AP2 PC 2016.1 Gabarito

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AP 02 – 2016-1 – GABARITO Pré-Cálculo 
 
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 CEDERJ 
Gabarito da Avaliação Presencial 2 
Pré-Cálculo 
 
Questão 1 [Valor: 1,2] 
 Considere 𝜃 ∈ [0,2𝜋] e se possível, resolva as equações: 
 (I) sec 𝜃 = −2 (II) sec 𝜃 =
1
2
 
Se possível, marque as soluções de cada equação no círculo trigonométrico correspondente, 
desenhado no espaço da resposta desta questão. Indique as soluções em radianos, no intervalo 
[0,2𝜋]. Se não for possível marcar, justifique. 
 
RESOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
(I) Por definição, sec 𝜃 =
1
cos𝜃
 , logo, sec 𝜃 = −2 ⟺ 
1
cos𝜃
= −2 ⟺ cos 𝜃 = −
1
2
 
Para 𝜃 ∈ [0,2𝜋], temos que cos 𝜃 = −
1
2
 ⟺ 𝜃 = 𝜋 −
𝜋
3
=
2𝜋
3
 𝑜𝑢 𝜃 = 𝜋 +
𝜋
3
=
4𝜋
3
 
(II) Por definição, sec 𝜃 =
1
cos𝜃
 , logo, sec 𝜃 =
1
2
 ⟺ 
1
cos𝜃
=
1
2
 ⟺ cos 𝜃 = 2. 
A equação cos 𝜃 = 2 não tem solução, pois para todo 𝜃 ∈ ℝ, vale −1 ≤ cos 𝜃 ≤ 1. 
Portanto, nada pode ser marcado no círculo trigonométrico. 
 
 
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Questão 2 [Valor: 0,8] 
Resolva a equação sec(2𝑥) = −2, para 𝑥 ∈ ℝ. 
Sugestão: faça a substituição 2𝑥 = 𝜃 e use a solução da equação (I) da questão 1, 
estendida para 𝜃 ∈ ℝ. 
RESOLUÇÃO 
Usando a substituição 2𝑥 = 𝜃, 𝑥 ∈ ℝ, temos que impor também 𝜃 ∈ ℝ. 
Usando as soluções da equação (I) da questão 1 e considerando que 𝜃 ∈ ℝ, 
𝜃 =
2𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝜃 =
4𝜋
3
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 
2𝑥 =
2𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 2𝑥 =
4𝜋
3
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 
Logo, dividindo tudo por 2, concluímos que: 𝑥 =
𝜋
3
+ 𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 =
2𝜋
3
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. 
 
Questão 3 [Valor: 1,2] 
Determine o domínio da função 𝑓(𝑥) = arcsen(√𝑥 + 4 − 1). 
RESOLUÇÃO: 
Temos duas restrições: 
1ª.) O radicando 𝑥 + 4 deve ser positivo ou nulo, logo, é preciso que 𝑥 + 4 ≥ 0 . Temos: 
 𝑥 + 4 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ −4 
2ª.) O domínio da função arco seno é [−1, 1], logo, temos que 
−1 ≤ √𝑥 + 4 − 1 ≤ 1 
 + 1 
⇔ 0 ≤ √𝑥 + 4 ≤ 2 
 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑜 
 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜
⇒ 
0 ≤ 𝑥 + 4 ≤ 4 
 −4 
⇔ −4 ≤ 𝑥 ≤ 0 . 
Como − 4 ≤ 𝑥 ≤ 0 e 𝑥 ≥ −4 , então 𝑫𝒐𝒎 (𝒇) = {𝒙 ∈ ℝ: − 𝟒 ≤ 𝒙 ≤ 𝟎 } = [−𝟒 , 𝟎]. 
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Questão 4 [Valor: 1,2] 
Encontre os pontos onde a função 𝑓(𝑥) = arcsen(√𝑥 + 4 − 1) corta ou toca os eixos 
coordenados. 
RESOLUÇÃO: 
 Com o eixo 𝑥 . Fazendo 𝑦 = 0 em 𝑓(𝑥) = arcsen(√𝑥 + 4 − 1): 
𝑓(𝑥) = arcsen(√𝑥 + 4 − 1) = 0 ⟺ √𝑥 + 4 − 1 = 0 
 + 2 
⇔ √𝑥 + 4 = 1 
 
𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖çã𝑜
𝑑𝑒 
𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎
⇔ 𝑥 + 4 = 12 = 1 ⟺ 𝑥 = −3 . O ponto é (−3 ,0). 
 Com o eixo 𝑦. Fazendo 𝑥 = 0 em 𝑓(𝑥) = arcsen(√𝑥 + 4 − 1) ∶ 
𝑓(0) = arcsen(√0 + 4 − 1) = arcsen(√4 − 1) = arcsen(1) =
𝜋
2
 , pois sen (
𝜋
2
) = 1 e 
 
𝜋
2
 ∈ [−
𝜋
2
 ,
𝜋
2
] , intervalo de inversão da função seno. O ponto é (0 ,
𝜋
2
) . 
 
Questão 5 [Valor: 1,0] 
Para a função 𝑓(𝑥) = 𝑥
2
3, determine o domínio, esboce seu gráfico na figura do espaço para resposta 
e observando o gráfico, dê a sua imagem. Justifique o domínio e o gráfico. 
RESOLUÇÃO 
𝑓(𝑥) = 𝑥
2
3 = √𝑥2
3
, o índice da raiz é impar e 
2
3
> 0, 𝐷𝑜𝑚(𝑓) =
(−∞,∞). 
Como 0 <
2
3
< 1, para 𝑥 > 0 o gráfico de 𝑓 tem o mesmo 
comportamento do gráfico da função raiz quadrada 𝑦 = √𝑥. 
Para justificar o gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑥
2
3 para 𝑥 < 0 , vamos verificar a 
paridade: 
O domínio é simétrico em relação à origem da reta numérica. 
𝑓(−𝑥) = (−𝑥)
2
3 = √(−𝑥)2
3
= √𝑥2
3
= 𝑓(𝑥), portanto a função 𝑓 é par e seu gráfico é simétrico em 
relação ao 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦. 
𝐼𝑚𝑎𝑔𝑒𝑚 (𝑓) = [0,∞). 
 
 
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Questão 6 [Valor: 1,0] 
Para a função g(𝑥) = 𝑥
5
3, determine o domínio, esboce seu gráfico na figura do espaço para resposta 
e observando o gráfico, dê a sua imagem. Justifique o domínio e o gráfico. 
RESOLUÇÃO 
𝑔(𝑥) = 𝑥
5
3 = √𝑥5
3
, o índice da é impar e 
5
3
> 0, 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (−∞,∞). 
Como 
5
3
 > 1, para 𝑥 > 0 o gráfico de 𝑔 tem o mesmo 
comportamento do gráfico da parábola 𝑦 = 𝑥2 para 𝑥 > 0. 
Para justificar o gráfico de 𝑔(𝑥) = 𝑥
5
3 para 𝑥 < 0 , vamos verificar a 
paridade, 
o domínio é simétrico em relação à origem da reta numérica. 
𝑔(−𝑥) = (−𝑥)
5
3 = √(−𝑥)5
3
= √−𝑥5
3
= −√𝑥5
3
= −𝑔(𝑥), portanto a 
função 𝑔 é ímpar e seu gráfico é simétrico em relação à origem (0,0). 
𝐼𝑚𝑎𝑔𝑒𝑚 (𝑔) = ℝ = (−∞,∞). 
 
 
Questão 7 [Valor: 0,8] 
 
Considere a função ℎ(𝑥) = ln (𝑥2 − 4𝑥 + 3) 
cujo gráfico está ao lado. 
Calcule o domínio da função ℎ . Dê a 
resposta na forma de intervalo ou de união de 
intervalos disjuntos (intervalos disjuntos são os 
que não têm pontos em comum). 
 
RESOLUÇÃO: 
Calculando o domínio de ℎ(𝑥) = ln (𝑥2 − 4𝑥 + 3) 
É preciso impor que 𝑥2 − 4𝑥 + 3 > 0 
Buscando as raízes do trinômio do 2º grau 𝑥2 − 4𝑥 + 3: 
𝑥 = 
4±√(−4)2−4.1.3
2.1
 = 
4±√16−12 
2
= 
4±√4 
2
=
4±2
2
 ⟹ 𝑥 = 1 ou 𝑥 = 3. 
Como o coeficiente do termo 𝑥2 é 1 , positivo, então a parábola que é o gráfico de 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 
tem concavidade voltada para cima e assim, 
𝑥2 − 4𝑥 + 3 > 0 ⟺ 𝑥 < 1 ou 𝑥 > 3 . Portanto, 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (−∞, 1) ∪ (3,∞). 
 
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Questão 8 [Valor: 1,2] 
Encontre os pontos onde a função ℎ da Questão 7 corta os eixos coordenados. Mostre os cálculos 
com as devidas justificativas. 
Encontre as coordenadas dos pontos A , B , C , D , E indicados no gráfico da função ℎ, que se 
encontra no espaço de resposta desta questão. Justifique!!! 
RESOLUÇÃO: 
 Com o eixo 𝒙 . Fazendo 𝑦 = 0 em ℎ(𝑥) = ln (𝑥2 − 4𝑥 + 3): 
ln(𝑥2 − 4𝑥 + 3) = 0 ⟺ 𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 1 ⟺ 𝑥2 − 4𝑥 + 2 = 0 
Buscando as raízes do trinômio do 2º grau 𝑥2 − 4𝑥 + 2 : 
𝑥 = 
4 ± √(−4)2 − 4.1.2
2.1
 = 
4 ± √16 − 8 
2
= 
4 ± √8
2
=
4 ± 2√2
2
= 2 ± √2 ⟹ 
 𝑥 = 2 − √2 ou 𝑥 = 2 + √2. 
Logo, a função ℎ(𝑥) = ln (𝑥2 − 4𝑥 + 3) corta o eixo 𝑥 nos pontos (2 − √2 , 0) e (2 + √2 , 0) . 
 Com o eixo 𝒚. Fazendo 𝑥 = 0 em ℎ(𝑥) = ln (𝑥2 − 4𝑥 + 3): 
ℎ(0) = ln(3). Logo, a função 𝑦 = ℎ(𝑥) corta o eixo 𝑦 no ponto ( 0 , ln (3)). 
Pelo domínio da função 𝒉 , temos que : 
A(1,0) e B(3,0) 
Pela interseção com o eixo 𝒙, temos que: 
C(2 − √2 , 0) e D(2 + √2 , 0) 
Pela interseção com o eixo 𝒚, temos que: 
𝐄( 𝟎 , 𝐥𝐧 (𝟑)) 
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Questão 9 [Valor: 1,6] 
Esboce o gráfico da função 𝑔(𝑥) = |ln (𝑥2 − 4𝑥 + 3)| + 1. Explique a construção do gráfico da 
função 𝑔 através de transformações (translações, etc.) no gráfico da função ℎ(𝑥) = ln (𝑥2 − 4𝑥 +
3) da Questão 7. Encontre os pontos onde o gráfico da função 𝒈 corta os eixos coordenados, se 
existirem. Justifique! Identifique esses pontos, no gráfico da função 𝑔 , através das suas 
coordenadas. 
Observando o gráfico da função 𝒈 , diga qual é a imagem da função 𝑔. 
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OBSERVAÇÃO: O espaço de resposta desta questão têm duas figuras onde poderão ser traçados 
gráficos de funções. Em um deles você deve esboçar o gráfico pedido da função 𝑔 , o outro você 
usará se desejar, se lhe ajudar a chegar ao gráfico da função 𝑔 . 
RESOLUÇÃO: 
ℎ(𝑥) = ln(𝑥2 − 4𝑥 + 3) 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 
𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜
⇒ 𝑦 = |ln(𝑥2 − 4𝑥 + 3)| 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑑𝑒 1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎 
⇒ 
 𝑔(𝑥) = |ln (𝑥2−4𝑥+3)|+1 
Como |ln(𝑥2 − 4𝑥 + 3)| + 1 ≥ 1 , 
∀ 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) , então o gráfico da função 𝑔 
não corta e nem toca o eixo 𝑥 . 
Fazendo 𝑥 = 0 , temos: 
𝑔(0) = |ln (3)| + 1 = 1 + ln (3) 
𝐼𝑚(𝑔) = [1,∞) = {𝒙 ∈ ℝ: 𝒙 ≥ 𝟏 } .