado tributo, referente a um 
ramo de atividade escolhido para análise. Sabe-se que: 
I. As frequências absolutas correspondem às quantidades de recolhimentos, 
sendo as frequências relativas do segundo e terceiro intervalos de classe 
iguais a x e y, respectivamente. 
II. A média aritmética da distribuição, valor arrecadado por recolhimento, é 
igual a R$ 3.350,00 (valor encontrado considerando que todos os valores 
incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio 
deste intervalo). 
 
 
 
Exercício 22 
 
A porcentagem de recolhimentos com valores arrecadados maiores ou iguais 
a R$ 3.000,00 é 
a) 70% 
b) 65% 
c) 55% 
d) 45% 
e) 40% 
 
 
 
 
 
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Exercício 23 
 
Utilizando o método da interpolação linear, tem-se que o valor da respectiva 
mediana é 
(A) R$ 3.120,00 
(B) R$ 3.200,00 
(C) R$ 3.400,00 
(D) R$ 3.600,00 
(E) R$ 3.800,00 
 
 
Exercício 24 
 
(TRT 16ª ± FCC\2014) Uma população, considerada de tamanho infinito, 
DSUHVHQWD�XPD�GLVWULEXLomR�QRUPDO�FRP�PpGLD�ȝ�H�XPD�YDULkQFLD�SRSXODFLRQDO 
igual a 576. Com base em uma amostra aleatória de tamanho 100 extraída 
desta população, obteve-se um intervalo de FRQILDQoD�SDUD�ȝ�LJXDO�D�>���������
������@�� FRP� XP� QtYHO� GH� FRQILDQoD� GH� ��� í� Į��� &RQVLGHUDQGR� XPD� RXWUD�
amostra aleatória desta população, independente da primeira, de tamanho 144 
obteve-VH�XP�QRYR�LQWHUYDOR�GH�FRQILDQoD�SDUD�ȝ�FRP�XP�QtYHO�GH confiança (1 
í�Į���$�DPSOLWXGH�GHVWH�QRYR�LQWHUYDOR�p�LJXDO�D: 
a) 8,00. 
b) 9,20. 
c) 8,60. 
d) 9,60. 
e) 9,84. 
 
 
 
 
 
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5 ± d 
6 ± b 
7 ± d 
8 ± d 
9 ± d 
10 ± e 
11 ± b 
12 ± c 
13 ± a 
14 ± b 
15 ± a 
16 ± d 
17 ± C 
18 ± E 
19 ± C (?) 
20 ± e 
21 ± d 
22 ± c 
23 ± b 
24 ± b 
 
 
Mais uma etapa concluída. Continuem estudando firme! 
 
Um abraço e bons estudos. 
 
jeronymo@estrategiaconcursos.com.br 
 
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