3a lista de exercícios

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Ca´lculo I - 2016
Lista de Exerc´ıcios III
1) Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→1
x2 − 1
x− 1
b) lim
x→3
x3 − 27
x− 3
c) lim
x→2
x4 − 16
x− 2
d) lim
x→1
xn − 1
x− 1 , sendo n ∈ N
e) lim
x→p
xn − pn
x− p , sendo n ∈ N e p ∈ R
f) lim
x→4
1
x − 14
x− 4
g) lim
x→p
1
x − 1p
x− p , sendo p ∈ R
h) lim
x→p
1
x2 − 1p2
x− p , sendo p ∈ R
i) lim
x→p
x2 − x− p2 + p
x− p , sendo p ∈ R
j) lim
x→p
√
x−√p
x− p , sendo p ∈ R
+
k) lim
x→p
1√
x
− 1√p
x− p , sendo p ∈ R
+
l) lim
x→p
√
x− a−√p− a
x− p , sendo p > a
m) lim
x→p
√
αx−√αp
x− p , sendo α, p ∈ R
+
n) lim
z→4+
4− z
|4− z|
o) lim
y→−∞
√
y2 − 9
2y − 6
p) lim
y→3+
√
y2 − 9
2y − 6
2) Encontre formalmente a derivada das seguintes func¸o˜es no ponto p sugerido:
a) f(x) = x2, p = 3
b) g(x) = x3, p = 2
c) h(x) = 1x , p = 1
d) h(x) = 1x , p ∈ R
e) r(x) = 2g(x)− f(x) + 5h(x), com f , g e h dadas nos itens (a), (b) e (c), p ∈ R
f) m(x) =
√
x+ 1√
x
, p = 2
g) m(x) =
√
x+ 1√
x
, p ∈ R
h) n(x) =
√
2x− 1, p ∈ R
3) Sendo f(x) = |x|, mostre que
a) f e´ deriva´vel em qualquer ponto p 6= 0, sendo f ′(x) =
{ −1, se x < 0
1, se x > 0
;
b) o valor de f
′
(x) na˜o existe se x = 0.
4) Considere f(x) =

√−x, se x < 0
3− x, se 0 ≤ x < 3
(x− 3)2, se x ≥ 3
. Calcule, se existirem, os seguintes limites:
a) lim
x→0+
f(x) b) lim
x→0−
f(x)
c) lim
x→0
f(x) d) lim
x→3+
f(x)
e) lim
x→3−
f(x) f) lim
x→3
f(x)
Adicionalmente, mostre onde f e´ cont´ınua e esboce o gra´fico de f .