Fundamentos de Matemática Elementar: Funções Compostas e Inversas

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Fundamentos de Matema´tica Elementar
Lista 4: Func¸o˜es compostas e inversas
1. Dados f(x) = x2 + 1 e g(x) = 2x+ 3, determine:
(a) f
(
g(0)
)
(b) g
(
f(0)
) (c) f(g(1))
(d) g
(
f(1)
) (e) f(g(x))
(f) f
(
g(x)
) (g) f(f(x))
(h) g
(
g(x)
)
2. Dados f(x) =
1√
1 − x
; g(x) = 2 − x e h(x) = 1 − x2, determine:
(a) (f ◦ g ◦ h)(x)
(b) (f ◦ h ◦ g)(x)
(c) (g ◦ h ◦ f)(x)
(d) (g ◦ f ◦ f)(x)
(e) (g ◦ f ◦ g)(x)
(f) (h ◦ g ◦ g)(x)
3. Encontre func¸o˜es f(x) e g(x) tais que (f ◦ g)(x) = h(x), para cada h(x) dada:
(a) h(x) =
√
2x3 − 1
(b) h(x) = |2x+ 1|
(c) h(x) =
2
x2 + 2x− 1
(d) h(x) =
(
1 −
√
x
)7
(e) h(x) = 2 5
√
2x2 − 1 − 3 3
√
2x2 − 1
(f) h(x) =
7
(x3 − 2x)3
−
5
(x3 − 2x)2
4. Para cada func¸a˜o f(x) dada, encontre f−1(x) :
(a) f(x) =
2x+ 1
4
(b) f(x) = 5
√
2x3 − 1
(c) f(x) =
3x2 − 12
4
, sendo x > 0
(d) f(x) =
1
2 − x3
1
5. Para cada um dos gra´ficos que seguem, encontre os valores que esta˜o faltando:
(a) f(0) =?
(b) f(?) = 0
(c) f−1(0) =?
(d) f−1(?) = 0
−5 −4 −3 −2 −1 1 2
−1
1
2
3
0
y = f(x)
y
x
−2 −1 1 2 3 4 5 6
−2
−1
1
0
y = f(x)
x
y
6. Em cada tabela que segue sa˜o apresentados valores de uma func¸a˜o invers´ıvel f. Usando a
tabela, determine os valores desconhecidos:
(a) f(0) =?
(b) f(?) = 0
(c) f−1(0) =?
(d) f−1(?) = 0
x −2 −1 0 1 2
f(x) 5 4 2 0 −3
x 0 2 3 4 5
f(x) −7 −2 0 2 7
2
7. Catarina fez uma brincadeira de adivinhac¸a˜o com Mariana:
- Mariana, pense em um nu´mero.
- Pronto.
- Divida ele por 3.
- Pronto.
- Adicione 4 ao resultado.
- Pronto.
- Multiplique por 5.
- Pronto.
- Qual foi o resultado?
- 30.
- Enta˜o... hum... bem... voceˆ pensou no nu´mero 6.
- Nossa Catarina! Como voceˆ adivinhou?
- Usei func¸a˜o inversa!
Fac¸a o que se pede:
(a) Encontre a func¸a˜o f constru´ıda pela sequeˆncia de operac¸o˜es sugeridas por Catarina.
(b) Mariana na˜o entendeu o que significava func¸a˜o inversa, enta˜o Catarina explicou que
adivinhou o nu´mero que Mariana pensou “desfazendo”as operac¸o˜es feitas por Ma-
riana. Explique como isto foi feito.
(c) Determine f−1.
8. A temperatura do ar T , em ◦F, e´ dada em termos da taxa de cricridos R, em cricridos por
minuto, pela func¸a˜o T = T(R) =
1
4
R + 40. Suponha que numa noite gravamos a taxa de
cricridos e observamos que ela varia com o tempo x de acordo com a func¸a˜o R = 20 + x2,
sendo x o nu´mero de horas contadas a partir da meia-noite e 0 6 x 6 10. Determine como
a temperatura varia com o tempo.
9. Denote P como a populac¸a˜o de pa´ssaros que vivem numa ilha, em milhares, e t o nu´mero
de anos decorridos apo´s 2007, sendo P = P(t). O que representam P(4) e P−1(4)?
10. O Produto Interno Bruto (PIB) do Brasil e´ dado por G(t), sendo t o nu´mero de anos desde
1990 e G e´ dada em milho˜es de reais. O que representam G(11) e G−1(9873)?
11. O custo de produc¸a˜o de q milhares de formas de pa˜o e´ C(q) reais. Inteprete cada sentenc¸a
que segue:
(a) C(5) = 653
(b) C−1(80) = 0, 62
(c) A soluc¸a˜o para C(q) = 790 e´ 6,3
(d) A soluc¸a˜o para C−1(x) = 1, 2 e´ 150.
12. A partir da observac¸a˜o dos gra´ficos das func¸o˜es y = f(x) nas figuras abaixo, verifique quais
possuem inversa e quais na˜o possuem. Justifique a sua resposta.
3
(a)
−2 −1 1 2 3
−1
1
2
3
4
5
0
y = f(x)
x
y
(b)
−2 −1 1 2 3
−1
1
2
3
4
5
0
y = f(x)
x
y
(c)
−2 −1 1 2
1
2
0
y = f(x)
x
y
4
(d)
−3 −2 −1 1 2 3 4
1
2
0
y = f(x)
x
y
5