Lista de exercícios 2ºEE - (séries de Taylor e Laurent)

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LISTA 2 DE COMPLEMENTOS DE
MATEMA´TICA. II 2016, CTG, UFPE
Liliana Gabriela Gheorghe
17 de Setembro de 2016
Conteu´do
0.1 Lista 2. (aulas 8,9,10,11,12) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.1.1 Se´ries de Taylor e Laurent. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 Exercicios va´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1
Resumo
Os exercicios propostos nesta lista apenas complementam os exercicios ba´sicos
que se encontram em todo livro de texto. Antes de resolver a lista, e´ bom ler os
exemplos resolvidos do livro e da aula!
Os exercicios marcados com ! ou !! sa˜o importantes e devem ser feitos.
Marcados com * ou ** exercicios com de n´ıvel de dificuldade mais alto.
0.1 Lista 2. (aulas 8,9,10,11,12)
Se´ries de Taylor e Laurent. Operac¸o˜es com se´ries de poteˆncias.
0.1.1 Se´ries de Taylor e Laurent.
1! (i) (1p) Expanda em se´rie de Laurent a func¸a˜o f(z) = 1z−r , na coroa |z| > r,
onde 0 < r < 1 e´ dado.
ii) (1p) Fazendo z = eit na se´rie do item i), deduza que vala a sguinte
expansa˜o
∞∑
n=1
rncos(nt) =
rcost− r2
1 + r2 − 2rcost .
Sugesta˜o: Como f e´ analitica na coroa |z| > r, pelo teorema de Laurent
resulta que f se expande em se´rie de Laurent na coroa pedida. Para achar a
expanc¸a˜o use, a se´rie geome´trica:
f(z) =
1
z(1− rz )
=
∞∑
m=0
rm
zm+1
=
∞∑
m=1
rm−1
zm
, |z| > r.
Soluc¸a˜o: Com efeito,
f(eit) =
1
eit − r =
∞∑
m=1
rm−1
emit
;
multiplicando por r e pegando a parte real nos dois membros da identidade,
obtemos o resultado.
Em seguida,
1
1 + 2
∞∑
0
rncos(nt) = 1 +
2rcost− 2r2
1 + r2 − 2rcost =
1− r2
1 + r2 − 2rcost = P (1, r, t).
1
2. Expanda as seguintes func¸o˜es nas coroas especificadas. f(z) = 1z2−4z+3
i) no disco |z| < 1;
ii) na coroa circular centrada em zero 1 < |z| < 3;
iii) na coroa circular centrada em zero 3 < |z|;
iv) na coroa circular centrada em z1 = 1, 0 < |z − 1| < 2;
v) na coroa circular centrada em z = 1, 2 < |z − 1|;
vi) na coroa circular centrada em z = 3, 0 < |z − 3| < 2
vii) na coroa circular centrada em z = 3, 2 < |z − 3|.
3. Expanda em se´rie de Laurent da func¸a˜o i) f(z) = 1
(z−a)k , (a 6= 0, k ∈ N)
na vizinhanc¸a de z = 0 e de z =∞.
Soluc¸a˜o: 1.Expandimos a func¸a˜o na vizinhanc¸a de z0 = 0. Seja
g(z) =
1
z − a = −
1
a(1− za )
= −
∞∑
0
zn
an+1
, |z| < |a|.
1Este exercicio sera´ invocado mais tarde, para mostrar que o nu´cleo de Poisson para o
disco de raio R = 1 e´:
P (1, r, t) = 1 + 2
∞∑
0
rncos(nt).
2
Derivando termo por termo k − 1 vezes, obtemos
g(k−1)(z) =
(−1)k−1(k − 1)!
(z − a)k = −
∞∑
0
n(n− 1)...(n− k − 1)zn−k−1
an+1
, |z| < |a|.
2
Para obter a expansa˜o na coroa |z| > a, (em torno do infinito) escrevemos
g(z) =
1
z − a =
1
z(1− az )
=
∞∑
0
an
zn+1
, |a| < |z|.
Derivando termo por termo k − 1 vezes, obtemos
g(k−1)(z) =
(−1)k−1(k − 1)!
(z − a)k =
∞∑
0
(−1)k
(n+ 1)...(n+ k + 1)
an
zn+k+1
, |z| < |a|.
ii) **
√
(z − a)(z − b), (|b| > |a|), numa vizinhanc¸a do ponto z =∞.
Por simplicidade, supomos a, b ∈ R+; Definimos
√
(z − a)(z − b) = √rρei(t+θ)/2 = √z − a√z − b, t ∈ (−pi, pi), θ ∈ (0, 2pi),
e notamos que e´ analitica na coroa |z| > max{|a|, |b|}, pois e´ um produto de
func¸o˜es analiticas.
Agora e´ so´ escrever a func¸a˜o como produto
√
(z − a)(z − b) = z
√
1− a
z
√
1− b
z
e usar a expansa˜o em se´rie binomial de cada um dos seus fatores e fazer o
2observe que o mesmo resultado se obte´m se usamos a se´rie binomial:
(1 + w)α = 1 +
∞∑
n=1
α(alpha− 1) · · · (α− n+ 1)
n!
wn, |w| < 1,
apo´s escrever 1
(z−a)k =
(−1)kak
(1− z
a
)k
=
(−1)kak
(1−wk , onde α = −k e w = −
z
a
.
3
produto de se´ries.
Detalhes na aula!
Exercicio 2. Decida quais das seguintes func¸o˜es na˜o admitem expansa˜o em
se´rie de Laurent em torno dos pontos dados, justificando sua resposta.
i) cos 1z , no ponto z0 = 0;
ii) cos 1z , no ponto z0 =∞; 3
iii) z
2
sen 1z
, no ponto z = 0;
iv) Lnz, no ponto z = 0;
v) Ln z−1z+i , no ponto z =∞.
vi) Arctg(1 + z), no ponto z = 0.
Exercicio 3*. Expanda as seguintes func¸o˜es em se´rie de Laurent, seja no
anel indicado, seja numa vizinhanc¸a dos pontos indicados. Nesse ultimo caso,
ache o conjunto aonde a expansa˜o e´ va´lida.
i) f(z) = 1
(z−a)k , (a 6= 0, k ∈ N) na vizinhanc¸a de z = 0 e de z =∞.
ii) **
√
(z − a)(z − b), (|b| > |a|), numa vizinhanc¸a do ponto z =∞.
iii!) z2sen 1z−1 , numa vizinhanc¸a do ponto z = 1.
iv) * ez+
1
z , no 0 < |z| <∞;
v)* sen z1−z , numa vizinhanc¸a dos pontos z = 1 e z =∞.
3lembramos que a expansa˜o em torno do infinito nada nmais e´ que a expansa˜o em coroas
|z| > R, para algum R. A expansa˜o de uma func¸a˜o f existe se e so´ se g(z) = f( 1
z
) se expande
em torno de zero!)
4
vi) * 1z−2Log
z−i
z+i , numa vizinhanc¸a do ponto z =∞ e no anel 1 < |z| < 2.
Exercicio 3. i) Ache o expansa˜o em se´rie de Laurent da func¸a˜o f(z) =
Log(1 + 1z ), para |z| > 1.
ii) Ache o expansa˜o da func¸a˜o f(z) = Log( z−az−b ), para |z| > max|a|, |b|
(numa vizinhanc¸a de ∞).
(Resposta:
∑∞
n=1
bn−an
nzn , |z| > max(|a|, |b|)).
7* Ache os primeiros 4 termos do expansa˜o em serie de Laurent em torno
de zero, da func¸a˜o f(z) = sen
3z
z4shz . Indique o dominio de validade desse expansa˜o.
0.2 Exercicios va´rios
Exercicio 1! Ache a parte principal das expanc¸o˜es em torno de zero das se-
guintes func¸o˜es:
i) f(z) = zn
e
1
z
(1 + z)
, (n ∈ N); ii) g(z) = Log(1− z)
z
.
Exercicio 2! Expanda em torno de infinito (QUando possivel) as seguintes
func¸o˜es:
i)
1
z − z3 ; ii)
ez
1 + z2
; iii)
1
z3(2− cosz)
iv)e
z
1−z v)
e
1
z−1
ez − 1 ; vii)e
tg 1z .
5