Apostila Matematica financeira 1 edicao

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Curso Preparatório 
 
 
Matemática Financeira 
 
 
 
 
 
 
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1ª Edição 
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CALCULADORA HP 12 C – INTRODUÇÃO 
 
 
 
Memorize o número de série da sua HP-12C, indicada no verso da mesma, assim como o país de sua 
fabricação. 
 
As calculadoras da marca Hewlett-Packard (HP), diferem das demais por não possuírem a tecla de 
igual ( = ); ela “processa os dados”. Deste modo, para se efetuar os cálculos, há a necessidade de se 
“introduzir” os números envolvidos numa operação desejada, para em seguida, selecionar a 
operação que os envolva. Após a seleção, a calculadora processará a operação mostrando no visor 
o resultado do mesmo. 
 
Veja o exemplo: 
 8 + 5 = ? 
 
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Calculadora Comum HP - 12C 
 
Teclas Visor Teclas Visor 
 8 8 8 8 
 
 + 8 E 
 5 5 N 8,00 
 = 13 ( resultado ) T 
 E 
 R 
 
 5 
 + 13,00 
 ( resultado ) 
 
Como podemos notar, na calculadora comum selecionamos a operação antes de introduzirmos o 
segundo número, e na HP-12C selecionamos a operação depois de introduzirmos os termos 
envolvidos na operação (primeiro os termos, depois a função). 
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Para corrigir um número digitado errado, basta apertar a tecla CLX (função clear x) 
 
Para deletar os arquivos das memórias, seguimos os passos abaixo: 
f FIN (função amarela da tecla X≥Y → Limpa o teclado financeiro 
f REG (função amarela da tecla CLX → Limpa todos os registros 
 
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VERIFICARNDO AS FUNÇÕES DA HP-12C 
Para verificarmos se a calculadora HP-12C está com suas funções funcionando normalmente, 
precisamos efetuar o seguinte teste: 
a) Com a calculadora desligada, apertar simultaneamente as teclas ON e x 
b) Soltar a tecla ON e, em seguida , a tecla x 
c) A calculadora estará processando suas funções (aparecerá no visor a palavra “running”), e ao 
final (aprox. 10 segundos), o visor demonstrará todas suas funções disponíveis. 
 
 
 
PARA VERIFICAR O TECLADO DA HP-12C 
Para isso, seguir os seguintes passos: 
 
a) Com a calculadora desligada, apertar simultaneamente as teclas ON e  
b) Soltar primeiramente a tecla ON e, depois, a tecla  
c) Apertar, uma a uma, da esquerda para a direita, e de cima para baixo, todas as teclas, 
passando pelo ENTER duas vezes (na 3ª e na 4ª fileiras) 
d) Ao toque da última tecla ( + ), deverá aparecer no visor o número 12, no centro. 
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Em caso de algum erro de tecla ou função, aparecerá a mensagem ERROR (se a bateria estiver 
fraca, aparecerá a mensagem ao teclar R/S). 
 
CONFIGURANDO A APARÊNCIA 
 
Cálculos com Números Decimais 
Na calculadora HP-12C pode-se apresentar no visor um número decimal com quantas casas após a 
vírgula quiser, para isso basta apertarmos a tecla “f” (função amarela) e, em seguida, a tecla do 
número de casas que desejarmos: 
 
Tecla Visor 
 
 f 2 0,00 
 
 f 9 0,000000000 
 
No entanto, apesar da calculadora apresentar no visor o número de casas decimais que 
selecionamos, conserva internamente e opera com o número total registrado. 
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 Tecla Visor (com 2 casas) Internamente 
 f 2 0,00 0,000000000 
 
 1 . 3 2 2 6 1,3226 1,322600000 
 
 ENTER 1,32 1,322600000 
 
 2 . 4 5 4 2,454 2,454000000 
 x 3,25 3,245660400 
 
Para visualizar todas as casas (momentaneamente), aperte a tecla f e depois ENTER (prefix). 
 
Para excluir as casas excedentes à do visor “x”, aperte a tecla f (função amarela) e depois “RND” 
(função amarela da tecla PMT); essa operação executará a função de arredondamento. 
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Separador de Milhar e Centavos 
A HP12C oferece o recurso de separar as casas de milhar e centavos com padrão americano (vírgula 
para milhar e ponto para decimal) e brasileiro (ponto para o milhar e vírgula para o decimal), sem 
interferência nos cálculos (trata-se apenas de ajuste da aparência). 
Para fazer a conversão, com a calculadora desligada, apertar a tecla ON, segurar, e em seguida a 
tecla ponto . , liberando-as após a operação. 
 
 
Cálculo em Cadeia 
A HP12C possui um recurso muito prático para a elaboração de cálculos em cadeia; a “pilha 
operacional”. São “visores” internos, não aparentes (y, z, t). Esta é a configuração da pilha 
operacional: 
 
 t 
 
 z “visores internos“ 
 y 
 
 x visor externo 
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Quando utilizado o último visor da pilha operacional ( t ), o número fica acumulado, repetindo nos 
outros visores. Se acrescentados outros dados quando da utilização deste último visor (t), este 
número desaparece de sua memória. 
 
FUNÇÕES AUXILIARES 
a) Para verificar o último número inserido, digite g “Lst x” (função azul da tecla ENTER). 
 
b) Tecla X ≥ Y (inversão do visor “x” para o visor “y”) 
 Essa função inverte os valores entre os visores “x” e “y”. 
 
c) Tecla 1 / x (divide a unidade pelo valor no visor “x”) 
Esta função apresenta o inverso do número constante no visor “x”. 
 
d ) Tecla CHS ( “change sign”, inversão de sinais ) 
 
Essa função inverte o sinal do número mostrado no visor X, passando-o de positivo para negativo 
ou vice-versa. 
 
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TECLAS DE PORCENTAGEM 
 
a) Porcentagem direta 
A tecla % fornece, a exemplo de outras calculadoras, o valor percentual direto, com as opções de 
somar, subtrair ou desprezar do capital. 
 
Exemplo: Calcular 10% de 2.000 
 
1º ) Inserir o capital na HP-12C 2.000 ENTER 
2º ) Inserir a taxa percentual e solicitar o resultado 10 % 200 (resultado) 
Se desejar somar o resultado ao capital, aperte a tecla de adição ( + ); se desejar subtrair, a tecla de 
subtração ( - ); se quiser desprezar para calcular outro percentual, apertar a tecla CLX . 
b) Porcentagem do Total 
A tecla %T calcula o percentual de um número em relação ao primeiro inserido. Para sabermos, 
por exemplo, quanto representa, em termos percentuais, 10 em relação a 200: 
1º ) Inserir o nº 200 200 ENTER 
2º ) Digitar o nº 10 e apertar %T 10 %T resultado = 5% 
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c) Variação Percentual 
A tecla % calcula a variação percentual de um número inserido para um segundo. Por exemplo, 
vamos ver qual a variação percentual de 10 para 200. 
1º ) Inserir o número 10 10 ENTER 
2º ) Inserir o nº 200 e solicitar 200 % 1900% (resultado) 
 
Significa que a variação de 10 para 200 unidades é de 1900% positivos. Utilizada também para 
apurar a taxa de repasse de uma operação ou variação de preços. 
 
É importante perceber que o cálculo é efetuado em relação do primeiro para o segundo termo; no 
caso do valor do segundo termo inserido ser inferior ao primeiro, o resultado aparecerá na forma 
negativa, informando que houve um decréscimo de valor. 
Exemplo: 1º termo = 20 ENTER 
 2º termo = 19 função % (resultado) → -5 % (variação negativa) 
Significa que, de 20 unidades para 19 unidades, há uma variação negativa de 5%. Essa função é 
muito utilizada para comparar preços e valores de bens. 
 
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TECLAS DE MEMÓRIAS 
Para armazenar na memória 
Digitar a função STO e o nº da memória desejado. Para recuperar, digitar a função RCL e o nº da 
memória desejado. A HP-12C fornece os seguintes recursos: 
 
 Dez memórias normais (de 0 a 9), e mais dez memórias extras (ou paralelas), de .0 a .9. 
Exemplo: Para armazenar um nº quando as memórias de 0 a 9 estiverem ocupadas, digitar a 
função STO , a tecla ponto ( . ) e o nº desejado. Para recuperar o nº , digitar a função RCL , a 
tecla ponto ( . ) e o nº correspondente. 
 
Observação: algumas calculadoras não possuem as memórias extras .7 (ponto sete) até .9 (ponto 
nove) . Para saber a quantidade de memórias, digite g mem (função azul da tecla 9, aparecerá a 
quantidade de memórias disponíveis ao final da linha, por breve instante). 
 
 Soma / subtração na memória: para somar um nº estabelecido no visor x a um nº reservado em 
uma memória, digitar as funções STO, + , e o nº da memória correspondente (o resultado ficará 
armazenado na memória); para subtrair, funções STO, - , e o nº da memória correspondente 
(será subtraído o nº da memória pelo do visor, e o resultado estará automaticamente 
armazenado). 
 
 Multiplicação: com o nº estabelecido no visor x, digitar as funções STO, x e o nº da memória 
correspondente. O resultado ficará armazenado na memória. 
 
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 Divisão: com o nº estabelecido no visor x, digitar as funções STO,  e o nº da memória 
correspondente. Será efetuada a divisão entre o nº armazenado na memória e o nº estabelecido 
no visor x, ficando o resultado armazenado na memória. 
 
CÁLCULODE PRAZO (em dias) E DATA 
A HP-12C é dotada de um calendário, e pode nos fornecer datas ou os dias decorridos ou a decorrer 
de uma data a outra. Originalmente, ela vem com a data em formato de mês, dia e ano (padrão 
americano); para converter no padrão brasileiro (dia, mês e ano), devemos apertar as teclas g 
D.MY (função azul da tecla 4), aparecendo no visor d.my. Para reverter, basta apertar as teclas g 
M.DY (função azul da tecla 5) . 
 
Forma de cálculo de datas (posição D.MY) 
 
1º passo: Digitar a data de partida no formato D.MY 
Exemplo 1º de janeiro de 2.007, digitar 1,012007 
2º passo: Digitar o nº de dias a decorrer (ex.: 90 dias) 
3º passo: Apertar as teclas g date (função azul da tecla CHS) 
Resultado: 1.04.2007 7 (1º de abril, domingo) 
 
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O último nº a aparecer no visor corresponde ao dia da semana, iniciando-se da 2ª feira. Para 
retroagir datas, utilizar a tecla CHS quando inserir o nº de dias. Exemplo: vamos descobrir qual a 
data que antecede 1º de janeiro de 2007 em 90 dias. 
 
 
 1.012007 ENTER 90 CHS g date resposta 3.10.2007 2 (terça-feira) 
 
Forma de cálculo do prazo (em dias): 
1º passo: Digitar a data inicial. 
2º passo: Digitar a data final. 
 
3º passo: Apertar as teclas g DYS (função azul da tecla EEX) 
Exemplo: De 1º de janeiro de 2007 a 31 de dezembro de 2007: 
 
 1,012007 ENTER 31,122007 g dys resultado: 364 dias. 
 
 Descubra agora quantos dias de vida possui, digitando sua data de nascimento, a data de hoje e 
a função dias. (dd,mmaaaa de nascimento – Enter – dd – mmaaaa atual – g – dys) 
 Para saber em que dia da semana nasceu, digite sua data de nascimento, o número zero e a 
função data. (dd,mmaaaa de nascimento – Enter – 0 – g – date) 
 
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TECLADO FINANCEIRO 
Trata-se do “plus” da HP12C; sabendo manipular essas teclas, determinamos qualquer dos 
elementos: 
n período, número de parcelas 
i taxa de juros (forma %) 
PV valor presente, capital 
PMT valor das parcelas 
FV valor futuro, montante 
Veremos, no próximo capítulo a seguir, a forma de utilizar esse teclado. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
1) O preço da gasolina no Posto A é R$ 2,69 e no Posto B R$ 2,74. Qual a diferença percentual 
entre eles? 
 
 
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2) Um assalariado receberá R$ 350,00 a título de PLR. Considerando que seu salário é de R$ 
1.850,00 qual o percentual relativo da PLR? 
 
 
 
 
 
3) Um equipamento de informática custa R$ 2.000,00 a vista ou em duas parcelas, sendo a primeira 
de 40% no ato e R$ 1.344,00 em 45 dias. Qual a taxa de juros mensal cobrada? 
 
 
 
 
 
4) Quantos dias faltam para acabar o ano? 
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5) Em qual dia da semana você nasceu? 
 
 
 
 
 
 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 
MATEMÁTICA é uma ciência exata, portanto não há como um mesmo enunciado possuir duas ou 
mais respostas. Pode haver interpretações ou modos de resoluções diferentes, porém um só 
resultado. 
A Matemática Financeira é o ramo da ciência destinado à aplicação da Matemática nos diversos 
problemas do Mercado Financeiro; trata-se do estudo do comportamento do dinheiro no tempo, 
sendo seu domínio imprescindível a quem deseja desenvolver-se na área gerencial, indiferente do 
ramo de atividade. Para esse domínio, é exigida análise atenta dos problemas que queiram 
resolver, compreensão clara das operações financeiras envolvidas e familiaridade não somente com 
a linguagem dos negócios, como também das tabelas, fórmulas e calculadoras (financeira, científica 
ou comum), além de muito exercício. 
 
CONCEITOS GERAIS 
Para continuidade do assunto, vejamos os conceitos utilizados no Mercado Financeiro: 
 Capital: para a matemática financeira, é um valor em moeda corrente, disponível p/ transação 
financeira (empréstimo ou aplicação); 
 Juro: remuneração de um capital aplicado a uma determinada taxa, por um período; 
 Taxa de juros: remunerador de uma operação financeira, é a razão entre o juro e o capital; 
 Capitalização: operação de soma do juro periódico ao capital; 
 Período de Capitalização: intervalo de tempo entre cada capitalização; 
 Montante: soma do capital e o juro total produzido (também chamado de resgate). 
 
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FLUXO DE CAIXA 
Tendo em vista que a maioria dos problemas de Matemática Financeira ocorre em instantes de 
tempo diferentes, é útil adotar-se uma representação que possibilite visualizar e simplificar a sua 
resolução. Tal representação é conhecida como Fluxo de Caixa. 
Denomina-se Fluxo de Caixa de uma empresa, indivíduo, etc. a relação das entradas e saídas de 
dinheiro (caixa) por um determinado período. Sua representação pelo período pode ser feita 
através de quadros, ou graficamente, através do seguinte diagrama: 
 + ( entrada / recebimento ) 
 
 
 1 2 ...... n 
 
 0 
 ( - ) saída, pagamento 
Este diagrama é a forma mais usual de representação e considera que: 
1) A escala (reta) horizontal representa o tempo que pode ser expresso em dias, semanas, meses, 
anos, etc., ou seja, conforme designar o problema. Assim, os pontos 0, 1, 2, ... n substituirão as 
datas do calendário do problema, indicando a unidade de tempo utilizada. 
 
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Neste caso, o instante 0 representa normalmente a data inicial, o ponto 1 representa o final do 
primeiro período e assim sucessivamente. 
2) As entradas de dinheiro, recebimentos ou financiamentos, serão sinais positivos e serão 
representados por flechas apontadas para cima. 
 
3) As saídas de dinheiro ou pagamentos terão sinais negativos e serão representadas por 
flechas apontadas para baixo. 
 
A importância da elaboração do Fluxo de Caixa é a de que qualquer operação nele representado, 
apresentará uma melhor visualização e consequentemente uma maior facilidade de resolução. 
Portanto, o Fluxo de Caixa deve ser encarado como uma ferramenta muito importante na resolução 
de problemas de Matemática Financeira. 
 
Exemplo: Vamos montar o Fluxo de Caixa em dias de um empréstimo de R$ 5.000,00 que você 
pagará R$ 3.000,00 daqui a 30 dias, R$ 1.000,00 em 60 dias e R$ 1.500,00 daqui a 90 dias. 
 R$ 5.000,00 
 30 60 90 
 
 0 
 
 R$ 3.000,00 R$ 1.000,00 R$ 1.500,00 
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(a resolução desse problema será visto no capítulo Série Variável de Pagamentos) 
REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO 
 
CAPITALIZAÇÃO (ou Juros) SIMPLES 
A taxa de juros é dita simples (ou linear) quando o valor total dos juros é resultante da sua 
incidência somente sobre o capital inicial; isto é, a taxa não incide sobre o valor dos juros 
acumulados periodicamente, não é capitalizado periodicamente, o valor do juro é proporcional ao 
capital, à taxa e ao período aplicado. 
 
Uma vez introduzido os conceitos básicos, vamos estabelecer algumas formas práticas de utilizar 
tais conceitos. Considerando: 
 J = valor do juro; 
 
 i = taxa percentual, sempre na mesma unidade do período; 
 
 C = capital (ou principal); 
 
 n = período da operação. 
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Temos a seguinte fórmula para determinação do valor dos Juros com capitalização simples, 
derivada de uma relação diretamente proporcional: 
 
 J = C x i x n 
 
 
De onde definimos Juros como: “O resultado do capital aplicado a uma taxa percentual por um 
determinado período de tempo”. Abaixo, derivações dessa fórmula: 
 
 J 
 i = 
 C x n 
 
 
 J 
 C = 
 i x n 
 
 
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O Montante (ou Resgate) é definido pelo Capital acrescido dos juros resultantes de uma operação, 
com incidência de taxa e prazo. Portanto, podemos definir a fórmula do Montante (ou Resgate) 
como: 
 M = C + ( C x i x n ) 
Utilizando as propriedades matemáticas, temos: 
 
 
 M = C x [ 1 + ( i x n ) ] 
 
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
Define-se por juros compostos (ou exponenciais, ou equivalentes) quando o valor total dos juros é 
resultante da incidência da taxa sobre o capital inicial e também sobre o valor dos juros 
acumulados de cada período. Teríamos, então: 
 
M = C x (1 + i ) x ( 1 + i ) x ( 1 + i ) ........ x ( 1 + i ), por “n” períodos (geralmente mensais). 
 
Neste caso, ao invés de multiplicarmos a taxa pelo prazo, podemos utilizar a propriedade 
matemática e exponenciar. Temos, então, a seguinte fórmula: 
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 n 
 M = C x ( 1 + i/100 ) 
 
ou 
 n 
M = C x ( F ) 
 
 
FATORES DE CAPITAL 
Uma taxa percentual é uma fração centesimal, e pode ser expressa em sua forma unitária (por 
exemplo, 7% = 0,07). Outra forma de representação da taxa, para definição de uma operação de 
adição do juro ao capital (MONTANTE), é por meio de “fatores”, ou seja, da soma de uma unidade 
do Capital (1) à taxa de juros na sua forma linear; fatores são, portanto, a forma unitária da taxa 
de juros acrescida de uma unidade do Capital. Temos, então: 
 
 F = 1 + i / 100 
 
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E, acrescentando períodos, temos o Fator de Atualização de Capital: 
 
 
 Fator de Atualização de Capital FAC = 1 + ( i x n ) 
(em geral, apresentado com 4 casas decimais) 
 
A fórmula do Montante pode ser definida: 
 M = C x Fac 
 
TAXAS PROPORCIONAIS 
Para convertermos taxas de unidades de tempo diferentes (quanto se tratar de capitalização 
simples), utilizamos a seguinte fórmula de proporcionalidade da taxa: 
 
 
 ip = i x Pzo. desejado , onde ip = taxa proporcional, nominal 
 Pzo. da taxa (veremos melhor este conceito adiante) 
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EQUIVALÊNCIA DE TAXAS 
No caso de capitalização composta, as taxas, aplicadas em períodos diferentes de sua unidade, 
sofrem uma “equivalência”, ou seja, são descapitalizadas pela razão dos períodos. 
 
 
 
 n 
Ie = {[ ( 1 + i / 100 ) - 1 ] x 100 } , onde Ie = taxa equivalente, efetiva 
 
TIPOS DE TAXAS DE JUROS 
 Nominal (ou corrente, ou de referência): normalmente indicada em contratos, é a taxa 
proporcional ao período de tempo (ex.: taxa nominal anual = taxa mensal x 12 ); 
 Efetiva: é a taxa que representa o custo da operação, sendo a razão entre o resgate e o valor 
liberado, à capitalização composta (taxa efetiva de aplicação = resgate / capital); 
 Real: representa o ganho real; é a taxa descontando os efeitos inflacionários (veremos esse tipo 
de taxa em casos de aplicações financeiras); 
 Exata: considera, para efeito de cálculo, o ano civil (365 dias); 
 Comercial: considera o ano comercial (360 dias); 
 
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UTILIZANDO A HP12C 
Capitalização Simples 
 Inserir a taxa de juros (Digitar a taxa e teclar “i”); 
 Inserir o prazo (em dias) (Digitar o prazo e teclar “n”); 
 Inserir o capital (Digitar o valor financiado e teclar PV); 
 Teclar função “f” INT (Juros – ano comercial); 
 Teclar R↓ (uma vez aparece o Valor do Capital; duas vezes os Juros considerando o ano civil (365 
dias). 
 
 
Capitalização Composta 
 Inserir a taxa de juros (observar a periodicidade); 
 Inserir o prazo (relativo à taxa de juros); 
 Inserir o capital; 
 Teclar função FV (aparece o valor do Montante negativo, devido à interpretação do Fluxo de 
Caixa). 
 
Importante: A taxa de juros e prazo devem constar no mesmo período (usualmente, mensal). 
Equivalência de Taxas 
Taxa mensal para equivalência anual 
 Inserir a taxa de juros mensal; 
 Inserir uma unidade de capital no PV, fluxo de caixa negativo (1 CHS PV); 
 Inserir o prazo desejado (12 meses); 
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 Teclar função FV (o resultado será o fator de capital acumulado, para converter para a taxa 
anual, subtrair a unidade de capital e multiplicar por 100). 
Taxa anual para equivalência mensal 
 Inserir uma unidade de capital no PV, fluxo de caixa negativo (1 CHS PV); 
 Inserir o Fator de Capital no FV (1+i); 
 Inserir o prazo da taxa (12); 
 Teclar a função i (o resultado será na forma percentual mensal). 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
1) Qual o juro produzido pelo capital de R$ 300.000,00 aplicado à taxa nominal de 12% ao ano, por 
um período de 240 dias? 
 
 
 
 
 
2) Qual o resgate de uma aplicação de R$ 8.000,00 à taxa nominal de 24% ao ano, por um período 
de 8 meses? 
 
 
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3) Quanto pagarei ao final de 1 ano por um empréstimo de R$ 5.000,00 tomado à taxa efetiva de 
1,5% ao mês? 
 
 
 
 
 
4) Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado a juros com taxa nominal de 14,50% ao ano, por um 
período de 65 dias. Qual será o rendimento e, se aplicar hoje, qual a data de resgate? 
 
 
 
 
 
 
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5) Qual a taxa equivalente mensal de 32% ao ano? 
 
 
 
 
 
6) Qual a taxa equivalente anual de 2% ao mês? 
 
 
 
 
 
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SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS 
Uma série uniforme de parcelas pode ser definida como sendo uma sucessão de pagamentos ou 
recebimentos iguais, com vencimentos sucessivos onde a diferença de prazo entre cada termo 
(recebimento/pagamento) é constante; ou seja, parcelas iguais, mensais e consecutivas. Estas 
séries podem ser de dois tipos: com termos vencidos ou termos antecipados. 
A nomenclatura a ser usada neste tipo de problema é a mesma (n, i, PV, FV), precisando incluir 
somente a parcela ou anuidade a qual representaremos pela sigla PMT (payment), linguagem 
utilizada pela calculadora financeira HP12C. 
a) Série Uniforme com Termos Vencidos - nesta série, o prazo de recebimento ou pagamento 
ocorre no final de cada período (ou, popularmente, utilizamos a expressão “sem entrada”). Na 
calculadora HP, para resolver este tipo de problema, a função financeira deverá estar na posição 
END (final), para especificar que a forma de pagamentos ou recebimentos (PMT) ocorre no final de 
cada período (função azul da tecla 8); 
b ) Série Uniforme com Termos Antecipados - Nas séries com termos antecipados, os pagamentos 
ou recebimentos ocorrem no início de cada período unitário (ou, popularmente, a primeira no ato, 
ou com entrada). Assim, a primeira prestação é sempre paga ou recebida no período “zero”, ou 
seja, na data do contrato do empréstimo, do financiamento, da aplicação ou de qualquer outra 
operação que implique em pagamentos ou recebimentos de prestações. 
Seu processo de resolução é praticamente o mesmo que termos vencidos, bastando adicionar na 
fórmula o multiplicar ou dividir os fatores com termos vencidos por (1 + i) para antecipar a série. 
 
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Na programação das calculadoras HP a função financeira deverá estar na posição BEGIN (início) 
para especificar que a forma de pagamentos ou recebimentos das parcelas (PMT) no Fluxo de Caixa 
ocorre no início de cada período (função azul da tecla 7). 
Temos então para este tipo de série os seguintes fatores: 
1) Fator de Acumulação de Capital (FAC) - este fator resolve o seguinte problema: qual o valor 
futuro (FV) de uma série uniforme constante de pagamentos (PMT) a uma certa taxa de juros (i), 
num certo período (n)? Ou seja: dado o valor das parcelas (PMT) achar o Valor Futuro (FV), ou 
montante ou capital acumulado. 
2) Fator de Formação de Capital (FFC) - este fator resolve o seguinte problema : que série 
uniforme (PMT) equivaleria um dado Valor Futuro (FV) a uma certa taxa de juros (i) num certo 
período (n)? Ou seja: dado o valor Futuro achar o valor das parcelas. 
3) Fator de Valor Atual (FVA) - este fator resolve o seguinte problema: qual o Valor Presente (PV) 
ou valor atual de uma série uniforme de parcelas (PMT), a uma certa taxa de juros (i), num certo 
período (n)? Ou seja: dado o valor das parcelas acharem o Valor Presente. 
4) Fator de Recuperação de Capital (FRC) - Este fator resolve o seguinte problema: que série 
uniforme de parcelas (PMT) equivaleria a um certo valor presente (PV) a uma certa taxa de juros 
(i) num certo período (n)? Ou seja: dado o Valor Presente (PV), taxa (i) e períodos (n), achar o valor 
das parcelas (PMT). 
Importante: Atentar ao tipo de cálculo(BEG ou END), a diferença é relevante! 
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
1) As Casas Bahia financia um produto em 24 vezes iguais de R$ 52,47 sem entrada, dizendo cobrar 
um juro de 4% ao mês. Qual o valor a vista desse produto, e o acumulado (ou o resultado 
operacional), ao final do plano, corrigindo as prestações pela mesma taxa de juros? 
 
 
 
 
 
 
 
2) Se aplicar todo mês R$ 200,00 em uma aplicação que me rende 0,5% ao mês de juros, quanto 
resgatarei ao final de 1 ano? 
 
 
 
 
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3) Considerando que as Casas Bahia continuam vendendo seus itens por 24 meses, à taxa de 4% ao 
mês, qual o valor de cada prestação daquele produto para resultar, ao final do período, R$ 2.153,45 
à empresa (reajuste de 5%)? Qual o percentual de reajuste das prestações e do valor a vista? 
 
 
 
 
 
 
 
4) Planejo viajar, e estimo os custos em R$ 10.000,00. Quanto devo aplicar mensalmente para 
resgatar esse valor, ao final de 1 ano, com as prestações corrigidas à taxa de 1% ao mês? 
 
 
 
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5) Desejo comprar um carro, que custa R$ 26.500,00 à vista. Considerando que tenho condições de 
aplicar meu dinheiro à taxa de 1% ao mês, quanto devo depositar mensalmente (começando mês 
que vem) para atingir este total em 18 meses? Se financiar à mesma taxa, qual seria a diferença 
entre as parcelas? 
 
 
 
 
 
 
6) Qual a vantagem de pagar por um determinado material à vista R$ 1.000,00 ao invés de 12 
prestações mensais de R$ 104,00 sem entrada, considerando-se uma taxa de juros de 2% a.m.? 
 
 
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7) Um financiamento de 10 parcelas de R$ 200,00 pode ser quitado pelo valor à vista de R$ 
1.800,00 (parcela vence no próximo mês). Possuo esse dinheiro, aplicado à taxa de 1,20% ao mês. 
Qual a melhor opção, por quê? 
 
 
 
 
 
 
 
8) As Casas Bahia querem diminuir seus juros para 3% ao mês. Qual o valor das prestações mensais 
fixas daquele produto, que custa R$ 800,00 à vista, financiado em 24 vezes, sem entrada? Qual o 
impacto relativo à parcela anterior (de R$ 52,47) e ao resultado futuro (R$ 2.050,66)? 
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9) Desejo comprar um veículo, que custa R$ 12.000,00 à vista, em 10 parcelas. Porém, se pagar no 
ato 20%, e financiar o restante à taxa nominal de 9,60% a. a. qual será o valor de cada prestação? 
 
 
 
 
 
 
 
9b) Qual será a taxa efetiva mensal, se o percentual do financiamento for aplicado pelo valor da 
Nota Fiscal (valor cheio)? 
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10) Uma loja oferece um CD player por R$ 800,00 à vista, ou em 3 parcelas mensais iguais de R$ 
300,00 sendo a primeira no ato. Qual a taxa de juros cobrada? Qual a diferença na taxa se a 
primeira fosse após 30 dias? 
 
 
 
 
 
 
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11) Qual a taxa daquele produto das Casas Bahia, que custa R$ 800,00 à vista, com 24 prestações 
de R$ 52,47 (que dizem cobrar 4% de juros mensais), se pagar a primeira à vista? 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) Escolha entre comprar um equipamento à vista por R$ 1.000,00 ou em 5 vezes iguais sem 
entrada de R$ 240,00 ou ainda em 6 vezes iguais, com entrada, de R$ 200,00 , sendo que há 
condições de tomar o recurso, junto a uma Instituição Financeira, à taxa de 5% ao mês. 
 
 
 
 
 
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13) Quanto deveria pagar, à vista, por uma máquina que custa R$ 1.200,00 em 6 vezes iguais (“sem 
juros”), com entrada, sabendo que está embutido juros efetivos de 18% ao ano? 
 
 
 
 
 
 
 
 
14) Desejo fazer um Fundo Próprio de Aposentadoria; se depositar R$ 100,00 todo mês na 
poupança (juro nominal de 6% ao ano), iniciando hoje e durante 20 anos e 3 meses, quanto poderei 
retirar mensalmente, se considerar uma expectativa de vida, após a aposentadoria, de 20 anos? 
 
 
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SÉRIE VARIÁVEL DE PAGAMENTO 
Há determinados tipos de operações financeiras que oferecem a condição de pagamentos de 
parcelas variáveis, com termos vencidos ou antecipados. Podemos representar a operação no Fluxo 
de Caixa da seguinte maneira: 
n = 3 
PV = Valor aplicado, equivalente a CF0 (“Cash Flow 0”, ou Fluxo de Caixa instante zero) 
Resgates (ou Fluxos de Caixa de diversos instantes: CFj): 
PMT 1 = a (CF1) 
PMT 2 = b ≠ a (CF2) 
PMT 3 = c ≠ b (CF3) 
PMT 4 = d ≠ c (CF4) 
PMT 5 = e ≠ d (CF5) 
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