Lista 2 (Probabilidade e Estatística Eng.)

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Probabilidade e Estat´ıstica - Lista 2
Giannini Italino
September 14, 2016
[1] Seja X uma varia´vel aleato´ria discreta e seja f uma func¸a˜o tal que
x 1 2 3 4 5
f(x) p2 p2 p p p2
(a) Encontre o valor de p de modo que f seja uma func¸a˜o de probabilidade.
(b) Calcule P (X ≥ 4) e P (X < 3).
(c) Calcule P (|X − 3| ≥ 2).
(d) Obtenha E(X) e V ar(X).
Resp.: (a) p = 13 , (b)
4
9 e
2
9 , (c)
2
9 , (d) E(X) =
29
9 , V ar(X) =
14
81 .
[2] Suponha que falhas em determinada ma´quina ocorram com mesma frequeˆncia.
Dependendo do tipo de falha, o te´cnico pode levar 1, 2, 3, 4 ou 5 horas para
concertar a ma´quina.
(a) Descreva o modelo probabil´ıstico apropriado para representar a durac¸a˜o
do tempo de concerto da ma´quina?
(b) Qual e´ o tempo me´dio de reparo desta ma´quina? E qual e´ a variaˆncia
deste tempo de concerto?
(c) Suponha que sa˜o exatamente 15 horas e acaba de ser entregue uma ma´quina
para ser concertada. Admita ainda que a jornada normal de trabalho do
te´cnico termina a`s 17 horas. Qual a probabilidade de que o te´cnico na˜o
precise fazer hora extra para terminar o concerto da ma´quina?
Resp.: (a)
x 1 2 3 4 5
f(x) 15
1
5
1
5
1
5
1
5
(b) E(X) = 3, V (X) = 2, (c) P (X < 2) = 0.4
[3] Suponha que dois adversa´rios A e B disputam uma se´rie de oito partidas
de um determinado jogo. A probabilidade do jogador A ganhar uma partida e´
1
0.6 e na˜o ha´ empate. Qual a probabilidade do jogador A ganhar a se´rie? (Dica:
Use a distribuic¸a˜o binomial para modelar esse problema.)
Resp.: 0, 5940
[4]O tempo t, em minutos, necessa´rios para um opera´rio processar uma certa
pec¸a e´ uma varia´vel aleato´ria com a seguinte distribuic¸a˜o de probabilidade
t 2 3 4 5 6 7
f(x) 0.1 0.1 0.3 0.2 0.2 0.1
(a) Calcule o tempo me´dio de processamento.
(b) Obtenha a variaˆncia e a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada associada a f .
Resp.:(a)E(X) = 4.6, (b) V ar(X) = 0, 4125
[5] Sabe-se que uma varia´vel aleato´ria assume os valores 1, 2 e 3 e que sua
func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada e´ tal que
F (1)− F (1−) = 1
3
, F (2)− F (2−) = 1
6
e F (3)− F (3−) = 1
2
Obtenha a func¸a˜o de probabilidade de X, o gra´fico de F , a me´dia e variaˆncia
de X.
Resp.: f(1) = 13 , f(2) =
1
6 , f(3) =
1
2 , E(X) =
13
6 , V ar(X) = (1− 136 )2 · 13 +
(2− 136 )2 · 16 + (3− 136 )2 · 12
[6] Um sistema de inspec¸a˜o o´ptica deve distinguir diferentes tipos de pec¸as.
A probabilidade de uma classificac¸a˜o correta de qualquer pec¸a e´ 0.98. Suponha
que treˆs pec¸as sejam inspecionadas e que as classificac¸o˜es sejam independentes.
Seja a varia´vel aleato´ria X o nu´mero de pec¸as classificadas corretamente. De-
termine a func¸a˜o de probabilidade de X.
Resp.:
x 0 1 2 3
f(x) 0.000008 0.001176 0.057624 0.941192
[7] Erros em um canal experimental de transmissa˜o sa˜o encontrados quando
a transmissa˜o e´ verificada por um certificador que detecta pulsos que faltam. O
nu´mero encontrado de erros em um byte de 8 bits e´ uma varia´vel aleato´ria com
a seguinte func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada.
F (x) =

0 se x < 1,
0.7 se 1 ≤ x < 4,
0.9 se 4 ≤ x < 7,
1 x ≥ 7.
Determine cada uma das probabilidades a seguir:
(a) P (X ≤ 4).
2
(b) P (X ≤ 5).
(c) P (X > 4).
(d) P (X > 7).
Resp.: (a) 0.9, (b) 0.9, (c) 0.1, (d) 0
[8] A´rvores sa˜o sujeitas a diferentes n´ıveis de atmosfera de dio´xido de car-
bono com 6% das a´rvores em uma condic¸a˜o de crescimento mı´nimo a 350 partes
por milha˜o (ppm) de CO2, 10% a 450 ppm (crescimento lento) de CO2, 47% a
550 ppm (crescimento moderado) de CO2 e 37% a 650 ppm (crescimento ra´pido)
de CO2. Qual e´ a me´dia e a variaˆncia da atmosfera de dio´xido de carbono (em
ppm) para essas a´rvores em ppm?
Resp.: µ = E(X) = 6% · 350 + 10% · 450 + 47% · 550 + 37% · 650 e V ar(X) =
(350− µ)2 · 6% + (450− µ)2 · 10% + (550− µ)2 · 47% + (650− µ)2 · 37%
[9] Seja uma varia´vel aleato´ria binomial com p = 0, 1 e n = 10. Calcule as
seguintes probabilidades a partir da func¸a˜o de probabilidade binomial
(a) P (X ≤ 2).
(b) P (X > 8).
(c) P (X = 4)
(d) P (5 ≤ X ≤ 7).
Resp.: (a) 10!9! (0.1)(0.9)
9+ 10!2!8! (0.1)
2(0.9)8, (b) 10!9! (0.1)
9(0.9)+(0.1)10, (c) 10!4!6! (0.1)
4(0.9)6,
(d) 10!5!5! (0.1)
5(0.9)5 + 10!6!4! (0.1)
6(0.9)4 + 10!7!3! (0.1)
7(0.9)3
[10] Em seu caminho matinal, voceˆ se aproxima de um determinado sinal de
traˆnsito, que esta´ verde 20% do tempo. Suponha que cada dia represente uma
tentativa independente.
(a) Em 5 manha˜s, qual a probabilidade de que a luz esteja verde exatamente
um dia?
(b) Em 20 manha˜s, qual a probabilidade de que a luz esteja verde exatamente
4 dias?
(c) Em 20 manha˜s, qual a probabilidade de que a luz esteja verde em mais de
4 dias?
Resp.: (a) 0.4096, (b) 20!4!16! (0.2)
4(0.8)16,
(c) 1−( 20!4!16! (0.2)4(0.8)16 + 20!3!17! (0.2)3(0.8)17 + 20!2!18! (0.2)2(0.8)18 + 20!1!19! (0.2)1(0.8)19 + (0.8)20)
[11] Suponha que a func¸a˜o definida como f(x) = e−x para x > 0 e zero caso
contra´rio seja uma func¸a˜o de densidade de alguma varia´vel aleato´ria cont´ınua.
Calcule as probabilidades:
(a) P (X > 1),
(b) P (X = 3),
3
(c) P (X ≤ 3),
(d) P (1 < X < 2.5).
Resp.: (a) 0.3679, (b) 0, (c) 0, 0498 (d) 0, 2858
[12] Seja X uma varia´vel aleato´ria com func¸a˜o densidade de probabilidade
dada por
f(x) =
{
c(1− x2) se -1 < X < 1,
0 caso contra´rio.
(a) Qual e´ o valor de c de modo que f seja uma densidade?
(b) Qual e´ a func¸a˜o distribuic¸a˜o acumulada de X?
Resp.: (a) 34 , (b)
F (x) =

0 se X < −1,
−x3+3x+2
4 se -1 < X ≤ 1,
1 se X ≥ 1.
[13]Suponha que o tempo, em meses, para a recuperac¸a˜o de pacientes sub-
metidos a um certo tipo de cirurgia do aparelho digestivo pode ser modelado
por uma varia´vel aleato´ria cont´ınua X, cuja func¸a˜o densidade de probabilidade
e´ dada por:
f(x) =

1
3 se 0 ≤ x < 1,− x12 + 512 se 1 ≤ x < 5,
0 caso contra´rio.
(a) Determine o tempo me´dio de recuperac¸a˜o?
(b) Calcule a variaˆncia?
Resp.:(a) 1, 72 meses, (b) 1, 369 meses2
4