PC_2021-1_AD1-Parte2_GABARITO

Prévia do material em texto

AD1-Parte 2 – 2021-1 – Gabarito Pré-Cálculo Página 1 de 10 
 
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2021-1 
 Profa. Maria Lúcia Campos 
Profa. Marlene Dieguez 
Parte 2 da Primeira Avaliação a Distância (AD1-Parte 2) 
GABARITO 
IMPORTANTE!!! TODAS AS RESPOSTAS DEVEM VIR ACOMPANHADAS DAS JUSTIFICATIVAS 
Os gráficos devem ser feitos à mão, não será aceito gráfico feito com aplicativo ou com programa computacional 
Questão 1 [2,4 pontos] 
(1.a) Considere as funções 𝑓(𝑥) = −
1
2
𝑥2 + 4𝑥 − 5 e 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 8𝑥 + 13 
 Os gráficos das duas funções 𝑓 e 𝑔 são parábolas. 
(I) Dê o domínio da função 𝑓 . Dê a concavidade da parábola. 
 Utilizando completamento de quadrados, escreva a função quadrática 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 14 
 na forma canônica. 
𝑓(𝑥) = 𝑎1(𝑥 − ℎ1)
2 + 𝑘1 
 A partir dessa forma encontre o vértice dessa parábola e encontre também os valores de 𝑥 para 
 os quais 𝑓(𝑥) = 0. Apresente as contas feitas para essas resoluções. 
 Encontre a interseção dessa parábola com o eixo 𝑦. 
 Esboce o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥). 
 Indique no gráfico, através das suas coordenadas, o vértice dessa parábola e os pontos 
 onde a parábola corta os eixos coordenados, quando existirem. 
 Observando o gráfico da função 𝑓, encontre a imagem da função 𝑓 . 
(II) Faça o que foi pedido no item (I), agora para função 𝒈 e considere 
 𝑔(𝑥) = 𝑎2(𝑥 − ℎ2)
2 + 𝑘2 a forma canônica da função 𝒈. 
 
Atenção: Os itens (I) e (II) só serão pontuados se o vértice e a resolução das equações 𝑓(𝑥) = 0 e 𝑔(𝑥) = 0 
forem resolvidos através da forma canônica. 
 
(1.b) Leve em consideração a forma canônica das funções 𝑓 e 𝑔 . 
Partindo do gráfico da função 𝑓 , encontre uma sequência com 4 transformações necessárias para 
obter o gráfico da função 𝑔. Escreva a sequência na seguinte forma: 
 
 
AD1-Parte 2 – 2021-1 – Gabarito Pré-Cálculo Página 2 de 10 
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎1(𝑥 − ℎ1)
2 + 𝑘1 
(1)
𝑑𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖çã𝑜 𝑑𝑎
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜
→ 𝑦 = 𝑠1(𝑥) 
(2)
𝑑𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖çã𝑜 𝑑𝑎
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜
→ 
 
 
 
 𝑦 = 𝑠2(𝑥) 
(3)
𝑑𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖çã𝑜 𝑑𝑎
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜
→ 𝑦 = 𝑠3(𝑥) 
(4)
𝑑𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖çã𝑜 𝑑𝑎
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜
→ 𝑦 = 𝑔(𝑥) = 𝑎2(𝑥 − ℎ2)
2 + 𝑘2 
Esboce o gráfico de cada função 𝑠1 , 𝑠2 , 𝑠3 da sequência obtida acima. 
 
RESOLUÇÃO: 
(1.a) 
Item(I) 
Domínio e concavidade 
A função 𝑓(𝑥) = −
1
2
𝑥2 + 4𝑥 − 5 pode ser calculada para qualquer número real, portanto 
𝑫𝒐𝒎(𝒇) = ℝ. 
Como o coeficiente do termo 𝑥2 é 𝑎 = −
1
2
< 0 , então essa parábola tem concavidade voltada para 
baixo. 
Forma canônica 
Completando o quadrado. 
𝑓(𝑥) = −
1
2
𝑥2 + 4𝑥 − 5 = −
1
2
(𝑥2 − 8𝑥) − 5 = −
1
2
(𝑥2 − 2 ∙ 4𝑥) − 5 = 
 = −
1
2
(𝑥2 − 8𝑥 + 42 − 42) − 5 = −
1
2
(𝑥2 − 8𝑥 + 16 − 16) − 5 = 
= −
1
2
 (𝑥2 − 8𝑥 + 16) + 8 − 5 = −
1
2
(𝑥 − 4)2 + 3 
Vértice 
𝑉(𝑥𝑉, 𝑦𝑉) = (ℎ, 𝑘) e pela equação na forma canônica, ℎ = 4 e 𝑘 = 3 . Logo 𝑽(𝟒 , 𝟑). 
Encontrando os valores de 𝒙 para os quais 𝒇(𝒙) = 𝟎. 
𝑓(𝑥) = −
1
2
(𝑥 − 4)2 + 3 = 0 ⟺ −
1
2
(𝑥 − 4)2 = −3 ⟺ (𝑥 − 4)2 = 6 ⟺ 
 √(𝑥 − 4)2 = √6 ⟺ |𝑥 − 4| = √6 ⟺ 𝑥 − 4 = −√6 𝑜𝑢 𝑥 − 4 = √6 ⟺ 
𝑥 = 4 − √6 𝑜𝑢 𝑥 = 4 + √6 
Portanto, 𝑓(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = 4 − √6 𝑜𝑢 𝑥 = 4 + √6 . 
Sabendo que os valores de 𝑥 tal que 𝑓(𝑥) = 0 são as abscissas dos pontos em que a parábola corta o eixo 
𝑥, concluímos que a parábola corta o eixo 𝑥 nos pontos (4 − √6 , 0) e (4 + √6 , 0) 
 
AD1-Parte 2 – 2021-1 – Gabarito Pré-Cálculo Página 3 de 10 
Interseção dessa parábola com o eixo 𝒚. Gráffico de 𝒚 = 𝒇(𝒙) 
Fazendo 𝑥 = 0 em 𝑓(𝑥) = −
1
2
𝑥2 + 4𝑥 − 5 , 
obtemos 𝑦 = 𝑓(0) = −
1
2
∙ 02 + 4 ∙ 0 − 5 = −5. 
A parábola corta o eixo 𝑦 no ponto (0 , −5) 
Observando o gráfico, concluímos que 
 
Imagem de 𝒇 
Observando o gráfico, concluímos que 
Im (𝑓) = (−∞ , 3] 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Item(II) 
Domínio e concavidade 
A função 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 8𝑥 + 13 pode ser calculada para qualquer número real, portanto 
𝑫𝒐𝒎(𝒇) = ℝ. 
Como o coeficiente do termo 𝑥2 é 𝑎 = 1 > 0 , então essa parábola tem concavidade voltada para cima. 
Forma canônica 
Completando o quadrado: 
𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 8𝑥 + 13 = (𝑥2 + 2 ∙ 4𝑥 + 42 − 42) + 13 = (𝑥2 + 8𝑥 + 16) − 16 + 13 = (𝑥 + 4)2 − 3 
Vértice 
𝑉(𝑥𝑉, 𝑦𝑉) = (ℎ, 𝑘) e pela equação na forma canônica, ℎ = −4 e 𝑘 = −3 . Logo 𝑉(−4 , −3). 
Encontrando os valores de 𝒙 para os quais 𝒇(𝒙) = 𝟎. Gráfico de 𝒚 = 𝒈(𝒙) 
𝑔(𝑥) = (𝑥 + 4)2 − 3 = 0 ⟺ (𝑥 + 4)2 = 3 ⟺
 √(𝑥 + 4)2 = √3 ⟺ |𝑥 + 4| = √3 
 ⟺ 𝑥 + 4 = −√3 𝑜𝑢 𝑥 + 4 = √3 ⟺ 
 𝑥 = −4 − √3 𝑜𝑢 𝑥 = −4 + √3 
Portanto, 𝑔(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = −4 − √3 𝑜𝑢 𝑥 = −4 + √3 . 
Sabendo que os valores de 𝑥 tal que 𝑓(𝑥) = 0 são as abscissas 
dos pontos em que a parábola corta o eixo 𝑥, concluímos que a 
parábola corta o eixo 𝑥 nos pontos (−4 − √3 , 0) e 
(−4 + √3 , 0) 
Interseção dessa parábola com o eixo 𝒚. 
Fazendo 𝑥 = 0 em 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 8𝑥 + 13 , obtemos 
𝑦 = 𝑔(0) = 02 + 8 ∙ 0 + 13 = 13. A parábola corta o eixo 𝑦 no ponto (0 , 13) 
Imagem de 𝒈 
AD1-Parte 2 – 2021-1 – Gabarito Pré-Cálculo Página 4 de 10 
Observando o gráfico, concluímos que 
Im(𝑔) = [−3 ,∞ ). 
 
(1.b) 
Partindo do gráfico da função 𝑓(x) = −
1
2
(𝑥 − 4)2 + 3 , vamos descrever uma possível sequência 
transformações que nos levarão ao gráfico da função 𝑔(𝑥) = (𝑥 + 4)2 − 3. 
 
𝑦 = 𝑓(𝑥) = −
1
2
(𝑥 − 4)2 + 3 
(1)
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
8 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
→ 𝑠1(𝑥) = −
1
2
(𝑥 + 8 − 4)2 + 3 = −
1
2
(𝑥 + 4)2 + 3 
 
(2)
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
3
2
 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
→ 
 
 
𝑠2(𝑥) = −
1
2
(𝑥 + 4)2 + 3 −
3
2
= −
1
2
(𝑥 + 4)2 +
3
2
 
(3)
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 
𝑠3(𝑥) = −( −
1
2
(𝑥 + 4)2 +
3
2
 ) =
1
2
(𝑥 + 4)2 −
3
2
 
(4)
𝑎𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑘=2
→ 𝑔(𝑥) = 2 (
1
2
(𝑥 + 4)2 −
3
2
) = (𝑥 + 4)2 − 3 
 
Esboçando os gráficos da sequência de transformações: 
 
 
 
 
(1)
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
8 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
→ 
 
 
 
 
 
 
AD1-Parte 2 – 2021-1 – Gabarito Pré-Cálculo Página 5 de 10 
 
 
 
(2)
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
3
2
 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
→ 
(3)
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(4)
𝑎𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑘=2
→ 
 
 
 
 
Existem outras possíveis sequências de transformações, por exemplo, outra possível sequência de 
transformações que nos levará ao gráfico da função 𝑔(𝑥) = (𝑥 + 4)2 − 3. 
 𝑦 = 𝑓(𝑥) = −
1
2
(𝑥 − 4)2 + 3 
(1)
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 𝑦 = 𝑆1(𝑥) =
1
2
(𝑥 − 4)2 − 3 
(2)
𝑎𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑘=2
→ 
 𝑦 = 𝑆3(𝑥) = (𝑥 − 4)
2 − 6 
(3)
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
→ 𝑦 = 𝑆3(𝑥) = (𝑥 − 4)
2 − 6 + 3 = (𝑥 − 4)2 − 3 
 
(3)
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
8 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
→ 𝑦 = (𝑥 − 4 + 8)2 − 3 = (𝑥 +4)2 − 3 = 𝑔(𝑥) 
_____________________________________________________________________________________ 
 
AD1-Parte 2 – 2021-1 – Gabarito Pré-Cálculo Página 6 de 10 
Questão 2 [2,6 pontos] 
 (2.a) Considere a função 𝑚(𝑥) = 1 − √4 − 𝑥2 . Calcule o domínio da função 𝑚. O gráfico de 𝑚 é 
parte de uma das curvas parábola ou circunferência. Identifique a curva, apresentando a equação dessa 
curva. Quando for o caso, identifique o vértice ou o centro e raio. Determine os pontos em que o gráfico 
de 𝑓 corta o eixo 𝑥 e o eixo 𝑦. 
 (2.b) Considere as funções 𝑓 e 𝑔 da questão 1 e a função 𝑚 do item (2.a). 
 Esboce o gráfico da função 𝑇(𝑥) = {
𝑔(𝑥) , − 8 ≤ 𝑥 < −2
𝑚(𝑥), 2 ≤ 𝑥 ≤ 2
𝑓(𝑥), 2 < 𝑥 ≤ 8
 
 (2.c) Observe o gráfico da função 𝒚 = 𝑻(𝒙) e responda 
Qual é o domínio da função 𝑻 ? 
Qual é a imagem da função 𝑻 ? 
Em quais intervalos do domínio a função é decrescente? 
Em quais intervalos do domínio a função é negativa? 
Essa função é par, ímpar ou nem par nem ímpar? Explique! 
Essa função é invertível? Explique! 
Essa função quando restrita ao intervalo [4,8] é invertível. Explique! 
 (2.d) Considere a função 𝑓(𝑥) = −
1
2
𝑥2 + 4𝑥 − 5 para 4 ≤ 𝑥 ≤ 8 . 
Na última pergunta do item (2.c) já afirmamos que nesse intervalo a função 𝑓 é inversível. 
Encontre o domínio e a imagem da inversa 𝒇−𝟏 da função 𝒇 para 4 ≤ 𝑥 ≤ 8. 
Considerando a função 𝑓 escrita na sua forma canônica 𝑓(𝑥) = 𝑎1(𝑥 − ℎ1)
2 + 𝑘1, 4 ≤ 𝑥 ≤ 8 , 
encontre a expressão de 𝒚 = 𝒇−𝟏(𝒙). 
 Esboce, em um mesmo par de eixos, a reta de equação 𝒚 = 𝒙 e os gráficos das funções: 
 𝒇 para 4 ≤ 𝑥 ≤ 8 e 𝒇−𝟏 para 𝒙 no domínio de 𝒇−𝟏. 
RESOLUÇÃO: 
(2.a) Consideremos a função 𝑚(𝑥) = 1 − √4 − 𝑥2 
Domínio da função 𝒎 : 
A restrição é que o radicando, 4 − 𝑥2 , seja positivo ou nulo: 
AD1-Parte 2 – 2021-1 – Gabarito Pré-Cálculo Página 7 de 10 
Como o gráfico da função 𝑦 = 4 − 𝑥2 é uma parábola de concavidade voltada para baixo e de raízes 
𝑥 = −2 e 𝑥 = 2 , como mostra o gráfico ao lado, temos que 
4 − 𝑥2 ≥ 0 ⟺ −2 ≤ 𝑥 ≤ 2 
Logo, 𝐃𝐨𝐦(𝒇) = [−𝟐 , 𝟐] 
Identificação da curva 
Precisamos fazer contas para identificar a curva: 
𝑦 = 1 − √4 − 𝑥2 ⟺ 𝑦 − 1 = −√4 − 𝑥2 ⟺ (𝑦 − 1)2 =
(−√4 − 𝑥2)
2
 e 𝑦 − 1 ≤ 0 ⟺ (𝑦 − 1)2 = 4 − 𝑥2 e 
𝑦 ≤ 1 ⟺ 𝑥2 + (𝑦 − 1)2 = 4 e 𝑦 ≤ 1 . 
A equação 𝑥2 + (𝑦 − 1)2 = 4 é a forma canônica da equação de uma circunferência, (𝑥 − ℎ)2 +
(𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2, de centro 𝐶(ℎ, 𝑘) e raio 𝑟. Nesse caso, ℎ = 0, 𝑘 = 1 e 𝑟 = 2. 
O centro é 𝐶(0 , 1) e o raio 𝑟 = 2. 
Como 𝑦 ≤ 1 , a curva é a semicircunferência inferior, fica situada abaixo da reta de equação 𝑦 = 1. 
Interseção com o eixo 𝒙 : 
𝑚(𝑥) = 1 −√4 − 𝑥2 = 0. Resolvendo, 
1 − √4 − 𝑥2 = 0 ⟺ √4 − 𝑥2 = 1 ⟺ 4 − 𝑥2 = 12 ⟺ 𝑥2 =
𝑥2 = 3 ⟺ 𝑥 = √3 ou 𝑥 = −√3. 
Os pontos de interseção com o eixo 𝑥 são: 
(−√3 , 0) 𝑒 (√3 , 0). 
Interseção com o eixo 𝒚 : 
𝑚(0) = 1 − √4 − 02 = 1 − √4 = 1 − 2 = −1 
O ponto de interseção com o eixo 𝑦 é: (0 , − 1) 
 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
(2.b) Considerando as funções 𝑓 e 𝑔 da questão 1 e a função 𝑚 do item (2.a), temos que 
 𝑇(𝑥) = {
𝑔(𝑥) , − 8 ≤ 𝑥 < −2
𝑚(𝑥), 2 ≤ 𝑥 ≤ 2
𝑓(𝑥), 2 < 𝑥 ≤ 8
 = {
(𝑥 + 4)2 − 3, − 8 ≤ 𝑥 < −2
 1 − √4 − 𝑥2, 2 ≤ 𝑥 ≤ 2
−
1
2
(𝑥 − 4)2 + 3, 2 < 𝑥 ≤ 8
 
 
 
AD1-Parte 2 – 2021-1 – Gabarito Pré-Cálculo Página 8 de 10 
Observemos que 
𝑔(−8) = (−8 + 4)2 − 3 = (−4)2 − 3 = 13 
Para 𝑥 = −2, o valor da função 𝑇(𝑥) é calculado pela função 𝑚(𝑥) = 1 − √4 − 𝑥2 e vale 𝑇(−2) =
1 − √4 − (−2)2 = 1 − √4 − 4 = 1. É interessante observar o valor de 𝑔(−2) : 
𝑔(−2) = (−2 + 4)2 − 3 = 22 − 3 = 1. 
Para 𝑥 = 2, o valor da função 𝑇(𝑥) é calculado pela função 𝑚(𝑥) = 1 − √4 − 𝑥2 e vale 𝑇(2) = 1 −
√4 − 22 = 1 − √4 − 4 = 1. É interessante observar o valor de 𝑓(2) : 
𝑓(2) = −
1
2
(2 − 4)2 + 3 = = −
1
2
(−2)2 + 3 = −
1
2
∙ 4 + 3 = 1. 
𝑓(8) = −
1
2
(8 − 4)2 + 3 = = −
1
2
(4)2 + 3 = −
1
2
∙ 16 + 3 = −5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(2.c) Observando o gráfico da função 𝒚 = 𝑻(𝒙), vemos que 
▪ Projetando o gráfico de 𝑇 no eixo 𝑥, concluímos que 𝐷𝑜𝑚(𝑇) = [−8 , 8]. 
▪ Projetando o gráfico de 𝑇 no eixo 𝑦, concluímos que Im(𝑇) = [−5 , 13]. 
▪ Intervalos do domínio onde a função 𝑇 é decrescente: [−8 , −4] ∪ [−2 , 0] ∪ [4 , 8] 
▪ Intervalos do domínio onde a função 𝑇 é negativa: 
(−4 − √3 , −4 + √3 ) ∪ (−√3 , √3 ) ∪ ( 4 + √6 , 8 ] 
AD1-Parte 2 – 2021-1 – Gabarito Pré-Cálculo Página 9 de 10 
▪ A função 𝑇 não é par e nem ímpar. Embora o domínio da função 𝑇 seja simétrico com relação 
a origem da reta numérica, o seu gráfico não é simétrico com relação ao eixo 𝑦. Note que 
𝑇(4) = 3 𝑒 𝑇(−4) = −3, isso garante que a função, não é uma função par. 
Como 𝑇(0) ≠ 0, então a função 𝑇 não é uma função ímpar. O gráfico da função 𝑇 não é 
simétrico com relação à origem. 
▪ A função 𝑇 não é invertível, pois a função não é injetiva. Observe que 𝑇(−√3) = 𝑇(√3) e 
−√3 ≠ √3 . 
▪ A função 𝑇 quando restrita ao intervalo [4,8] é invertível, pois é decrescente nesse intervalo. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
(2.d) Considere a função 𝑓(𝑥) = −
1
2
𝑥2 + 4𝑥 − 5 para 4 ≤ 𝑥 ≤ 8 . 
No item (2.c) já afirmamos que nesse intervalo a função 𝑓 é inversível. 
Do gráfico da função 𝑓 observamos que 𝒇 ∶ [𝟒 , 𝟖] ⟶ [−𝟓 , 𝟑] 
 𝒙 ⟶ 𝒇(𝒙) = 𝑻(𝒙) = −
𝟏
𝟐
𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟓 
No intervalo [4 , 8] , a função é decrescente, logo injetiva. 
Temos que 𝑫𝒐𝒎(𝒇−𝟏) = 𝐈𝐦(𝒇) = [−𝟓 , 𝟑] e 𝐈𝐦(𝒇−𝟏) = Dom(𝒇) = [𝟒 , 𝟖]. 
Consideremos a função 𝑓 escrita na sua forma canônica 𝑓(𝑥) = −
1
2
(𝑥 − 4)2 + 3, 4 ≤ 𝑥 ≤ 8 , 
Temos que: 
𝑦 = −
1
2
(𝑥 − 4)2 + 3 , 4 ≤ 𝑥 ≤ 8 , − 5 ≤ 𝑦 ≤ 3 ⟺ 𝑦 − 3 = −
1
2
(𝑥 − 4)2 , 
4 ≤ 𝑥 ≤ 8 , − 5 ≤ 𝑦 ≤ 3 ⟺ 2(𝑦 − 3) = −(𝑥 − 4)2 , 4 ≤ 𝑥 ≤ 8 , −5 ≤ 𝑦 ≤ 3 
⟺ (𝑥 − 4)2 = −2(𝑦 − 3) , 4 ≤ 𝑥 ≤ 8 , −5 ≤ 𝑦 ≤ 3 ⟺ 
(𝑥 − 4)2 = −2(𝑦 − 3) , 4 ≤ 𝑥 ≤ 8 , − 5 ≤ 𝑦 ≤ 3 ⟺ 
√(𝑥 − 4)2 = √6 − 2𝑦 , 4 ≤ 𝑥 ≤ 8 , − 5 ≤ 𝑦 ≤ 3 ⟺ 
|𝑥 − 4 | = √6 − 2𝑦 , 4 ≤ 𝑥 ≤ 8 , −5 ≤ 𝑦 ≤ 3 ⟺ 𝑥 − 4 = √6 − 2𝑦 , 
 4 ≤ 𝑥 ≤ 8 , −5 ≤ 𝑦 ≤ 3 ⟺ 𝑥 = √6 − 2𝑦 + 4 , 4 ≤ 𝑥 ≤ 8 , −5 ≤ 𝑦 ≤ 3 
 Trocando 𝑥 por 𝑦 na expressão da função: 
𝑦 = √6 − 2𝑥 + 4 − 5 ≤ 𝑥 ≤ 3 , 4 ≤ 𝑦 ≤ 8 . 
Logo, 𝑓−1(𝑥) = √6 − 2𝑥 + 4 − 5 ≤ 𝑥 ≤ 3 , 4 ≤ 𝑦 ≤ 8 . 
AD1-Parte 2 – 2021-1 – Gabarito Pré-Cálculo Página 10 de 10 
Esboçando, em um mesmo par de eixos, a reta de equação 𝒚 = 𝒙 e os gráficos das funções: 
 𝒇 para 4 ≤ 𝑥 ≤ 8 e 𝒇−𝟏 para 𝒙 no domínio de 𝒇−𝟏.