WEB AULA MÉTODOS QUANTITATIVOS

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CIÊNCIAS CONTÁBEIS
 Web Aula 1
Unidade 1 – OPERAÇÕES BÁSICAS DA MATEMÁTICA e ANÁLISE DE DADOS
OPERAÇÕES BÁSICAS DA MATEMÁTICA
A)   PORCENTAGEM
Um dos conceitos matemáticos mais utilizados em nossa vida diária é a porcentagem;
Define-se porcentagem como a centésima parte de uma grandeza ou o cálculo baseado em 100 unidades;
Muitas vezes, vemos a porcentagem associada com operações de acréscimo ou de desconto nos preços dos produtos e serviços.
Porcentagens em números. Exemplo:
Calcular 60% de R$ 150,00:
O número de R$ 90,00 representa o valor da PORCENTAGEM.
ACRÉSCIMOS E DESCONTOS:
a)    Calcular 22% de acréscimo de R$ 180,00:
b)    Calcular 30% de desconto de R$ 68,00:
VARIAÇÃO PERCENTUAL
Um equipamento que custava R$ 1200,00 teve um aumento a partir de agosto de 2012, passando a custar R$ 1800,00. Qual foi o percentual de aumento?
Resolução:
	APROFUNDANDO O CONHECIMENTO: Agora sugiro que você abra a biblioteca digital, procure pelo livro de ARAMAN, E. M., SAMPAIO, H. R., Matemática: Ciências Contábeis I, São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009. Leia a unidade 1, da página 6 a 10.
B)   FUNÇÃO DE 1º GRAU
É uma função f(x) dada por f(x)=ax + b, onde:
x= incógnita
a=coeficiente angular (a≠0)
b=coeficiente linear (termo independente)
A função de 1º grau pode ser representada graficamente pela Figura 01.
Figura 1 – Representação gráfica da função de 1º grau
 
Exemplo de Aplicação: Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes. Uma parte fixa, no valor de R$ 1.900,00, e uma parte variável, que corresponde a uma comissão de 5% do total de vendas que ele fez durante o mês.
a) Expresse a função que representa seu salário mensal;
b) Calcular o salário do vendedor, sabendo que durante determinado mês ele vendeu R$ 15.000,00 em produtos.
Resolução:
Seja S o salário e x as vendas, então:
a) Função de 1º grau:
S = 1900 + 0,05 * x
b) Se vendeu R$ 15.000 (x) reais, temos:
S = 1900 + 0,05*15000
S = 1900 + 750
S = R$ 2650,00
	APROFUNDANDO O CONHECIMENTO: Agora sugiro que você abra a biblioteca digital, procure pelo livro de ARAMAN, E. M., SAMPAIO, H. R., Matemática: Ciências Contábeis I, São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009. Leia a unidade 2 da página 19 a 21.
C) POTENCIAÇÃO
A potenciação é a operação de elevar um número ou expressão a uma dada potência.
Potências de Base Real com Expoente Inteiro:
Nestas condições há quatro situações que iremos tratar: (a) o expoente é maior que 1, (b) expoente é igual a 1, (c) expoente é igual a zero e (d) expoente é negativo.
Expoente Maior que 1:
De forma geral: an = a*a*a*a.....a (multiplicação de n fatores iguais “a”).
Exemplos:
52= 5 . 5= 25 (base 5; expoente 2)
53= 5 . 5. 5= 125 (base 5; expoente 3)
23= 2 . 2. 2= 8 (base 2; expoente 3)
26= 2 . 2. 2 . 2 . 2. 2= 64 (base 2; expoente 6)
Expoente Igual a 1:
Todo número elevado a 1 é igual ao próprio número (a1 = a):
31 = 3
61 = 6
Expoente Igual a Zero:
Todo número, diferente de zero, elevado a zero é igual a 1 (a0 = 1):
20 = 1
50 = 1
Expoente Negativo
Qualquer número diferente de zero elevado a um expoente negativo é igual ao inverso deste número elevado ao oposto do expoente:
Cálculo do Expoente: Aplicação na HP 12C
Clique no link abaixo e aprenda a fazer cálculos de expoente utilizando a calculadora HP 12C.
www.manoel.pro.br/quantitativos1.pdf
D) ANÁLISE ESTATÍSTICA DE DADOS
ESTATÍSTICA: A estatística é a ciência dos dados que nos fornece métodos para coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados para a utilização deles na tomada de decisões. É objetivo da estatística: extrair informação de um conjunto de dados para obter uma melhor compreensão das situações que representam.
Para melhor compreendermos os propósitos da Estatística, é necessário conhecermos alguns conceitos básicos, tais como: população, amostra, atributos, variáveis. Acesse o link abaixo e estude estes conceitos muito importantes.
www.manoel.pro.br/quantitativos2.pdf
	Aprofundando o conhecimento: Agora sugiro que você abra a biblioteca digital, procure pelo livro: LARSON, R.; FARBER, B. Estatística Aplicada. 2ª Edição. São Paulo: Editora Pearson, 2008. Leia o capítulo 1 da página 2 a 6.
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NÚMEROS ÍNDICES E REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
A) NÚMEROS ÍNDICES
A análise de evolução de preços, quantidades produzidas ou vendidas e valores ao longo do tempo podem requerer diferentes procedimentos e técnicas. Números-índices representam medidas estatísticas utilizadas para resumir modificações em variáveis econômicas, ou um grupo de variáveis, facilitando o estudo da evolução de dados quantitativos ao longo do tempo, podendo assumir diferentes forma, como números-índices simples ou composto, estes últimos empregados na análise conjunta de diferentes dados.
Alguns números-índices podem ser chamados de índices econômicos quando são utilizados para medir variações ocorridas ao longo do tempo das variáveis de preços, quantidade e valor associados ao nível de custo de vida ou de preços praticados em uma economia. No Brasil, os índices mais conhecidos são o Índice Geral de Preço (calculado pela Fundação Getúlio Vargas, o FGV) e o Índice Nacional de Preços ao Consumidor (INPC) (calculado pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, o IBGE).
NÚMEROS-ÍNDICES SIMPLES
Números-índices simples podem ser de preços, quantidades ou valores, conforme será discutido a seguir.
Índice Relativo de Preços (Ip): Expressam a relação entre o preço de um único produto em um período determinado e o de outro período, comumente denominado período básico ou de referência.
O índice de preço relativo do período b (Pb), em relação ao do período a  (Pa) pode ser definido pela seguinte equação:
Exemplo: Se um produto custava R$ 40,00 em 2008 e passou a custar R$ 50,00 em 2009, o índice de preço relativo de preço entre 2009 e 2008 é expresso como:
Em outro exemplo, considere os preços médios unitários da produção de certo produto durante os anos de 2004 a 2009 apresentados na Tabela 01. Adotando o ano de 2004 como base, pode-se determinar os índices de preços relativos correspondentes aos anos de 2007 e 2008.
Tabela 01: Preços médios unitários da produção de certo produto.
	Ano
	2004
	2005
	2006
	2007
	2008
	2009
	Preço (R$)
	10,50
	10,48
	11,30
	11,95
	12,20
	12,75
Fonte: Bruni (2007).
Usando a fórmula anterior, pode-se calcular o preço relativo de 2007 e 2008, adotando o ano de 2004 como base:
Índice Relativo de Quantidades (Iq): Assim como podemos comparar os preços de bens/produtos, podemos também fazê-lo em relação a quantidades, quer sejam elas produzidas, vendidas ou consumidas. Se fizermos qb= quantidade de um produto na época atual e qa= quantidade desse mesmo produto no ano base, a quantidade relativa será:
Exemplo: Uma empresa produziu 46 toneladas de aço em 1999 e 69 toneladas em 2000. A quantidade relativa será tomando-se o ano de 1999 como base:
Ou seja, no ano de 2000 esta empresa aumentou sua produção em 50% (150-100) em relação a 1999.
Índice Relativo de Valor (Iv): Se p for o preço de determinada mercadoria em certa época e q a quantidade produzida, vendida ou consumida desse mesmo produto na mesma época, então o produto p x q será denominado valor total de produção (vt), de vendas ou de consumo. Sendo pte qtrespectivamente, o preço e a quantidade de um artigo na época atual, e po e qo o preço e a quantidade do mesmo artigo no ano base, definimos como índice relativo de valor (Iv) a razão:
Onde: vt – valor total na data atual, v0 - valor total na data de ano base.
Exemplo: Uma empresa vendeu, em 2000, 1000 unidades de um produto ao preço unitário de R$ 500,00. Em 2001, vendeu 800 unidades do mesmo produto ao preço unitário de R$ 600,00. O valor relativo da venda em 2001 foi:
Em 2001, o valor das vendas foi 4% (96-100) inferior ao de 2000.
Exemplo: Números-índices simples - No final do ano de 2009, certa indústria estudava a evolução de suas vendas ao longo dos seis últimos anos. Asquantidades vendidas, os preços praticados e o valor das vendas de cada ano podem ser visualizados na Tabela 02.
Tabela 02: Vendas Anuais da Empresa Sejam Bem-Vindos LTDA.
	Ano
	Quantidade Vendida
	Preço unitário (R$)
	Valor das Vendas (R$)
	2004
	52
	222,00
	11.544,00
	2005
	55
	238,00
	13.090,00
	2006
	61
	253,00
	15.433,00
	2007
	67
	271,00
	18.157,00
	2008
	73
	284,00
	20.732,00
	2009
	78
	297,00
	23.166,00
Fonte: Adaptada de Bruni (2007).
Com base na tabela anterior, a empresa constatou, obviamente, que quantidades, preços e, principalmente, os valores das vendas cresceram. Porém, gostaria de aprofundar esta análise, detalhando a evolução relativa dos crescimentos e, principalmente, o efeito sobre o valor das vendas. Uma solução bastante simples para facilitar a análise envolveria a construção de números-índices, onde a empresa poderia analisar a evolução de suas vendas ao longo do tempo.
Assim, uma forma de analisar a evolução e as variações ocorridas nos dados apresentados seria construir uma tabela formada por números-índices. Neste caso, como se trata de analisar a evolução de um único produto, os números-índices são chamados de números-índices simples.
Para construir as séries para preços, quantidade e valores, basta dividir todos os valores de uma no escolhido mês base, expressando os valores obtidos em porcentual, ou seja, multiplicados por 100%.
Por exemplo, empregando o ano de 2004 como ano base, o índice simples de quantidade (Iq) para o ano de 2005 seria igual a (55/52)*100%, que resulta no valor de 106%. O índice simples de preço (Ip) para o ano de 2007 seria igual a (271/222)*100%, que resulta em 122%. No ano base (2004), os valores de todos os índices seriam iguais a 100%. A Tabela 03 apresenta os números-índices para os demais dados, obtidos de maneira similar às descritas.
Tabela 03: Índices de quantidade (Iq), preço (Ip) e valor (Iv) – referentes à Tabela 02.
	Ano
	Iq
	Ip
	Iv
	2004
	100%
	100%
	100%
	2005
	106%
	107%
	113%
	2006
	117%
	114%
	134%
	2007
	129%
	122%
	157%
	2008
	140%
	128%
	180%
	2009
	150%
	134%
	201%
Fonte: Adaptada de Bruni (2007).
Analisando os valores apresentados na Tabela 03, a indústria facilmente perceberia que a evolução dos valores de vendas é influenciada pela evolução das quantidades e preços, sendo mais evidente a evolução das quantidades.
	Leitura Complementar: Agora sugiro que você abra a biblioteca digital, procure pelo livro GARCIA, Regis. Estatística aplicada. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2009. Leia a Unidade 2 - páginas 26 e 27.
NÚMEROS-ÍNDICES COMPOSTOS
Acesse o link abaixo e estude de forma detalhada os números-índices compostos.
www.manoel.pro.br/quantitativos3.pdf
A) APRESENTAÇÃO DE DADOS EM GRÁFICOS
Gráficos ajudam a visualizar a distribuição das variáveis. Nesta etapa serão apresentadas as formas de apresentar dados em gráficos, seguindo as normas nacionais ditadas pela Fundação Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). Todo gráfico deve apresentar título e escala. Otítulo deve ser colocado abaixo do gráfico. As escalas devem ser crescentes da esquerda para a direita e de baixo para cima.
Acesse o link abaixo e aprenda sobre os conceitos de apresentação de dados em forma de gráficos.
www.manoel.pro.br/quantitativos4.pdf
	Aprofundando o conhecimento: Agora sugiro que você abra a biblioteca digital, procure pelo livro GARCIA, R. - UNOPAR. Estatística. São Paulo: Editora: Pearson Education do Brasil, 2009. Leia o capítulo 2 da página 33 a 40.
 
	Agora que finalizamos a primeira unidade, que tal fazermos uma reflexão no fórum sobre o que foi estudado? Convido todos vocês a participar.
 
CIÊNCIAS CONTÁBEIS
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Unidade 2 – MEDIDAS ESTATÍSTICAS: MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE DISPERSÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO
Como o próprio título sugere nosso objetivo aqui é a determinação e de medidas que ofereçam o posicionamento da distribuição dos valores de uma variável que desejamos analisar.
São os cálculos estatísticos que representam uma série de dados orientando-nos quanto à posição da distribuição de dados, sendo que as medidas de posição mais utilizadas são: média aritmética, moda e mediana.
Média Aritmética (x)
A medida de tendência central mais comum para um conjunto de dados é a média aritmética. A média aritmética amostral de um conjunto de dados é o quociente entre a soma dos valores do conjunto e o número total dos valores.
Onde: xi são os valores da variável e n o número de valores.
Exemplo 1: Encontrar a média aritmética para um conjunto de observações: 5, 1, 6, 2, 4.
Solução: Temos cinco observações: n=5, então:
Quando a amostra é muito grande e os dados são discretos, podem ocorrer valores repetidos. Nesse caso é razoável organizar os dados em uma tabela de distribuição de frequências e trabalharmos comdados agrupados.
Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de frequência usaremos a média aritmética do valores x1, x2, x3,....xn, ponderados pelas respectivas frequências absolutas: F1, F2, F3,..., Fn, Assim:
Exemplo (Cálculo da média com intervalos de classe):
“Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média aritmética ponderada por meio da fórmula” anterior, onde xi é o ponto médio da classe (AMAZONAS, 2013, p. 16). Dada a seguinte distribuição de frequência:
 
Aplicando a equação anterior temos que:
Média Aritmética Ponderada (x):
A média aritmética ponderada também é chamada de média ponderada. É empregada quando as variáveis têm diferentes importâncias relativas, ou ainda, diferentes pesos relativos.
No cálculo da média ponderada, cada valor coletado na série tem uma participação proporcional ao seu peso, isto é, proporcional à importância relativa no conjunto.
O cálculo da média ponderada é obtido pela soma das variáveis multiplicadas pelos seus pesos, dividida pela soma dos pesos de cada variável. Assim:
 
Onde:
- Média Ponderada
xi – observações ou números da variável em estudo;
pi – ponderações ou pesos da variável.
Exemplo: Calcular a média aritmética ponderada dos números 10, 14, 18 e 30 sabendo-se que os seus pesos são respectivamente 1, 2, 3 e 5.
RESOLUÇÃO:
 
	Aprofundando o conhecimento: Agora sugiro que você abra a biblioteca digital, procure pelo livro GARCIA, R. - UNOPAR. Estatística. São Paulo: Editora: Pearson Education do Brasil, 2009. Leia a unidade 3 - da página 61 a 62.
Mediana (Md)
A mediana é o valor que ocupa a posição central do conjunto de dados ordenados (ROL), portanto está localizada na posição central, tal que 50% dos valores são menores que a mediana e os demais 50% são maiores.
Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n elementos dispostos segundo uma ordem (crescente ou decrescente):
“Quando o número de elementos (n) da série estatística for ímpar, haverá coincidência da mediana com um dos elementos da série” (AMAZONAS, 2013). Neste caso existirá um único valor de posição central, esse valor será a mediana.
Por exemplo, o conjunto de dados {2, 5, 6, 9, 10, 13, 15}, O valor que divide a esta série em duas partes iguais é igual a 9, logo a mediana é 9.
Quando o número de elementos da série estatística for par, nunca haverá coincidência da mediana com um dos elementos da série de dados. A mediana será sempre a média aritmética dos 2 elementos centrais da série de dados. Por exemplo, o conjunto de dados { 0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6 }, a mediana no exemplo será a média aritmética do 5º e 6º termos da série. Portanto, a mediana será = (2+3) / 2, ou seja, m = 2,50.
Cálculo da mediana em dados agrupados em intervalos de classe (variáveis contínuas)
Para aprender como se calcula a mediana para dados agrupados em intervalo de classes acesse o linkabaixo.
http://www.manoel.pro.br/quantitativos5.pdf
Moda (Mo)
Dentre as principais medidas de posição, destaca-sea Moda. É o valor da amostra que mais se repete; ou seja, valor que ocorre com maior frequência.
A Moda quando os dados não estão agrupados:    A Moda é facilmente reconhecida: basta, de acordo com definição, procurar o valor que mais se repete (AMAZONAS, 2013, p. 17). Por exemplo, no conjunto de dados {7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12} a moda é igual a 10.
Há séries nas quais não exista valor modal, isto é, nas quais nenhum valor apareça mais vezes que outros.  Por exemplo, o conjunto de dados {3, 5, 8, 10, 12} não apresenta moda. A série éamodal.
Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de concentração. Dizemos, então, que a série tem dois ou mais valores modais. Por exemplo, o conjunto de dados {2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9} apresenta duas modas: 4 e 7 (AMAZONAS, 2013, p. 17).
Neste caso, a série é bimodal.
Distribuições Simples: Quando uma tabela de distribuição de frequência apresenta grande quantidade de dados. É importante destacar a classe de maior frequência, a chamada classe modal. Essa classe mostra a área em que os dados estão concentrados. Assim, para a distribuição:
 
A moda será 248 (maior frequência), que será indicada por Mo=248 (moda).
Cálculo da moda em valores agrupados em intervalos de classe:
Para aprender como se calcula a moda para dados agrupados em intervalo de classes, acesse o linkabaixo.
http://www.manoel.pro.br/quantitativos6.pdf
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MEDIDAS DE DISPERSÃO E CONCEITOS DE AMOSTRAGEM
MEDIDAS DE DISPERSÃO	
Devido à variabilidade às medidas de tendência central, ainda que consideradas como números que têm a finalidade de representar uma série de dados, não podem por si mesma destacar o grau de homogeneidade ou heterogeneidade que existe entre os valores que compõem o conjunto, e, portanto, não bastam para descrever um conjunto de dados. As medidas de tendência central são tanto mais descritivas de um conjunto de dados quanto menor for a variabilidade. Então, quando apresentamos medidas de tendência central para descrever um conjunto de dados, devemos indicar também uma medida de variabilidade ou dispersão.
Variância populacional (s2) e amostral (S2)
“A variância é uma medida que tem pouca utilidade como estatística descritiva, porém é extremamente importante na inferência estatística e em combinações de amostras” (AMAZONAS, 2013, p. 24). A definição de variância populacional (s2) é dada por:
Onde:
σ2 indica variância populacional e lê-se “sigma” ao quadrado;
X = média
Fi = frequência
N = tamanho da população
Para o caso do cálculo da variância amostral (s2) é conveniente o uso da seguinte fórmula:
Onde:  X = média amostral, n = tamanho da amostra.
Desvio Padrão populacional (σ) e amostral (s)
O desvio padrão e a “medida de dispersão mais geralmente empregada, pois leva em consideração a totalidade dos valores da variável em estudo. É um indicador de variabilidade bastante estável” (AMAZONAS, 2013, p. 22).
Observando-se a fórmula original para o cálculo da variância, nota-se que ela é uma soma de quadrado. Dessa forma, se a unidade da variável for, por exemplo, metro (m), teremos como resultado metro ao quadrado (m2). Para se ter a unidade original, necessita-se definir outra medida de dispersão, que é a raiz quadrada da variância – o desvio padrão. Assim temos:
Exemplo: Calcular a variância amostral (s2) e o desvio-padrão amostral (s) da seguinte distribuição amostral.
 
Resolução:
Primeiramente precisamos do valor da média, conforme vimos anteriormente na web aula 3, temos que:
2º) Cálculo da Variância Amostral (s2)
Para calcularmos a variância amostral (s2) é preciso encontrar o valor de ådi2Fi. Para tanto, uma nova coluna deverá ser considerada na tabela anterior:
3º) Cálculo Desvio-Padrão Amostral (s).
Resumindo: A distribuição possui média 8,06. Isto é, seus valores estão em torno de 8,06 e seu grau de dispersão é de 1,69, medido pelo desvio-padrão.
	Aprofundando o conhecimento: Agora sugiro que você abra a biblioteca digital, procure pelo livro GARCIA, R. - UNOPAR. Estatística. São Paulo: Editora: Pearson Education do Brasil, 2009. Leia a unidade 3 - da página 62 a 64 e 76 a 83.
 
Medida de Dispersão Relativa: Coeficiente de Variação (CV)
Trata-se de uma medida relativa de dispersão útil para comparação em termos relativos do grau de dispersão em torno da média de séries distintas. É dado por:
Onde: s= desvio-padrão amostral e  = média
Exemplo: Numa empresa, o salário médio dos homens é de R$ 4000,00 com desvio-padrão de R$ 1500,00, e os das mulheres é em média de R$ 3000,00 com desvio-padrão de R$ 1200,00. Então:
Logo, podemos concluir que nesta empresa os salários das mulheres apresentam maior dispersão relativa que o salário dos homens.
	Aprofundando o conhecimento: Agora sugiro que você abra a biblioteca digital, procure pelo livro: LARSON, R.; FARBER, B. Estatística Aplicada. 2ª Edição. São Paulo: Editora Pearson, 2008.Leia o capítulo 2 da página 57 a 66.
AMOSTRAGEM
Conceito de Amostragem: É o método de retirada de amostras de uma população. Consiste em selecionar parte de uma população para observar, de forma que seja possível estimar algo sobre toda a população.
A Figura 01 apresenta a ilustração de um levantamento por amostragem.
Figura 2 – Ilustração de um levantamento por amostragem.
 O que é AMOSTRAGEM?
Método de retirada de amostras de uma população, ou seja, processo de seleção da amostra. Consiste em selecionar parte de uma população, para observar, de forma que seja possível estimar algo sobre toda a população (inferência estatística).
Amostragem X Censo
CENSO: Coletar informações sobre TODOS os elementos da        população.
AMOSTRAGEM: Coletar informações de uma PARTE da população (AMOSTRA).
 
Por que fazer amostragem ao invés de Censo?
População infinita;
Economia;
Menor tempo (informações mais rápidas);
Testes Destrutivos;
Precisão controlada (Maior qualidade dos dados levantados);
Conclusões obtidas da amostra para a população.
Quando Fazer o Censo?
População Pequena;
População apresenta grande variabilidade;
Quando se dispõe de dados da população;
Para nos aprofundarmos nos conceitos da amostragem (tipos de amostragem e dimensionamento do tamanho de uma amostra) acesse o link abaixo.
http://www.manoel.pro.br/quantitativos7.pdf
	Aprofundando o conhecimento: Agora sugiro que você abra a biblioteca digital, procure pelo livro GARCIA, R. - UNOPAR. Estatística. São Paulo: Editora: Pearson Education do Brasil, 2009. Leia a unidade 4 - da página 99 a 109.
Agora que finalizamos a segunda unidade, que tal fazermos uma reflexão no fórum sobre o que foi estudado? Convido vocês a participar.