A MELHOR APOSTILA - SERVOMECANISMOS/CONTROLE

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Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br 1
Redução de Múltiplos Subsistemas
Carlos Alexandre Mello
2Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Introdução
� Sistemas mais complexos são compostos por 
diversos subsistemas
� Queremos representar um múltiplos subsistemas 
com apenas uma função de transferência para, por 
exemplo, obter resposta de transiente como vimos 
antes
� Representação de múltiplos subsistemas
� Diagramas de Bloco
� Grafos de Fluxos de Sinal
3Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Diagramas de Blocos
� Como já vimos, esses são os principais elementos 
de um diagrama de blocos:
G(s)X+ -X(s)
E(s) Y(s)
Ponto de 
Soma
Ponto de 
Ramificação
Sinal de
Entrada
Sinal de
SaídaSistema
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Diagramas de Blocos
� Os blocos podem estar conectados em série 
(cascata)....
Subsistemas
Função de transferência equivalente
5Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Diagramas de Blocos
� ...ou em paralelo
Subsistemas
Função de transferência equivalente
6Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Diagramas de Blocos
� Com possibilidade de retroalimentação...
Subsistemas
Função de transferência 
equivalente
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Diagramas de Blocos
� Modificações em Blocos
� Equivalência em pontos de soma
C(s) = G(s)(R(s) ± X(s))
C(s) = G(s)R(s) ± G(s)X(s)
C(s) = G(s)(R(s) ± X(s))
C(s) = G(s)R(s) ± G(s)X(s)
Bloco G(s) moveu para a Esquerda
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Diagramas de Blocos
� Modificações em Blocos
� Equivalência em pontos de soma
C(s) = G(s)R(s) ± X(s) C(s) = (R(s) ± X(s)/G(s))G(s)
C(s) = G(s)R(s) ± X(s)
Bloco G(s) moveu para a Direita
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Diagramas de Blocos
� Modificações em Blocos
� Equivalência em pontos de ramificação
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Diagramas de Blocos
� Modificações em Blocos
� Equivalência em pontos de ramificação
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Diagramas de Blocos
� Exemplo 1: Redução de diagrama de blocos
Diagrama
original
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Diagramas de Blocos
� Exemplo 1 (cont.): Redução de diagrama de 
blocos
Passo I
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Diagramas de Blocos
� Exemplo 1 (cont.): Redução de diagrama de 
blocos
Passo II
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Diagramas de Blocos
� Exemplo 1 (cont.): Redução de diagrama de 
blocos
Passo III
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Diagramas de Blocos
� Exemplo 2: Redução de diagrama de blocos
Diagrama
original
16Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Diagramas de Blocos
� Exemplo 2 (cont.): Redução de diagrama de 
blocos
Passo I
17Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Diagramas de Blocos
� Exemplo 2 (cont.): Redução de diagrama de 
blocos
Passo II
18Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Diagramas de Blocos
� Exemplo 2 (cont.): Redução de diagrama de 
blocos
Passo II
××××
÷÷÷÷
19Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Diagramas de Blocos
� Exemplo 2 (cont.): Redução de diagrama de 
blocos
Passo II
20Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Diagramas de Blocos
� Exemplo 2 (cont.): Redução de diagrama de 
blocos
Passo II
21Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Diagramas de Blocos
� Exemplo 2 (cont.): Redução de diagrama de 
blocos
Passo III
22Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Diagramas de Blocos
� Exemplo 2 (cont.): Redução de diagrama de 
blocos
Passo IV
Passo V
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Diagramas de Blocos
� Exemplo 3: Encontre a função de transferência 
T(s)=C(s)/R(s) para o sistema abaixo:
24Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Diagramas de Blocos
� Exemplo 3 (cont.):
s2
Passo I
25Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Diagramas de Blocos
� Exemplo 3 (cont.):
Passo II
26Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Diagramas de Blocos
� Exemplo 3 (cont.):
27Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Diagramas de Blocos
� Exemplo 3 (cont.):
Passo III
28Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Diagramas de Blocos
� Exemplo 3 (cont.):
A BX Y+
-
C E
E = A.C
Y = B.E
C = X – E ⇒ E = A(X – E) = AX – AE
⇒ E(A + 1) = AX ⇒ E = AX/(A + 1)
Y = B.E = ABX/(A + 1)
29Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Diagramas de Blocos
� Exemplo 3 (cont.):
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Diagramas de Blocos
� Exemplo 3 (cont.):
Passo IV
Ou:
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Grafos de Fluxo de Sinal
� Grafos de fluxo de sinal são uma alternativa para 
diagrama de blocos
� São compostos apenas por nós e arestas
� Um sistema é representado por uma linha 
direcionada indicando a direção do fluxo do sinal 
através do sistema
Exs.: V(s) = R1G1 - R2G2 + R3G3
C1 = V(s)G4
32Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Grafos de Fluxo de Sinal
� Elementos:
� Nós: Sinais internos como a entrada comum para vários 
blocos ou a saída de um somador; representam variáveis
� Caminho: É a sequência de nós conectados na direção do 
fluxo sem incluir nenhuma variável mais de uma vez
� Caminho direto: Caminho da entrada para a saída, sem 
incluir nenhum nó mais de uma vez.
� Malha: Caminho que se origina e termina no mesmo nó.
� Ganho do caminho: Produto dos ganhos dos ramos que 
formam um caminho.
� Ganho de malha: O ganho do caminho associado com uma 
malha.
� Nó de entrada: Um nó que possui somente ramos que se 
afastam dele.
� Nó de saída: É um nó que possui apenas ramos que se 
dirigem a ele.
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Grafos de Fluxo de Sinal
Relação ente Diagrama de Blocos e Grafos de Fluxo de Sinal
� Exemplo 1:
Diagrama de Blocos
Nós do sistema em cascata 
Grafo de fluxo de sinal de sistema em cascata
34Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Grafos de Fluxo de Sinal
Relação ente Diagrama de Blocos e Grafos de Fluxo de Sinal
� Exemplo 2:
Nós do sistema em paralelo
Grafo de fluxo de sinal de sistema em paralelo
Diagrama de Blocos
35Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Grafos de Fluxo de Sinal
Relação ente Diagrama de Blocos e Grafos de Fluxo de Sinal
� Exemplo 3:
Nós do sistema 
com re-alimentação
Grafo de fluxo de sinal de sistema com re-alimentação
Diagrama de Blocos
36Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Grafos de Fluxo de Sinal
Relação ente Diagrama de Blocos e Grafos de Fluxo de Sinal
� Problema: Converta o diagrama de blocos abaixo 
para grafo de fluxo de sinal:
37Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Grafos de Fluxo de Sinal
Relação ente Diagrama de Blocos e Grafos de Fluxo de Sinal
� Problema (cont.): 
� 1º Passo: Desenhar os nós do sinal
38Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Grafos de Fluxo de Sinal
Relação ente Diagrama de Blocos e Grafos de Fluxo de Sinal
� Problema (cont.): 
� 2º Passo: Conecte os nós, mostrando a direção do fluxo 
do sinal e identificando cada função de transferência
39Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Grafos de Fluxo de Sinal
Relação ente Diagrama de Blocos e Grafos de Fluxo de Sinal
� Problema (cont.): 
� 3º Passo: Simplificar o grafo de fluxo
40Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Regra de Mason
� Reduzindo grafos de fluxo de sinal para uma única 
função de transferência que relacione a saída de 
um sistema a sua entrada
� Para diagrama de blocos, a redução é feita através 
da aplicação sucessiva de relações
� Para grafos de fluxo de sinal, a regra de Mason* 
para redução requera aplicação de uma fórmula
*Samuel Jefferson Mason (1953)
41Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Regra de Mason
� Definições:
� Ganho de laço: O produto dos ganhos encontrados ao 
atravessar um caminho que começa e termina no 
mesmo nó, seguindo a direção do fluxo, sem passar por 
nenhum outro nó mais de uma vez
4 ganhos de laço:
1. G2H1
2. G4H2
3. G4G5H3
4. G4G6H3
1 2
3
4
42Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Regra de Mason
� Definições:
� Ganho do caminho à frente (forward path gain): O 
produto dos ganhos encontrados ao atravessar um 
caminho do nó de entrada ao nó de saída na direção do 
fluxo
2 ganhos de caminho à frente:
1. G1G2G3G4G5G7
2. G1G2G3G4G6G7
43Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Regra de Mason
� Definições:
� Laços que não se tocam (Nontouching loops): Laços 
que não têm qualquer nó em comum.
Laços que não se tocam:
G2H1 não toca os laços G4H2, 
G4G5H3 e G4G6H3
44Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Regra de Mason
� Definições:
� Ganho de laços que não se tocam (Nontouching-loop 
gain): O produto dos ganhos de laço dos laços que não 
se tocam tomados 2 a 2, 3 a 3, 4 a 4, etc.
45Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Regra de Mason
� Definições:
� Ganho de laços que não se tocam (Nontouching-loop 
gain): Do exemplo anterior, o produto do ganho de laço 
G2H1 e do ganho de laço G4H2 é um ganho de laços que 
não se tocam tomados 2 a 2
� Todos os três ganhos de laços que não se tocam 
tomados dois a dois de cada vez são:
� 1. [G2H1][G4H2]
� 2. [G2H1][G4G5H3]
� 3. [G2H1][G4G6H3]
� No exemplo, não existem três laços que não se tocam, 
logo, não temos ganhos de laços que não se tocam 3 a 
3
46Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Regra de Mason
� A função de transferência C(s)/R(s) de um sistema 
representado por um grafo de fluxo de sinal é
� onde:
� k = número de caminhos à frente
� Tk = ganho do k-ésimo caminho à frente
� ∆ = 1 - Σ (ganhos de laço) + Σ (ganhos de laços que não 
se tocam tomados 2 a 2) - Σ (ganhos de laços que não 
se tocam tomados 3 a 3) + Σ (ganhos 4 a 4) - ....
� ∆k = ∆ - Σ (termos de ganhos de laço em ∆ que tocam o 
k-ésimo caminho à frente). Ou seja, ∆k é formado 
eliminando de ∆ aqueles ganhos de laço que tocam o k-
ésimo caminho à frente
47Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Regra de Mason
� Exemplo 1: Encontre a função de transferência 
C(s)/R(s) para o grafo de fluxo de sinal abaixo:
48Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Regra de Mason
� Exemplo 1 (cont.): Primeiro, vamos encontrar os 
ganhos de caminhos à frente
� Nesse exemplo, só temos um: G1G2G3G4G5
� A seguir, vamos identificar os ganhos de laço:
1. G2H1 (1)
2. G4H2 (2)
3. G7H4 (3)
4. G2G3G4G5G6G7G8 (4)
� Ganhos de laços que não se tocam tomados 2 a 2
� Laços 1 e 2: G2H1G4H2 (5)
� Laços 1 e 3: G2H1G7H4 (6)
� Laços 2 e 3: G4H2G7H4 (7)
49Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Regra de Mason
� Exemplo 1 (cont.):
� Ganhos de laços que não se tocam tomados 3 a 3
� Laços 1, 2 e 3: G2H1G4H2G7H4 (8)
� Da Regra de Mason e das definições, calculamos 
∆ e ∆k:
� ∆ = 1 – [(1) + (2) + (3) + (4)] + [(5) + (6) + (7)] – (8)
� ∆k é calculado eliminando de ∆ o ganho de laço que toca 
o k-ésimo caminho à frente: ∆1 = 1 – G7H4
� ∆1 = 1 – [(1) + (2) + (3) + (4)] + [(5) + (6) + (7)] - (8) = 1 – (3)
� Assim: 
50Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Regra de Mason
� Exemplo 1 (cont.):
� Se tivéssemos mais de um caminho à frente, teríamos 
como resposta uma soma de termos
G(s) = [G1G2G3G4G5][1 - G7H4]
∆
51Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Grafos de Fluxo de Sinal de Equações de 
Estado
� Exemplo, considere as seguintes equações de 
estado:
� Primeiro, identificamos os nós para serem as 
variáveis de estado (no caso, x1, x2 e x3)
� Identificamos também nós para as derivadas das 
variáveis de estado (colocados à esquerda delas)
� Temos mais um nó como a entrada r e um para a 
saída y
52Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Grafos de Fluxo de Sinal de Equações de 
Estado
� Exemplo:
R(s)
sX3(s) X3(s) sX2(s) X2(s) sX1(s) X1(s)
Y(s)
53Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Grafos de Fluxo de Sinal de Equações de 
Estado
� Exemplo:
� Em seguida, conecte as derivadas às variáveis de 
estado através de uma integração 1/s
R(s)
sX3(s) X3(s) sX2(s) X2(s) sX1(s) X1(s)
Y(s)
1/s 1/s 1/s
54Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Grafos de Fluxo de Sinal de Equações de 
Estado
� Exemplo:
� Vamos construindo agora as equações de estado:
� x1’ recebe 2x1 – 5x2 + 3x3 + 2r
R(s)
sX3(s) X3(s) sX2(s) X2(s) sX1(s) X1(s)
Y(s)
1/s 1/s 1/s
-5
2
3
2
55Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Grafos de Fluxo de Sinal de Equações de 
Estado
� Exemplo:
� Fazendo para todas as equações:
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Representações Alternativas no Estado-
Espaço
� Forma Cascata:
57Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Representações Alternativas no Estado-
Espaço
� Forma Cascata:
� Para funções de primeira ordem:
58Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Representações Alternativas no Estado-
Espaço
� Forma Cascata:
� Para funções de primeira ordem:
59Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Representações Alternativas no Estado-
Espaço
� Forma Cascata:
� Assim, o diagrama completo para:
� é....
60Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Representações Alternativas no Estado-
Espaço
� Forma Cascata:
� Desse grafo de fluxo de sinal:
� chegamos às equações de estado:
61Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Representações Alternativas no Estado-
Espaço
� Forma Cascata:
� Análise: Matriz do
Sistema
Matriz de
Entrada
Matriz de
Saída
Polos do Sistema
62Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Representações Alternativas no Estado-
Espaço
� Forma Paralela:
� C(s) é a soma de três termos onde cada um é uma 
função de primeira ordem
� Na verdade, cada um é um subsistema com R(s) como entrada
63Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Representações Alternativas no Estado-
Espaço
� Forma Paralela:
64Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Representações Alternativas no Estado-
Espaço
� Forma Paralela:
� Equações de Estado:
Matriz diagonal
65Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Representações Alternativas no Estado-
Espaço
� Forma Paralela:
� Observe que termos uma matriz diagonal indica que 
cada equação é uma equação diferencial de primeira 
ordem em uma única variável
� Assim, podemos resolver essas equações 
independentemente
� Essas equações são ditas desacopladas
66Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Representações Alternativas no Estado-
Espaço
� Forma Paralela:
� Denominador com raízes reais repetidas
� 1º Passo: Expansão em frações parciais:
67Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Representações Alternativas no Estado-
Espaço
� Forma Paralela:
� Grafo de fluxo de sinal
68Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Representações Alternativas no Estado-
Espaço
� Forma Paralela:
� Representação Estado-Espaço:
Polos do Sistema
69Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Representação Estado-Espaço para 
Sistemas com Zero
� Problema: Represente o sistema abaixo no modelo 
estado-espaço (possui zero):
� Vamos separar a função de transferência em cascata 
como fizemos antes:
R(s) E(s)
R(s) E(s)X1(s)
70Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Representação Estado-Espaço para 
Sistemas com Zero
� Problema (cont.): 
� Primeiro bloco:
� X1(s)/R(s) = 1/(s + 5) ⇒ sX1 + 5X1 = R ⇒ sX1 = R - 5X1
R(s) X1(s)
R sX1 X1
1/s
Passo1:
R
sX1
X1
1/s
-5
Passo 2:
1
71Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Representação Estado-Espaço para 
Sistemas com Zero
� Problema (cont.): 
� Segundo bloco:
� E(s)/X1(s) = 5s + 5 ⇒ E(s) = 5sX1 + 5X1
EsX1 X1
1/s
Passo 1: Passo 2:
E(s)X1(s)
EsX1
X11/s 5
5
72Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Representação Estado-Espaço para 
Sistemas com Zero
� Problema (cont.): 
� Juntando os dois e aproveitando os nós X1 e sX1:
E
sX1
X11/s
5
5
-5
R
1
73Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Representação Estado-Espaço para 
Sistemas com Re-Alimentação
� Problema: Represente o sistema abaixo no modelo 
estado-espaço (re-alimentação e zero):
� Primeiro, vamos modelar apenas a função de 
transferência sem nos preocuparmos com a re-
alimentação....
74Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Representação Estado-Espaço para 
Sistemas com Re-Alimentação
� Problema (cont.): Represente o sistema abaixo no 
modelo estado-espaço (re-alimentação e zero):
75Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Representação Estado-Espaço para 
Sistemas com Re-Alimentação
� Problema (cont.): 
76Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Representação Estado-Espaço para 
Sistemas com Re-Alimentação
� Problema (cont.):
77Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Representação Estado-Espaço para 
Sistemas com Re-Alimentação
� Problema (cont.):
78Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Representação Estado-Espaço para 
Sistemas com Re-Alimentação
� Problema (cont.):
x2’ = -2x2 + 100e = -2x2 + 100(r – c) x1’ = -3x1 + x2
c = 5x1 + x1’ = 5x1 + (x2 – 3x1)
c = 2x1 + x2
79Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Representação Estado-Espaço para 
Sistemas com Re-Alimentação
� Problema (cont.):
� x1' = -3x1 + x2
� x2' = -200x1 – 102x2 + 100r
� y = c(t) = 2x1 + x2
80Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Controlabilidade
� Se para um sistema for possível obter uma entrada 
capaz de transferir todas as variáveis de estado de 
um estado inicial desejado para um estado final 
desejado, o sistema é dito controlável; caso 
contrário, o sistema é não controlável
81Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Controlabilidade
No sistema ao lado, o 
sinal de controle u
alcança todas as 
variáveis de estado do 
sistema.... Tal sistema é 
dito controlável.
82Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Controlabilidade
Já nesse sistema, a variável x1
não é alcançada pelo sinal de 
controle u. Se x1 apresentar um 
comportamento instável, não 
haveria uma forma de realizar 
um projeto de re-alimentação 
para estabilizar x1. Tal sistema 
é dito não controlável.
83Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Controlabilidade por Inspeção
� Considere as seguintes equações de estado:
ou
Sistema desacoplado: 
a variável de controle 
u afeta cada variável 
de estado
84Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Controlabilidade por Inspeção
� Já no sistema:
A variável x1 não é 
controlada pelo 
controle u.
ou
85Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Matriz de Controlabilidade
� Uma planta de n-ésima ordem cuja equação de 
estado é x’ = Ax + Bu é completamente 
controlável se a matriz
� tiver posto n
� CM é chamada de matriz de controlabilidade
86Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Matriz de Controlabilidade
� Exemplo: Considere o sistema abaixo
87Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Matriz de Controlabilidade
� Exemplo (cont.): Matriz de Controlabilidade:
88Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Matriz de Controlabilidade
� Exemplo (cont.): O posto de CM é o número de 
linhas ou colunas linearmente independentes
� Basta escalonar a matriz e verificar o número de linhas 
não nulas
0 1 -2
1 -1 1
1 -2 4
1 -1 1
0 1 -2
1 -2 4
1 -1 1
0 1 -2
0 -1 3
1 0 -1
0 1 -2
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Posto = 3 = n Sistema Controlável
89Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Observabilidade
� Se o vetor de estado inicial, x(t0), puder ser obtido 
a partir de u(t) e y(t) medidos durante um intervalo 
de tempo finito a partir de t0, o sistema é dito 
observável; caso contrário, o sistema é dito não 
observável.
90Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Observabilidade
No sistema ao lado, cada 
variável de estado pode 
ser observada na saída 
já que cada uma delas 
está conectada à saída.
91Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Observabilidade
No sistema ao lado, 
nem todas as variáveis 
de estado podem ser 
observadas na saída.
92Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Observabilidade por Inspeção
� Podemos explorar a observabilidade a partir da 
equação de saída de um sistema diagonalizado
� Exemplo de um sistema observável:
� Exemplo de um sistema não-observável:
93Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Matriz de Observabilidade
� Considere um sistema de n-ésima ordem cujas 
equações de estado e de saída são:
� Um sistema é observável se a matriz de 
observabilidade dada por:
� tem posto igual a n
94Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Matriz de Observabilidade
� Exemplo: Considere o sistema abaixo:
95Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Matriz de Observabilidade
� Exemplo (cont.):
� Novamente, por escalonamento, encontramos o 
posto igual a 3 (que é igual à ordem do sistema).
� Logo, o sistema é observável
96Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Exercícios Sugeridos (Nise)
� Cap. 5, Problemas:
� 1a, 2, 3, 4, 5a, 6, 12, 23, 26, 27, 31, 33a, 33b
97Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
A Seguir....
� Estabilidade