Análise de Dados: ANOVA, Correlação e Regressão

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1 
 
FORMULÁRIO 
 
ANOVA 
 SQE x X
x
n
x
Nji
n
j
k ij
i
n
jj
k ij
i
n
j
k
j
j j
  



































2
11
1
2
1
11
2
  SQR x x x
x
nij j iji
n ij
i
n
jj
k
j
k
i
n
j
k j
j
j
   


























2
2
1
1
2
1111
 
 SQT x X x
x
Niji
n
j
k
ij
i
n ij
i
n
j
k
j
kj j
j
   






 


 


2
11
2
1
11
2
1
 STQ = SQE + SQR 
 
Quadro da ANOVA 
Fonte de 
Variação 
Soma de quadrados GL 
Quadrado médio 
= s2 
Estatística F 
Entre amostras 
 
SQE k - 1 
1k
SQE
QME
2
es


 
 
QMR
QME
F
2
r
2
e
s
s

 
 
 
Residual 
 
 
 
SQR 
 
 
N - k 
 
kN
SQR
QMR
2
rs


 
 
Total SQT N - 1 
 
Tabela: GL1 = k – 1 e GL2 = N – k 
Método de Scheffé: 
x xi j  
, onde 
   





   QMR n n
k F
i j
k N k
1 1
1 1, ( )
 
 
 
2 
 
CORRELAÇÃO 
 
Coeficiente de correlação linear de Pearson: 

























 
  
 
  
2
n
1i
i
n
1i
2
i
n
1i
2
n
1i
i
2
i
n
1i
n
1i
n
1i
iiii
YYnXXn
YXYXn
r
 
Avaliação: 
 Interpretação: se 0 < | r | < 0,3 existe fraca correlação linear; 
 se 0,30  | r | < 0,60 existe moderada correlação linear; 
 se 0,60  | r | < 0,90 existe forte correlação linear; 
 0,90  | r | < 1,00 existe correlação linear muito forte. 
 
Testes para o coeficiente de correlação: 
(1) Para a hipótese H0:  = 0, a estatística do teste é dada por t =
r n−2
 1−r2
 com graus 
de liberdade GL = n - 2 
(2) Para a hipótese H0:  = 0  0, utiliza-se a estatística 









r1
r1
ln
2
1
Z
 
onde 











0
0
Z
1
1
ln
2
1
 e 
3n
1
Z


. Como Z tem distribuição 
aproximadamente normal, então a variável padronizada z será dada por 
Z
Z
Z
z



 
 
REGRESSÃO SIMPLES 
 
 Modelo linear estimado: Y = a + bX 
 
 Método dos mínimos quadrados: 
Y na b Xi i  
 
 X Y a X b Xi i i i   2 
 Durbin-Watson: 
 





 

n
1i
2
i
1n
1i
2
i1i
d
)dd(
d 
3 
 
d [0, dL [ [dL, dU[ [dU, 4-dU[ [4-dU, 4-dL[ [4 – dL, 4[ 
Decisão Rejeitar H0 
Dependência 
Nada se 
pode 
concluir 
Não rejeitar H0 
Independência 
Nada se 
pode 
concluir 
Rejeitar H0 
Dependência 
 
 ANOVA para a regressão linear simples: 
Fonte de 
Variação 
Soma de quadrados GL 
Quadrado médio 
 
Estatística F 
Devido à 
regressão 
b.Sxy 1 b.Sxy 
2
R
xy
s
S.b
F 
 
Residual Syy – b.Sxy n - 2 
2
S.bS
n
s
xyyy2
R


 
 
Total Syy n - 1 
 onde 
    
n
n
1i
i
n
1i
in
1i
ii
n
1i
iixy
YX
YXYYXXS














 

 e  
n
2
n
1i
in
1i
2
i
n
1i
2
iyy
Y
YYYS








 

 
Se F > F com 1 = 1 e 2 = n - 2, rejeita-se a hipótese H0. 
 
Coeficiente de determinação: 
Syy
S.b
R
xy
2 
 
Variância amostral ou residual: 
22
2
2







n
)YˆY(
n
S.bS
s
xyyy
R 
 Teste para o parâmetro β: 
bs
b
t 0


, onde 


2
2
x
s
s Rb
, com 
  
22 )XX(x 
 Teste para o parâmetro α: 
as
a
t


 , onde: 



2
22
x.n
s.X
s Ra
. 
 Intervalos de confiança: 
 Para : 
xx
2
R2/
xx
2
R2/
S
X
n
1
.sta
S
X
n
1
sta  
 
4 
 
onde 
n
X
X)XX(S
2
n
1i
in
1i
2
i
2
n
1i
ixx










 

 
 
 Para : 
xx
R
2/
xx
R
2/
S
s
tb
S
s
tb  
 
 
 Para E(Yh):    
xx
2
i
R2/hh
xx
2
i
R2/h
S
XX
n
1
stYˆ)Y(E
S
XX
n
1
stYˆ



 
 
 
 Para Yh :    
xx
2
i
R2/hh
xx
2
i
R2/h
S
XX
n
1
1stYˆY
S
XX
n
1
1.stYˆ



 
 
 Regressão polinomial: Y = a + bX + cX2 
 
Y na b X b Xi i i    1 2 2
 
X Y a X b X b Xi i i i i    1 2 2 3
 
 
X Y a X b X b Xi i i i i
2 2
1
3
2
4    
 
 
REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA 
 
 Modelo estimado: Y
 = Xb 
 
 Estimador de mínimos quadrados: b = (X ' X)-1X ' Y 
 
 Coeficiente de correlação linear múltipla: 
y'y
y'X'b
R 
, onde y = Y - Y . 
 
5 
 
 
 
 Teste de existência de regressão: 
 
Fonte 
deVariação 
Soma de 
quadrados 
GL Quadrado médio Estatística 
F 
Devido à 
regressão b Si iy
i
k


1
 
k 
s
b S
kreg
i iy
i
k
2 1


 
2
r
2
reg
s
s
F 
 
Residual 



k
1i
iyiyy SbS
 
n-k-1 
1kn
SbS
s
k
1i
iyiyy
2
r





 
 
Total Syy n-1 
 
Se F > Fk,n-k-1(), a regressão linear é significativa no nível de significância  adotado, 
caso contrário, ela não é significativa nesse nível.