2015 1 AP1 C2 Gabarito

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Fundação CECIERJ 
AP1 
1
a
 Questão (2,0 pontos) Determine a área da região sombreada 
 
 
Solução 
Se você decidiu calcular a área de 
duas regiões 1R e 2R . Na Figura 
região. 
Neste caso, a representação da área 
1 2( ) (R ) ( )A R A A R= + =
1
0
(1+ −∫
 =
3/2 3 2 31 2
0 1
2 3
3 12 2 12
x x x x
x x
        + − − −           
+
 
19 11
12 12
     = +       
30 5
12 2
= = unidades de área.
 
Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância
 - CÁLCULO II - 2015/1 Gabarito 
Determine a área da região sombreada 
 
Figura 1.1 
área de R em relação à variável x , a região R precisa ser dividida em 
a Figura 1.2 mostramos um retângulo representativo vertical em cada 
 
Figura 1.2 
, a representação da área é feita por duas integrais em relação à variável 
2
)
4
x
x dx++ −
 
22
1
)
4
(3 x dxx− −∫ 
3/2 3 2 31 2
0 1
2 3
3 12 2 12
x x x x
x x
        + − − −           
2 32 1 2 2 1 11 (6 ) (3 )
3 12 2 12 2 12
   = + − + − − − − −      
unidades de área. 
Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
precisa ser dividida em 
mostramos um retângulo representativo vertical em cada 
é feita por duas integrais em relação à variável x : 
 
2 32 1 2 2 1 11 (6 ) (3 )
3 12 2 12 2 12
 = + − + − − − − −  
Cálculo II AP1 - Gabarito 2015/1 
 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
P
á
g
in
a
2
 
P
á
g
in
a
2
 
Se você decidiu calcular a área de R em relação à variável y , a região R precisa ser dividida 
em duas regiões digamos 3R e 4R . Na Figura 1.3 mostramos um retângulo representativo 
horizontal em cada região. 
 
Figura 1.3 
 
3 4( ) (R ) ( )A R A A R= + = 
13
1 2 22
2 2
0 1 1
0
2 ) [3 ] 4 [2 ]
3
( 0 ( 1) yy dy y dy y dyy y


+ − = + −


− − − +∫ ∫ ∫ 
23 2
1
4 2
3 3 2
y yy
  = + − +   
3 24 2 2 1 1 4 7 15 54 2
3 3 2 3 2 3 6 6 2
    = + − + − − + = + = =      
 unidades de área. 
 
2
a
 Questão (2,0 pontos) Ache 
dy
dx
 sabendo que ( )3 2
arccotg 
cos
x
x
t dty = ∫ . 
Solução 
Note que o integrando ( )2( ) cosf t t= é uma função contínua para todo número real t . 
( ) ( ) ( )3 32 2 2
arccotg arccotg 
cos cos cos
x xa
x x a
t dt t dt t dty += =∫ ∫ ∫ , ∈a R qualquer. 
Logo 
( ) ( ) ( )arccotg 3 32 2 2
arccotg 
cos cos cos
x xx
x a a
t dt t dt t dty += = −∫ ∫ ∫ 
Assim, utilizando a 1ª forma do TFC e a regra da cadeia em cada parcela, obtemos 
 
( ) ( )2 2cos (arccotg arc cotg cos (3 3) ) )[ ] [ ]x xx xy − +′ ′ ′= 
Ou seja 
 ( ) ( )2 221cos (arccotg cos 3 3 ln 31) [ ] [ ]x xx xy
−
+
− +′ = 
Isto é, ( ) ( )2 221 cos (arccotg ln 3) 3 cos 31 ) ( x xxxy + +′ = . 
 
 
3
a
 Questão (2,0 pontos) Calcule as seguintes integrais imediatas 
Cálculo II AP1 - Gabarito 2015/1 
 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
P
á
g
in
a
3
 
P
á
g
in
a
3
 
a) (1,0) 
1
2
0
4
1
dt
t
 
 + ∫ b) (1,0) 
2
3
2
1
4 u
u
du+∫ 
Solução 
a) ] {
1 1
1
2 2 0
/40 0 0
4 14 4arctg 4arctg1 4arctg0
1 1
dt dt t
t t
pi
pi
 
= = = − = + + ∫ ∫ 123 
 
b) 
22 22 2
3 3 2
111
2
1
4 4 1 2 34 ln ln ln 2
2 2
u udu u u
u u u u
du
− + 
= + = + = − + = + 
− 
∫∫ . 
 
 
4ª Questão (4,5 pontos) 
( a) (1,0) Usando a técnica de substituição, calcule 
2( 1) 2x x x dx+ +∫ . 
Solução 
Faça a substituição 
2 12 2 )
2
2 ( 2(1 ) ( 1)x duu x x du dx x dx x dx+= + ⇒ = = + ⇒ + = 
Logo 
3 2 2 3 2
2 1 21 1 2 (2 )( 1) 2
2 2 2 3 3
u x x
x x x dx u du u du C++ + = = = = +∫ ∫ ∫ . 
(b) (1,5) Usando a técnica de integração por partes, encontre ( )
1
ln
e
x dx∫ . 
Solução 
 
 Faça ( ) 1 1 1 1( ) 22ln x x dx dxxx x xu du dx  ′ =  = ⇒ = = e xdv dx v= ⇒ = 
 Assim, 
( ) ( )
11 111
1 1 1ln ( ) .
2 2 2 2 2 2
ln ln
eee e
e
x e e
x x x x x
x
dx dx x  − − = − + = 
== ∫∫
 
 
(c) (1,5) Usando a técnica de potências e produtos de funções trigonométricas, ache 
4
4 4
0
sec tg .x x dx
pi
∫ 
Solução 
 
Note que podemos resolver primeiro a integral indefinida 
Cálculo II AP1 - Gabarito 2015/1 
 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
P
á
g
in
a
4
 
P
á
g
in
a
4
 
4 4sec tgx x dx =∫
22 4 2 4 2(1+tg ) tgsec tg sec secx x dxx x x dx x= ∫∫ 
Faça a substituição 
2sectg xu x du dx= ⇒ = 
Assim 
4 4sec tgx x dx =∫
2 4 6
5 7
4(1+ ) ( + )
5 7
u u du u u du u u C= = + +∫ ∫
5 7tg tg
.
5 7
x x C= + + 
 
Por tanto aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo ao resultado anterior, resulta que: 
( ) ( )4 5 75 7 44 4
00
tg / 4 tg / 4tg tg 1 1 12
sec tg
5 7 5 7 5 7 35
x x
x x dx
pi pi
pi pi 
= + = + = + = 
 
∫ .