Atividade A3 - Análise de Regressão Univariada

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Atividade A3 - Análise de Regressão Univariada
João Paulo Lazzarini Cyrino
27/04/2021
Apresentação dos dados e do modelo
Os dados são formados pelas variáveis renda mensal e anos de estudo, sobre as quais se visa investigar o
quanto os anos de estudo influenciam na rena mensal, ou seja, a renda mensal é a variável dependente e os
anos de estudo, a independente.
Os dados seguem abaixo:
renda estudo
3370 8
3321 7
3310 8
3541 10
4350 11
4132 11
3250 7
3459 8
4331 10
2950 7
4650 12
3540 9
Foi oferecido o seguinte modelo para os dados1:
ŷ = 1141, 2 + 282.5x
Tabela ANOVA
Para a análise do modelo, criamos a tabela ANOVA a partir dos cálculos das somas dos quadrados apresen-
tados abaixo:
SQTot =
n∑
i=1
(yi − ȳ)2
SQReg =
n∑
i=1
(ŷi − ȳ)2
1No enunciado do exercício, os coeficientes são apresentados de forma inversa, sendo o coeficiente angular 1141.2 e o linear
282.5. Isso, no entanto, gera uma regressão que não se ajusta aos dados de forma alguma e gera problemas para a resolução do
exercício. A reta que deve ser utilizada é aquela com o coeficiente angular de 282.5
1
SQRes =
n∑
i=1
(yi − ŷi)2
A tabela ANOVA segue abaixo:
Fonte GL SQ SQM
Regressão 1 2713412.5 2713412.51
Resíduo 10 471774.2 47177.42
Total 11 3185186.7 289562.42
sd A partir da divisão dos quadrados médios da regressão pelos quadrados médios residuais podemos obter
a estatística F:
F = QMReg
QMRes
= 2.7134125× 10
6
4.717742× 104 ≈ 57.52
Para o modelo, calculamos, portanto, a estatística F como 57.52.
Testes de Hipóteses: Efeito Linear
Avaliamos agora a hipótese com respeito à existência de efeito linear entre x e y. Nesse caso, estabelecemos
como hipótese nula H0 que o coeficiente angular β1 = 0. Nesse caso, não há efeito linear. A hipótese
alternativa Ha é a de que β1 6= 0, sugerindo efeito linear.
Este teste é feito utilizando a estatística F. Como sinalizado anteriormente, nossa estatística F observada é:
Fobs =
QMReg
QMRes
= 2.7134125× 10
6
4.717742× 104 ≈ 57.52
Rejeitamos a hipótese nula se Fobs > Fc em que Fc é o F crítico: o valor da distribuição F para 5% com 1 e
n-2 = 10 graus de liberdade2:
Fc = F.05(1,n−2) = 4.9646027
Como pdemos observar, Fobs é maior que Fc, sugerindo a falsidade da hipótese nula. Isso corrobora a
existência de relação linear entre as variáveis x e y.
Intervalos de Confiança
Utilizamos a distribuição-t para estabelecer os intervalos de confiança dos coeficientes para uma confiabilidade
γ = 95%.
Para o coeficiente linear, o intervalo de confiança é calculado da seguinte forma:
IC(β0; γ = 95%) =
[
β0 ± t.025,n−2 ×
√
QMRes
(
1
n
+ x̄
2
Sxx
)
)]
2Os valores das distribuições estão sendo calculados utilizando o software R
2
Sxx =
n∑
i=1
x2i − nx̄2
Calculando temos que:
IC(β0; γ = 95%) = (1141.2± 2.2281389× 341.06) = (381.26; 1901.14)
Para o coeficiente angular temos:
IC(β1; γ = 95%) =
[
β1 ± t.025,n−2 ×
√
QMRes
Sxx
]
Calculando:
IC(β1; γ = 95%) = (199.5; 365.5)
Coeficiente de determinação
O coeficiente de determinação é uuma forma de medir a adequação do modelo aos dados. É um número no
intervalo [0; 1] em que 0 indica que o modelo não é linear e 1 indica um modelo totalmente adequado aos
dados. O valor 1 não costuma ser bem visto, já que pode indicar sobreajuste. O coeficiente é representado
pelo símbolo R2 e é calculado da seguinte forma:
R2 = SQReg
SQTot
Também é interessante notar que:
r = ±
√
R2
O coeficiente de correlação de Pearson é equivalente à raiz quadrada de R2.
Abaixo calculamos o valor R2 do modelo:
R2 = 2.7134125× 10
6
3.1851867× 106 = 0.85
3
	Apresentação dos dados e do modelo
	Tabela ANOVA
	Testes de Hipóteses: Efeito Linear
	Intervalos de Confiança
	Coeficiente de determinação