serie de Laurent

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VARIÁVEIS
COMPLEXAS
Tiago Loyo Silveira
 
Estudo da série de Laurent
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Desenvolver funções de variável complexa em séries de Laurent.
  Analisar pontos singulares e séries de Laurent.
  Identificar o estudo da série de Laurent visando demonstrar o teorema 
do resíduo.
Introdução
Para falarmos das séries de Laurent, precisamos introduzir os conceitos das 
séries de potências, já tendo nos apropriado das habilidades necessárias 
à manipulação de variáveis complexas.
As séries de Laurent são muito importantes para a aplicação do te-
orema do resíduo, que veremos neste capítulo, aplicado em sistemas 
físicos, como na aerodinâmica, por exemplo.
Séries de potências
Sejam constantes e x uma variável. Denominamos séries de 
potências as sequências do tipo:
expressas pelo somatório:
02996_Variaveis_Complexas.indb 59 21/03/2018 15:17:52
Exemplo:
sendo a constante igual a 1.
Sabemos que uma série simples pode convergir ou divergir. Diferentemente 
das demais séries, as séries de potências podem convergir em determinado 
intervalo e divergir em outro. Nesse caso, em cada série, devemos analisar o 
seu intervalo de convergência, ou raio de convergência.
Se tivermos x = 0, a série será convergente em , caso trivial.
Vamos analisar o caso:
O desenvolvimento fica:
Para que a série acima seja convergente em , basta que cada 
um dos binômios sejam iguais a zero. Para isso, basta termos 
.
 Estudo da série de Laurent 60
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1º Caso: se x = 0, a série será convergente em e terá raio R = 0, divergindo 
nos demais intervalos reais (Figura 1).
Figura 1. 1º caso.
2º Caso: se a série for convergente para todo x, o raio de convergência está 
compreendido no intervalo (Figura 2).
Figura 2. 2º caso.
3º Caso: um último caso, e mais comum, são aqueles nos quais o intervalo 
de convergência será pequeno e bem defi nido.
Nesse caso, dado um , o raio de convergência estará compreendido no 
intervalo , sendo divergente dos demais intervalos.
Figura 3. 3º caso.
61Estudo da série de Laurent
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Seja a série de potências dada pelo somatório , sabendo que a série 
é convergente para x = 7 e divergente para x = 0. Determine o raio de convergência 
e o comportamento da série em x = 2.
Solução:
Inicialmente, vamos determinar o centro, fazendo . Portanto, x 
= 4 é o centro. Se esse é o valor que zera todos os binômios, resultando apenas na 
constante, pelo 1º caso, podemos afirmar que a série é convergente em x = 4.
Pelo enunciado, podemos afirmar que o raio mínimo é 3, já que o centro está em 4 
e x = 7 é convergente. O raio máximo é 4, já que, em x = 0, a série é divergente.
Portanto, temos:
Dessa forma, a série é convergente em x = 2, tendo raio mínimo igual a 3 e máximo 
igual a 4.
Observação: em x = 1, a convergência não pode ser garantida. Para isso, precisaríamos 
de testes de convergência, os quais não podem ser aplicados na série genérica dada.
Séries de Laurent
Seja f uma função analítica em todos os pontos interiores de um círculo com 
centro e raio . Então, em cada ponto interior z de , a função f pode 
ser desenvolvida em série de potências de . Esse desenvolvimento é 
dado por:
 Estudo da série de Laurent 62
02996_Variaveis_Complexas.indb 62 21/03/2018 15:17:53
Essa série é denominada série de Taylor de f em .
Acesse os links abaixo para compreender melhor as séries de Laurent por meio das 
séries de Taylor (CANTÃO, 2018; O MATEMÁTICO, 2013; SASSE, 2012a): 
https://goo.gl/AEAqjx
https://goo.gl/chTZpG
https://goo.gl/ScbRWY
Para compreender melhor as séries de Laurent, vamos demonstrar um 
pequeno teorema.
Se z ≠ 1 é um número complexo, então temos que:
Como demonstração, considere a soma , vamos 
multiplicar a soma por z:
Agora faremos :
Colocando em evidência no 1º membro, temos , 
dividindo ambos os membros por (1 – z), temos:
63Estudo da série de Laurent
02996_Variaveis_Complexas.indb 63 21/03/2018 15:17:53
https://goo.gl/AEAqjx
https://goo.gl/chTZpG
https://goo.gl/ScbRWY
Agora, seja f uma função analítica em uma região anular . 
Então, para todo z nessa região, f(z) é representada por uma série de potências 
positivas e negativas de ,
 
Série de Laurent
onde:
sendo c um contorno fechado totalmente contido em e en-
volvendo uma vez no sentido positivo.
Encontre a série de Laurent para a função , na região anular 
, sendo a, b reais e b > a.
Solução:
Temos que:
para .
Tendo
 Estudo da série de Laurent 64
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Séries de Laurent de funções analíticas
Seja um anel A em um conjunto com as seguintes características:
onde e são tais que 
. Se f for uma função analítica cujo domínio contenha A, então é possível 
representar f(z), de maneira única, para cada , sob forma:
Os coeficientes da série de Laurent da função analítica f no anel A:
então,
Para ,
e
para .
Portanto, a série procurada é:
para .
65Estudo da série de Laurent
02996_Variaveis_Complexas.indb 65 21/03/2018 15:17:54
podem ser obtidos fazendo:
onde C é o caminho fechado com imagem no anel dado.
Figura 4. Anel.
ANEL: da Álgebra vem a definição
Seja A um conjunto com duas operações + e. Então (A, +, ·) é um anel se:
A1 ∀a, b, c ∈ A; (a + b) + c = a + (b + c). 
A2 ∀a, b ∈ A; a + b = b + a. 
A3 ∃0 ∈ A tal que a + 0 = a, ∀a ∈ A. 
A4 ∀a ∈ A ∃α ∈ A tal que a + α = 0. 
M1 ∀a, b, c ∈ A; (a · b) · c = a · (b · c). 
M2 ∀a, b ∈ A; a · b = b · a. 
M3 ∃1 ∈ A tal que a · 1 = a, ∀a ∈ A. 
AM ∀a, b, c ∈ A; a · (b + c) = a · b + z · c.
 Estudo da série de Laurent 66
02996_Variaveis_Complexas.indb 66 21/03/2018 15:17:54
Pontos singulares e resíduos
Ponto singular
Sejam um aberto conexo, uma função complexa e .
Dizemos que é um ponto singular de se, e somente se, ou 
não existe.
Ponto singular isolado 
Sejam um aberto conexo, uma função complexa e 
 um ponto singular de . Dizemos que é um ponto singular isolado 
se, e somente se, existe uma bola aberta de centro em tal que 
é o único ponto singular de que pertence a . Caso contrário, é 
dito um ponto singular não isolado.
Sendo um ponto singular isolado, interior, de f. Da definição de ponto 
singular isolado, existe uma vizinhança na qual f é analítica, exceto no próprio 
ponto , digamos . Então, nessa região, a função f pode ser 
representada pela série de Laurent. Essa região tem representação gráfica 
circular, com o seu contorno definido por um número complexo.
onde os coefi cientes são dados por:
e:
onde C é um contorno fechado contido em , envolvendo 
uma vez no sentido positivo.
No desenvolvimento acima, o coeficiente do termo é chamado 
de resíduo de f no ponto , e escrevemos .
67Estudo da série de Laurent
02996_Variaveis_Complexas.indb 67 21/03/2018 15:17:55
Há vários tipos de singularidades, como a singularidade isolada, em que 
um ponto p é uma singularidade isolada de f se não existe qualquer outro ponto 
isolado em alguma vizinhança de p, isto é, existe δ > 0 tal que o disco |z−p|<δ 
não possui nenhum ponto singular diferente de p. Também há a singularidade 
removível, em que um ponto singular p é uma singularidade removível de 
f(z) se existir o limite . Ou seja, o cálculo do limite de f tendendo ao 
ponto de singularidade nos dirá se a singularidade é ou não removível.
Considere a função . Determine o resíduo da f no ponto .
Solução:
Sendo , temos:
Como temos , então:
 Estudo da série de Laurent 68
02996_Variaveis_Complexas.indb 68 21/03/2018 15:17:55
As funções analíticas são as funções representáveis por séries de potências. Saiba mais 
em (MAGALHÃES, 2018; RAMOS, 2013; FUNÇÃO, 2017):
https://goo.gl/U1vpdU
https://goo.gl/hznDEp
https://goo.gl/8XW7pt
Assim, a série de Laurent é um modo simples de classificar uma singula-
ridade isolada. De fato, se é uma singularidade isolada de umafunção f, 
então, para algum r > 0, podemos escrever:
Para identificar uma singularidade removível, vamos escrever a série de 
Laurent de uma outra forma:
Dessa forma, não criamos uma substituição de variável . Sabemos que 
é uma singularidade de f se existir uma função analítica definida em um disco 
centrado em e que coincida com f a menos do ponto . Essa função g, por 
ser analítica, coincide com a sua série de Taylor centrada em :
que, abrindo o somatório, pode ser representada por:
O coeficiente de é resíduo da f no ponto singular . Portanto, 
.
69Estudo da série de Laurent
02996_Variaveis_Complexas.indb 69 21/03/2018 15:17:56
https://goo.gl/U1vpdU
https://goo.gl/hznDEp
https://goo.gl/8XW7pt
Então, podemos dizer que a série de Taylor é série de Laurent onde os 
coeficientes das potências negativas são todos nulos. Pela unicidade da série 
de Laurent, temos .
Portanto, é uma singularidade removível de f se, e somente se, todos 
os coeficientes das potências negativas da sua série de Laurent se anulam, e 
a série de Laurent de f se torna uma série de Taylor.
Veja, no link abaixo, um exercício resolvido do cálculo de uma integral complexa 
(SASSE, 2012b):
https://goo.gl/fYsncf
Acessando este outro link, você vai aprender mais sobre o teorema dos resíduos e 
a fórmula de Cauchy (IEEACADEMIC, 2014):
https://goo.gl/4bQMiY
 Estudo da série de Laurent 70
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https://goo.gl/fYsncf
https://goo.gl/4bQMiY
1. Qual é a série de Laurent de 
 em torno de e 
o seu domínio de convergência?
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
2. Encontre a série de Laurent de 
 em torno da origem.
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
3. Obtenha a série de Laurent 
para a função 
no domínio 
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
4. Qual é o valor da integral , 
onde C é o círculo , percorrido 
no sentido anti-horário?
a) .
b) .
c) 2.
d) .
e) 4.
5. Determine qual é a série de 
Laurent da função 
Determine qual é a série de 
 
em torno do ponto .
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
71Estudo da série de Laurent
02996_Variaveis_Complexas.indb 71 21/03/2018 15:17:57
CANTÃO, L. A. P. Séries 7: séries de Taylor e de Maclaurin. Sorocaba: Unesp, 2018. Dis-
ponível em: <http://www2.sorocaba.unesp.br/professor/luiza/CDI-III/series7.pdf>. 
Acesso em: 20 fev. 2018.
FUNÇÃO ANALÍTICA. Wikipédia, Flórida, 2017. Disponível em: <https://pt.wikipedia.
org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_anal%C3%ADtica>. Acesso em: 20 fev. 2018. 
IEEEACADEMIC PORTUGAL. O teorema dos resíduos e a fórmula de Cauchy. YouTube, 
2014. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=0LfPWqKF3uM>. Acesso 
em: 20 fev. 2018.
MAGALHÃES, L. T. Funções analíticas complexas. Lisboa: Instituto Superior Técnico, 
2018. Disponível em: <https://www.math.tecnico.ulisboa.pt/~lmagal/ACCap5.pdf>. 
Acesso em: 20 fev. 2018. 
O MATEMÁTICO. Grings - Série de Taylor e MacLaurin aula 12. YouTube, 2013. Disponível 
em: <https://www.youtube.com/watch?v=0dqWoZs3erM>. Acesso em: 20 fev. 2018.
RAMOS, P. Variáveis Complexas: funções analíticas. YouTube, 2013. Disponível em: 
<https://www.youtube.com/watch?v=bNdFLs0ZaSY>. Acesso em: 20 fev. 2018.
SASSE, F. D. Integral complexa e método de resíduos (I). YouTube, 2012b. Disponível 
em: <https://www.youtube.com/watch?v=OHie3KoujvI>. Acesso em: 20 fev. 2018.
SASSE, F. D. Série de Taylor. YouTube, 2012a. Disponível em: <https://www.youtube.
com/watch?v=n6ViNFTAfOs>. Acesso em: 20 fev. 2018.
Leituras recomendadas
JESUS, D. V. Aplicações do Teorema do Resíduo. 2007. 79 f. Trabalho de Conclusão de Curso 
(Licenciatura em Matemática) – Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 
2007. Disponível em: <https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/96550/
Daynitti.pdf?sequence=1>. Acesso em: 20 fev. 2018.
SERIES de Laurent. Aracaju: CESADUFS, 2018. Disponível em: <http://www.cesadufs.
com.br/ORBI/public/uploadCatalago/19154416022012Vari%C3%A1veis_Comple-
xas_10.pdf>. Acesso em: 20 fev. 2018.
SOBRE os Domínios de Convergência de Séries de Laurent de Funções Racionais. 
Campinas: Unicamp, 2018. Disponível em: <http://www.dca.fee.unicamp.br/~rafael/
ee400/laurent2.pdf>. Acesso em: 20 fev. 2018.
ZANI, S. L. Funções de uma variável complexa. São Paulo: USP, 2018. Disponível em: 
<http://conteudo.icmc.usp.br/pessoas/szani/complexa.pdf>. Acesso em: 20 fev. 2018.
 Estudo da série de Laurent 72
02996_Variaveis_Complexas.indb 72 21/03/2018 15:17:57
http://www2.sorocaba.unesp.br/professor/luiza/CDI-III/series7.pdf
https://pt.wikipedia/
https://www.youtube.com/watch?v=0LfPWqKF3uM
https://www.math.tecnico.ulisboa.pt/~lmagal/ACCap5.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=0dqWoZs3erM
https://www.youtube.com/watch?v=bNdFLs0ZaSY
https://www.youtube.com/watch?v=OHie3KoujvI
https://www.youtube/
https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/96550/
http://www.cesadufs/
http://com.br/ORBI/public/uploadCatalago/19154416022012Vari%C3%A1veis_Comple-
http://www.dca.fee.unicamp.br/~rafael/
http://conteudo.icmc.usp.br/pessoas/szani/complexa.pdf
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esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
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