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1 Faculdade Boa Viagem, FBV DeVry Á L G E B R A L I N E A R Professor Julierme Gomes Correia de Oliveira, DSc. joliveira20@fbv.edu.br Faculdade Boa Viagem Introdução: A Álgebra Linear é a área de estudo da Matemática que institui as relações existentes entre a álgebra vetorial e a álgebra matricial. As matrizes só tiveram sua importância definitivamente apresentada a pouco mais de 150 anos com a famosa publicação no Philosophical Transactions of the Royal Society of London do matemático Arthur Cayley intitulada como “Memoir on the Theory of Matrices” (1858). Neste trabalho, Cayley foi primeiro a utilizar o termo Matriz em publicações científicas. Até então estes conjuntos de elementos numéricos eram chamados de “tableau”, termo adotado pelo matemático francês Augustin-Louis Cauchy nos estudos sobre os determinantes em torno de 1830. Apesar de Cayley ter sido o pioneiro no uso formal do termo Matriz, deve-se a sua autoria ao matemático inglês Joseph Sylvester Roman. Sylvester foi inspirado pelo significado coloquial da palavra Matriz na língua inglesa, que em tradução livre é: “local onde algo é gerado ou criado”. Esta inspiração é resultado dos trabalhos de Cauchy para os determinantes. Sylvester entendeu que um “tableau” é um bloco retangular de termos na qual se pode gerar ou criar vários sistemas de determinantes. Cayley foi quem ampliou o conceito de Matriz além das aplicações restritas ao estudo dos determinantes. Ementa: As ferramentas da álgebra linear permitem tratar problemas de forma concisa e precisa, buscando desenvolver a capacidade de aplicar os conhecimentos básicos sobre matrizes e álgebra matricial na solução de sistemas lineares, espaços vetoriais e transformações lineares. Utiliza também conceitos de autovalores e autovetores no estudo de problemas matemáticos aplicados à física e engenharia. Conteúdos: Unidade 1 – Matrizes e Determinantes: 1.1. Definição; 1.2. Tipos de Matrizes; 1.3. Operações; 1.4. Propriedades; 1.5. Conceito; 1.6. Operações; 1.7. Propriedades; Unidade 2 - Sistemas Lineares: 2.1. Equação Linear; 2.2. Sistemas de Equações Lineares; 2.3. Solução de um sistema linear; 2.4. Sistema compatível: determinado e indeterminado; 2.5. Sistema incompatível; 2.6. Operações elementares; 2.7. Sistemas equivalentes; 2.8. Sistema linear homogêneo; 2.9. Estudo e solução dos sistemas de equações lineares; 2.10. Escalonamento de sistemas lineares e métodos de Gauss; 2.11. A regra de Cramer; 2.12. Aplicações; Álgebra Linear Prof. Julierme Oliveira, DSc. 2 Faculdade Boa Viagem, FBV DeVry Unidade 3 - Espaços Vetoriais: 3.1. Definição; 3.2. Propriedades dos espaços vetoriais; 3.3. Subespaços vetoriais; 3.4. Combinações lineares; 3.5. Geradores de um espaço vetorial; 3.6. Somas de subespaços; 3.7. Soma direta; 3.8. Dependência e independência linear; 3.9. Base e dimensão; 3.10. Coordenadas; 3.11. Mudança de base; Unidade 4 - Transformações Lineares: 4.1. Definição; 4.2. Propriedades das transformações lineares; 4.3. Imagem; 4.4. Núcleo; 4.5. Matriz de uma transformação linear; 4.6. Operações com transformações lineares; Unidade 5 - Autovalor e Autovetor: 5.1. Definição; 5.2. Propriedades. Sobre este material: Este material apresenta uma lista com 211 exercícios recomentados para a disciplina de álgebra linear. Os exercícios estão separados por unidades (1 a 6) e também por tipo de questões (teóricas, de fixação e problemas). É recomendado também resolver os exercícios contidos nas bibliografias recomendadas. Bibliografia recomendada: 1. BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra Linear. São Paulo: Harbra, 1986. 2. CALLIOLI, Carlos A. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, 1990. 3. STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear. São Paulo: Makron Books, 1987. 4. LEON, Steven J. Álgebra linear com aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 1998. 5. LIPSCHUTZ, Seymour. Álgebra Linear. São Paulo: Makron Books, 1994. 6. SHOKRANIAN, S. Uma introdução à álgebra linear. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2009. 7. ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. São Paulo: Bookman, 2001. 8. BLOCH, S. C. Excel para engenheiros e cientistas. Rio de Janeiro: LTC, 2004. Álgebra Linear Prof. Julierme Oliveira, DSc. 3 Faculdade Boa Viagem, FBV DeVry UNIDADE 1: MATRIZES e DETERMINANTES PARTE 1.1: Questões teóricas T1.01: Escreva a matriz 𝑀 na qual: 𝑀𝑚×𝑛 = [𝑒𝑖𝑗] onde { 𝑖) 𝑚 = 6; 𝑖𝑖) 𝑛 = 𝑚; 𝑖𝑖𝑖) 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗, 𝑒𝑖𝑗 = 0; 𝑖𝑣) 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗, 𝑒𝑖𝑗 = 1; 𝑣) 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗, 𝑒𝑖𝑗 = −1; T1.02: Escreva a matriz 𝑀 na qual: 𝑀𝑚×𝑛 = [𝑒𝑖𝑗] onde { 𝑖) 𝑚 = 9; 𝑖𝑖) 𝑛 = 5; 𝑖𝑖𝑖) 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗, 𝑒𝑖𝑗 = 𝑗; 𝑖𝑣) 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗, 𝑒𝑖𝑗 = 0; 𝑣) 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗, 𝑒𝑖𝑗 = 𝑖 + 1; T1.03: Escreva a matriz 𝑀 na qual: 𝑀𝑚×𝑛 = [𝑒𝑖𝑗] onde { 𝑖) 𝑚 = 12; 𝑖𝑖) 𝑛 = 15; 𝑖𝑖𝑖) 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗, 𝑒𝑖𝑗 = 𝑖 − 2; 𝑖𝑣) 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗, 𝑒𝑖𝑗 = 𝑖 + 𝑗; 𝑣) 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗, 𝑒𝑖𝑗 = 𝑖 − 𝑗; T1.04: Se M é uma matriz simétrica, é possível afirmar que M – MT é uma matriz nula? T1.05: Se M é uma matriz triangular superior, é possível afirmar que M T é uma matriz triangular inferior? T1.06: Se uma matriz “M” com três linhas e cinco colunas. Se o resultado da multiplicação de “M” por uma matriz “N” resulta em uma matriz de três linhas e sete colunas, qual é a dimensão de “N”? T1.07: Se uma matriz “M” com três linhas e cinco colunas. Se o resultado da multiplicação de uma matriz “N” por “M” resulta em uma matriz de duas linhas e cinco colunas, qual é a dimensão de “N”? T1.08: Se D é uma matriz diagonal, é possível afirmar que D = D T ? T1.09: Se T é uma matriz triangular superior, que tipo de matriz é T²? T1.10: Seja uma matriz M. É possível afirmar que ( ─ M) T = ─ (MT)? T1.11: Sejam as matrizes M e N compatíveis para a soma. É Possível afirmar que (M + N) T = M T + N T ? T1.12: Seja uma matriz M. Se pudermos efetuar o produto M·M, então M obrigatoriamente será uma matriz quadrada? T1.13: Sejam as matrizes M e N compatíveis para a multiplicação matricial. Sejam também dois números reais m e n. É possível afirmar que (𝑚 ∙ 𝑀) × (𝑛 ∙ 𝑁) = 𝑚 ∙ 𝑛(𝑀 × 𝑁)? T1.14: Sejam as matrizes M e N compatíveis para a multiplicação matricial. É possível afirmar que ( ─ 𝑀) × ( ─ 𝑁) = ─ (𝑀 × 𝑁)? T1.15: Suponha que existe uma matriz quadrada A não nula onde 𝑀 × 𝐴 = 𝑀 × 𝐵. É possível afirmar que 𝐴 = 𝐵? Justifique sua resposta por meio de uma demonstração. T1.16: Seja uma matriz quadrada M. Se 𝑑𝑒𝑡(𝑀) = 1, estão podemos afirmar que 𝑀─1 = 𝑀? Álgebra Linear Prof. Julierme Oliveira, DSc. 4 Faculdade Boa Viagem, FBV DeVry T1.17: Se M é uma matriz triangular superior com 𝑑𝑒𝑡(𝑀) ≠ 0, então M─1 também será uma matriz triangular superior? T1.18: Se uma matriz M é quadrada e de ordem n, o seu posto terá valor n se, e somente se, M admitir inversa? T1.19: Sejam duas matrizes M e N com 𝑑𝑒𝑡(𝑀) ≠ 0 e 𝑑𝑒𝑡(𝑁) ≠ 0, então podemos afirmar que (𝐴 × 𝐵)−1 = 𝐴−1 × 𝐵−1? T1.20: Se M é uma matriz inversível, então a inversa da matriz inversa de M é a própria matriz M, ou seja, (𝑀−1)−1 = 𝑀? T1.21: Se uma matriz M pode ser escalonada até se transformar na sua matriz identidade associada, então esta matriz M necessariamente é inversível? PARTE 1.2: Exercícios de Fixação E1.01: Sejam as matrizes: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 1 4 1 0 2 3 3 12 1 ; ; ; ; ; ; 3 4 0 2 1 1 1 1 2 2 0 1 4 1 7 0 1 1 4 1 ; ; ; 0 1 3 ; 3 2 1 5 2 5 3 0 1 0 2 M M M M M M M M M M Executar as operações: a) ─ 2 M1 b) M2 T c) M1 + M2 T d) M3 ─ 2 M4 e) 3 M5 ─ M6 f) M3 + M7 g) ─ 3 M8 + 2 M9 h) 3 M7 ─ I i) M10 ─ 5I E1.02: Sejam as matrizes: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 7 1 4 1 0 2 3 3 1 2 1 ; ; 2 ; ; ; ; ; 3 4 0 2 1 1 1 1 2 4 7 0 1 1 4 1 1 2 3 2 0 1 1 1 0 ; ; ; ; ; 1 5 2 5 3 0 2 1 1 3 0 1 0 3 2 M M M M M M M M M M M M 13 14 15 16 17 1 3 3 4 1 0 4 5 3 2 0 1 0 4 ; 5 0 ; 4 0 ; 5 7 2 ; 0 1 3 2 1 1 2 5 2 3 2 1 1 0 2 M M M M M Quando possível, executar as operações: a) M1 x M2 b) M3 x M2 c) M5 x M4 d) M4 x M6 e) M8 x M3 f) M3 x M9 g) M5 x M10 h) M12 x M7 i) M3 x M13 j) M14 x M12 k) M14 x M13 l) M12 x M13 m) M8 x M15 n) M16 x M17 o) M3 x M17 p) M10 x M11 q) M11 x M15 r) M16 x M3 s) M9 x M17 t) M16 x M10 u) M15 x M17 E1.03: Sejam as matrizes: 1 2 3 4 5 6 1 1 0 2 3 3 1 7 0 1 1 4 1 2 ; ; ; ; ; ; 2 1 1 1 1 2 1 5 2 5 3 0 4 M M M M M M Álgebra Linear Prof. Julierme Oliveira, DSc. 5 Faculdade Boa Viagem, FBV DeVry 7 8 9 10 11 12 1 3 3 4 4 5 3 2 0 1 2 0 1 1 1 0 ; ; 0 4 ; 5 0 ; 5 7 2 ; 0 1 3 ; 3 0 1 0 3 2 2 1 1 2 3 2 1 1 0 2 M M M M M M Quando possível, executar as operações: a) (M7 x M9) x M2 b) M12 T x M1 c) M11 x M11 T d) M11 x(M10 x M6) e) (3I) x M12 f) (M10 T ) x M10 g) {[2M3 x ( ─ 3M4 T )] x M8 T } + 25M5 h) M7 x ( M11 + M12 T ) x M9 E1.04: Sejam as matrizes: 1 2 3 4 5 6 7 3 7 9 5 6 4 7 1 1 2 4 0 2 ; ; 0 4 3 ; 4 5 3 ; 4 3 0 ; 1 3 5 9 3 4 2 4 4 1 5 2 8 4 0 7 3 5 1 2 5 2 0 0 2 0 0 2 8 6 3 ; 7 3 6 4 2 6 7 5 5 0 4 4 M M M M M M M 8 5 0 5 2 3 0 0 9 1 2 Calcule os determinantes os postos e as nulidades das matrizes M1, M2, M3, M4, M5, M6, M7: a) det (M1), p1, N1 b) det (M2), p2, N2 c) det (M3), p3, N3 d) det (M4), p4, N4 e) det (M5), p5, N5 f) det (M6), p6, N6 g) det (M7), p7, N7 E1.05: Sejam as matrizes: 1 2 3 4 5 6 1 3 2 2 4 3 2 7 1 2 2 ; 2 3 2 ; 3 1 2 ; 4 3 0 ; 5 8 5 6 8 1 4 1 2 4 1 6 3 2 4 0 1 2 5 2 9 0 4 1 0 2 6 7 5 ; 8 5 6 7 1 0 0 3 0 3 0 0 0 0 5 0 4 4 4 2 3 2 0 M M M M M M Encontre as matrizes de cofatores e alguma matriz na forma escada para: a)M1, b)M2, c)M3 d)M4, e) M5. E1.06: Sejam as matrizes: 1 2 3 4 5 3 5 8 4 2 3 4 4 3 0 1 3 5 7 4 0 2 3 7 ; 4 0 5 ; 6 5 2 ; 2 1 1 ; 9 3 0 0 1 5 5 1 6 9 7 3 3 4 2 0 0 0 2 M M M M M Encontre as matrizes Adjuntas e alguma matriz na forma condensada para: a)M1, b)M2, c)M3 d)M4, e) M5. E1.07: Sejam as matrizes: 1 2 3 4 5 6 4 0 0 0 9 2 2 5 2 4 8 1 6 6 4 1 3 7 1 0 0 ; ; 1 4 0 ; 0 3 5 ; 4 0 3 ; 5 2 2 4 2 6 3 0 0 5 1 2 4 7 3 2 5 5 8 4 3 M M M M M M Encontre as matrizes inversas: a) M1 -1 b) M2 -1 c) M3 -1 d) M4 -1 e) M5 -1 f) M6 -1 Álgebra Linear Prof. Julierme Oliveira, DSc. 6 Faculdade Boa Viagem, FBV DeVry E1.08: Sabendo que det 7 a b c d e f g h i , calcule: a) det 5 5 5 a b c d e f g h i c) det a b c g h i d e f e) det 2 2 2 a b c d a e b f c g h i b) det 3 3 3 a b c d e f g h i d) det g h i a b c d e f f) det a d b e c f d e f g h i E1.09: Encontre o valor de x nas equações: a) 22 0 det 0 1 4 9 1 1 1 x x b) 21 1 2 det 2 3 det 10 1 5 x x x x x x c) 2 4 3 2 1 5 6det det 1 0 2 8 x + = det 0 2 4 3 1 3 5 det det 3 7 1 4 2 1 2 d) 2 3 4 6 2 1 5 3det det 2 8 3 5 x + x = det 2 2 4 6 4 2 1 det det 3 7 1 2 1 7 2 E1.10: Seja a Matriz M: 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 a b M a) Se "a=0" e "b=0", qual o valor do determinante de M? b) Se "a=1" e "b=0", qual o valor do determinante de M? c) Se "a=0" e"b=1" , qual o valor do determinante de M? d) Se "a=1" e "b=1", qual o valor do determinante de M? e) O que é necessário para que M esteja na forma escada? f) O que é necessário para que M esteja na forma condensada? g) Para as condições da letra “f”, encontre a forma escalonada de M; E1.11: Seja a matriz A: a) Calcule det(A); b) Encontre uma forma escada para A; c) Encontre a forma escalonada para A; d) Determine Adj(A); e) Determine A-1; Álgebra Linear Prof. Julierme Oliveira, DSc. 7 Faculdade Boa Viagem, FBV DeVry PARTE 1.3: Problemas P1.01: Seja 22 2 1 0 x M x , calcule o valor de x para que M = M T . P1.02: Sejam 3 4 5 1 A e 7 4 5 B k . Quais os valores de k para que A x B = B x A. P1.03: Sejam 1 2 3 6 A , 3 8 2 3 B e 5 2 1 2 C . Verifique que A x B = A x C, apesar de B ≠ C. P1.04: Se A é uma matriz quadrada, então A 2 = AxA. Assumindo que esta sentença é verdadeira, calcule 2 2 1 3 2 . P1.05: Seja a matriz 5 2 2 7 1 3 4 8 6 x x M , calcule o valor de x para que 𝑑𝑒𝑡(𝑀) = 240. P1.06: Sejam as matrizes 1 1 2 3 1 5 x M x x e 2 2 10 x x N x . Calcule o valor de x para que 𝑑𝑒𝑡(𝑀) = 𝑑𝑒𝑡(𝑁). P1.07: Em 2015, o IBGE realizou uma pesquisa com um grupo de crianças do estado de Pernambuco e concluiu que o peso médio, em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz: 1 1 1 3 0 20 2 3 M x Sabendo que a variável “x” representa a idade: a) Em que ano teria nascido uma criança cujo peso é 30 kg? b) Qual é o peso médio de uma criança que nasceu em 2010? P1.08: Uma maneira de codificar uma mensagem é através de multiplicação por matrizes. Podemos associar as letras do alfabeto aos números, ou seja: 0 = _ 1 = A 2 = B 3 = C 4 = D 5 = E 6 = F 7 = G 8 = H 9 = I 10 = J 11 = L 12 = M 13 = N 14 = O 15 = P 16 = Q 17 = R 18 = S 19 = T 20 = U 21 = V 22 = X 23 = Z Suponhamos que a nossa mensagem seja “Boa Prova". Podemos formar a matriz _ B O A P R O V A e usar sua correspondência numérica 2 14 1 0 15 17 14 21 1 M . Considere agora a matriz 1 0 1 1 3 1 0 1 1 C . Se nós multiplicarmos a matriz mensagem (M) pela matriz C, obtemos uma terceira matriz 12 43 17 15 62 32 7 64 36 A M C . Então, a matriz A é enviada como mensagem. Quem recebe a mensagem pode decodificar fazendo uso da matriz inversa de C, ou seja, 1 1A C M C C M . Posteriormente, é realizada a transcrição dos números para letras. Esta matriz C é chamada Matriz Chave para o código. Suponha que você recebeu o código 15 50 20 11 23 28 10 71 42 , utilizando a chave C, qual é a mensagem recebida? Álgebra Linear Prof. Julierme Oliveira, DSc. 8 Faculdade Boa Viagem, FBV DeVry P1.09: O somatório de todos os elementos da diagonal de uma matriz é conhecido como traço. Seja a matriz 𝑀𝑚×𝑛 = [𝑒𝑖𝑗] onde { 𝑖) 𝑚 = 𝑛; 𝑖𝑖) ∀ 𝑒𝑖𝑗 = 2 −(𝑖+𝑗); Se 𝑚 tende a um número muito grande, qual será o valor aproximado do traço de 𝑀? P1.10: Seja a matriz 2 4 0 8 0 0 m n M m m n , quais os valores de 𝑚 e 𝑛 que tornam o seu traço igual a 10 e o seu determinante igual a 30? P1.11: Seja a matriz 1 0 0 2 0 3 M p m p p n , quais os valores de 𝑚, 𝑛 e 𝑝 que tornam o seu traço igual a 9 e o seu determinante igual a 15? Álgebra Linear Prof. Julierme Oliveira, DSc. 9 Faculdade Boa Viagem, FBV DeVry UNIDADE 2: SISTEMAS DE EQUAÇÕES LIEARES PARTE 2.1: Questões teóricas T2.01: A respeito do sistema de equações lineares formado pelas equações: 𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 + 3𝑥4 − 7𝑥5 = 14, 2𝑥1 + 6𝑥2 + 𝑥3 − 2𝑥4 + 5𝑥5 = −2 e 𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 + 2𝑥5 = −1. Qual é o seu grau de liberdade e o que ele representa? T2.02: A respeito do sistema de equações lineares formado pelas equações: 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0, −2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 0 e 𝑥 + 𝑧 = 0. É possível classificar este SEL como SPD, SPI ou SI sem utilizar nenhum método de resolução? Justifique sua resposta. T2.03:. A respeito do sistema de equações lineares formado pelas equações: 𝑥 + 𝛼𝑦 + 2𝑧 = 0, −𝑥 + 𝛼𝑦 + 3𝑧 = 0 e 4𝑥 + 6𝑦 + 𝛼𝑧 = 0, onde “α” é um número real. a) Quais as condições para o sistema ser SPD? b) Quais as condições para o sistema ser SPI? c) Quais as condições para o sistema ser SI? T2.04: A respeito do sistema de equações lineares formado pelas equações: 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4 e −𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 2. a) É correto afirmar que cada equação deste sistema representa uma reta em R3? b) É correto afirmar que a solução deste sistema representa uma reta em R 3 ? c) A solução deste sistema pode ser representada pela equação (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,3/2,0) + 𝑛(−1, 0, 1)? T2.05: A respeito do sistema de equações lineares formado pelas equações: 2𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 = 1, 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 2 e 3𝑥 + 𝑦 − 𝑝𝑧 = 𝑞, onde “p” e “q” são números reais. a) Quais as condições para o sistema ser SPD? b) Quais as condições para o sistema ser SPI? c) Quais as condições para o sistema ser SI? PARTE 2.2: Exercícios de Fixação E2.01: Seja o sistema de equações lineares 2 3 11 4 3 2 0 6 3 4 x y z x y z x y z x y z ; a) Escreva este sistema na forma matricial; b) Resolva pelo método de eliminação de Gauss; c) Resolva pelo método de eliminação de Gauss-Jordan; d) Calcule o posto e o grau de liberdade da matriz de coeficientes; e) Calcule o posto e o grau de liberdade da matriz ampliada; f) Classifique o Sistema como SPD, SPI ou SI. E2.02: Seja o sistema de equações lineares 2 2 3 2 4 2 3 3 1 y x y x y x y ; a) Escreva este sistema na forma matricial; b) Resolva pelo método de eliminação de Gauss; c) Resolva pelo método de eliminação de Gauss-Jordan; d) Calcule o posto e o grau de liberdade da matriz de coeficientes; e) Calcule o posto e o grau de liberdade da matriz ampliada; f) Classifique o Sistema como SPD, SPI ou SI. E2.03: Seja o sistema de equações lineares 3 2 2 4 3 2 3 2 1 y z x y z x y z ; a) É possível resolver este sistema utilizando o método de Cramer? b) Resolva pelo método de eliminação de Gauss; c) Resolva pelo método de eliminação de Gauss-Jordan; d) Calcule o posto e o grau de liberdade da matriz de coeficientes; e) Calcule o posto e o grau de liberdade da matriz ampliada; f) Classifique o Sistema como SPD, SPI ou SI. Álgebra Linear Prof. Julierme Oliveira, DSc. 10 Faculdade Boa Viagem, FBV DeVry E2.04: Seja o sistema de equações lineares 3 5 1 2 3 5 0 x y x z x y z ; a) Encontre a solução com o método de Cramer pela matriz inversa; b) Encontre a solução com o método de Cramer pelo determinante; c) Resolva pelo método de eliminação de Gauss; d) Resolva pelo método de eliminação de Gauss-Jordan; e) Calcule o posto e o grau de liberdade da matriz de coeficientes; f) Calcule o posto e o grau de liberdade da matriz ampliada; g) Classifique o Sistema como SPD, SPI ou SI. E2.05: Seja o sistema de equações lineares 2 3 1 2 2 3 3 2 3 x y z x y z x y z ; a) Encontre a solução com o método de Cramer pela matriz inversa; b) Encontre a solução com o método de Cramer pelo determinante; c) Resolva pelo método de eliminação de Gauss; d) Resolva pelo método de eliminação de Gauss-Jordan; e) Calcule o posto e o grau de liberdade da matriz de coeficientes; f) Calcule o posto e o grau de liberdade da matriz ampliada; g) Classifique o Sistema como SPD, SPI ou SI. E2.06: Seja o sistema de equações lineares 2 3 3 5 3 5 x y z y z x y z ; a) Encontre a solução com o método de Cramer pela matriz inversa; b) Encontre a solução com o método de Cramer pelo determinante; c) Resolva pelo método de eliminação de Gauss; d) Resolva pelo método de eliminação de Gauss-Jordan; e) Calcule o posto e o grau de liberdade da matriz de coeficientes; f) Calcule o posto e o grau de liberdade da matriz ampliada; g) Classifique o Sistema como SPD, SPI ou SI. E2.07: Sejam os SEL abaixo. Encontre seus graus de liberdade: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 ) 2 3 1 2 3 0 ) 2 5 6 0 4 ) 2 5 2 3 0 4 ) 4 ) 2 5 2 3 7 7 5 a x x x x x y z d x y z x y z b x y z x x x x x x x x ex y zx x x x c x y z x y z 1 2 3 4 2 3 0 ) 2 3 0 3 2 0 3 2 4 1 3 ) 4 3 3 2 3 3 5 0 1 x y z f x y z x y z x y z x y z g x y z x x x x x y z x y z PARTE 2.3: Problemas P2.01: Quais os valores de X, Y, Z e W para que 2 3 1 0 3 4 0 1 X Y Z W ? P2.02: Determine o valor de 𝑘 para que o sistema seja possível: 4 3 2 5 4 0 2 x y x y x y k Álgebra Linear Prof. Julierme Oliveira, DSc. 11 Faculdade Boa Viagem, FBV DeVry P2.03: Na região central de uma grande cidade, dois conjuntos de ruas de mão única se interceptam em quatro cruzamentos conforme a figura. O volume horário de tráfego entrando e saindo de cada região pode ser realizado através de um balanço unitário de carros que entram e saem de um determinado cruzamento. Por meio destas informações, calcule a quantidade de carros que saem do cruzamento “A” na direção oeste. P2.04: Um engenheiro de alimentos realizou uma análise nutricional em três tipos de ingredientes. Cada grama do primeiro apresentava 1mg de vitamina A, 3 mg vitamina B e 4 mg de vitamina C. Cada grama do segundo apresentava 2 mg de vitamina A, 3 mg de vitamina B e 5 mg de vitamina C. Por fim, cada grama do terceiro apresentava 3 mg de vitamina A, 3 mg de vitamina C e não apresentava vitamina B. O objetivo deste estudo era preparar um alimento rico em vitaminas A, B e C com proporções exatas de 11:9:20, respectivamente. Este engenheiro conseguirá elaborar este alimento? P2.05: Um nutricionista está planejando uma refeição que forneça determinadas quantidades de vitamina C, cálcio e magnésio. Três ingredientes serão utilizados: o primeiro alimento apresenta 10 mg de vitamina C, 50 mg de cálcio e 30 mg de Magnésio; O segundo alimento apresenta 20 mg de vitamina C, 40 mg de cálcio e 10 mg de Magnésio; O terceiro alimento apresenta 30 mg de vitamina C, 10 mg de cálcio e 40 mg de Magnésio. Sabendo que as exigências nutritivas da dieta são de 100 mg de vitamina C, 300 mg de cálcio e 200 mg de Magnésio, qual a quantidade de cada alimento dever ser utilizado na receita? P2.06: Um problema clássico de engenharia é o estudo do equilíbrio de energia térmica entre corpos. Imagine uma placa delgada e homogênea de metal de coeficiente de dilatação desprezível e que as temperaturas das bordas sejam conhecidas. Suponha que T1, T2, T3 e T4 sejam as temperaturas dos quatro vértices internos da placa e que cada uma destas temperaturas seja igual à média das quatro temperaturas mais próximas (direita, esquerda, acima e abaixo). Calcule o valor destas temperaturas. P2.07: O balanceamento de equações químicas consiste em igualar o número de elementos do produto em relação aos reagentes. Numa equação química é necessário verificar o número de átomos de cada elemento é o mesmo em ambos os lados da equação. Com base nestas informações, quais os valores de 𝛼, 𝛽 e 𝛾 para que a reação 𝛼 ∙ 𝑁2𝑂5 → 𝛽 ∙ 𝑁𝑂2 + 𝛾 ∙ 𝑂2 seja balanceada. P2.08: O ácido fluorídrico (HF) é conhecido pela sua potencialidade de dissolver silicatos, como o dióxido de silício (SiO2), principal componente do vidro. Esta propriedade é bastante utilizada na indústria desde o início da revolução industrial do século XVII. Um engenheiro químico precisa desenvolver um processo industrial de customização de peças vítreas por meio da reação com ácido fluorídrico: 𝛼 ∙ 𝐻𝐹 + 𝛽 ∙ 𝑆𝑖𝑂2 → 𝛾 ∙ 𝑆𝑖𝐹4 + 𝜔 ∙ 𝐻2𝑂. Quais os valores de 𝛼, 𝛽, 𝛾 e 𝜔 que relacionam reagentes e produtos desta reação? P2.09: Duas tribos indígenas, Bararana e Camari, estão situadas em uma região isolada da floresta amazônica. Por tradição, os casamentos são realizados apenas entre índios de tribos diferentes, onde as índias são incorporadas pela tribo do marido. Em um determinado ano, a tribo Bararana tinha uma população de 2000 índios enquanto que a tribo Camari, 1500 índios. Nos últimos anos, a taxa de mortalidade e natalidade das duas tribos foi equivalente, tornando a população total destas tribos constante em 3500 índios. Se 15% dos Bararana se tornaram Camari e 20% dos Camari se tornaram Bararana constantemente ao longo dos anos, qual a população de cada tribo quando os casamentos passaram a não mais influenciar no número de habitantes de cada tribo? Álgebra Linear Prof. Julierme Oliveira, DSc. 12 Faculdade Boa Viagem, FBV DeVry UNIDADE 3: ESPAÇOS VETORIAIS PARTE 3.1: Questões teóricas T3.01: Seja W o espaço vetorial das matrizes de 2 linhas e 3 colunas. Qual é o elemento nulo de W? T3.02: Seja W o espaço vetorial dos polinômios de ordem 5. Qual seria a dimensão de W? T3.03: Seja W o espaço vetorial do R 4 . Qual seria a base canônica de W? T3.04: Sejam v = (a, b) e w = (c, d) vetores do R². Mostre que v e w são LD se e somente se Se ad – bc = 0. T3.05: Sejam u = (a1, b1,c1), v = (a2, b2,c2) e w = (a3, b3,c3) vetores do R³. O que é necessário para que eles sejam LI? T3.06: Seja 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅3 / 𝑥, 𝑦 𝑒 𝑧 ∈ 𝑅}. Mostre que W é um espaço vetorial. T3.07: Seja 𝑊 = {[𝑎𝑖𝑗] ∈ 𝑀2𝑥1 / ∀𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝑅}. Mostre que W é um espaço vetorial. T3.08: Seja 𝑊 = {𝑎0 + 𝑎1 ∙ 𝑥 + 𝑎2 ∙ 𝑥 2 ∈ 𝑃2/ 𝑎0, 𝑎1 𝑒 𝑎2 ∈ 𝑅}. Mostre que W é um espaço vetorial. T3.09: Seja 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅3 / 𝑦 = 0 𝑒 𝑥 = 𝑧}. Mostre que W é um subespaço vetorial. T3.10: Seja 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑅3 / 𝑦 = 2𝑥 𝑒 𝑧 = 3𝑥}. Mostre que W é um subespaço vetorial. T3.11: Seja 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) ∈ 𝑅4 / 𝑥 + 𝑦 = 0 𝑒 𝑧 − 𝑡 = 0}. Mostre que W é um subespaço vetorial. T3.12: Seja 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) ∈ 𝑅4 / 2𝑥 + 𝑦– 𝑡 = 0 𝑒 𝑧 = 0}. Mostre que W é um subespaço vetorial. T3.13: Seja 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑡) 𝑅5 / 𝑦 = 𝑥, 𝑧 = 𝑥, 𝑤 = 0; 𝑡 = 𝑥}. Mostre que W é um subespaço vetorial. T3.14: Seja 𝑊 = {[ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ] ∈ 𝑀2𝑥2 / 𝑏 = 𝑐}. Mostre que W é um subespaço vetorial. T3.15: Seja 𝑊 = {[ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ] ∈ 𝑀2𝑥2 / 𝑏 = 𝑐 + 1}. Mostre que W não é um subespaço vetorial. T3.16: Seja 𝑊 = {[𝑎𝑖𝑗] ∈ 𝑀2𝑥2 / 𝑎11 ∙ 𝑎22 = 0}. Mostre que W não é um subespaço vetorial. T3.17: Seja 𝑊 = {[𝑎𝑖𝑗] ∈ 𝑀2𝑥2 / 𝑎12 = 𝑎11 + 𝑎22 𝑒 𝑎21 = 𝑎11}. Mostre que W é um subespaço vetorial. T3.18: Seja 𝑊 = {[𝑎𝑖𝑗] ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛 / 𝑚 = 𝑛 = 4 𝑒 ∀𝑎𝑖𝑗 = 0 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗}. Mostre que W é um subespaço vetorial. T3.19: Seja 𝑊 = {𝑎0 + 𝑎1 ∙ 𝑥 + 𝑎2 ∙ 𝑥 2 + 𝑎3 ∙ 𝑥 3 ∈ 𝑃3 / 𝑎0 = 𝑎3 = 0}. Mostre que W é um subespaço vetorial. T3.20: Seja 𝑊 = {∑𝑎𝑖𝑥 𝑖 𝑃 5/ 𝑎0 = 0, 𝑎4 = 0 𝑒 ∀ 𝑎𝑗 = 𝑎𝑘 𝑠𝑒 𝑗 = 1, 3 𝑜𝑢 5 𝑒 𝑘 = 1, 3 𝑜𝑢 5}. Mostre que W é um subespaço vetorial. PARTE 3.2: Exercícios de Fixação E3.01: Seja o subespaço vetorial 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅3 / 𝑦 = 0 𝑒 𝑥 = 𝑧}. Encontre sua base e dimensão. E3.02: Seja o subespaço vetorial 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑅3 / 𝑦 = 2𝑥 𝑒 𝑧 = 3𝑥}. Encontre sua base e dimensão. E3.03: Seja o subespaço vetorial 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ 𝑅4 / 𝑥 + 𝑦 = 0 𝑒 𝑧 − 𝑡 = 0}. Encontre sua base e dimensão. E3.04: Seja o subespaço vetorial 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ 𝑅4 / 2𝑥 + 𝑦– 𝑡 = 0 𝑒 𝑧 = 0}. Encontre sua base e dimensão. Álgebra Linear Prof. Julierme Oliveira, DSc. 13 Faculdade Boa Viagem, FBV DeVry E3.05: Seja o subespaço vetorial 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑡) 𝑅5 / 𝑦 = 𝑥, 𝑧 = 𝑥, 𝑤 = 0; 𝑡 = 𝑥}.Encontre sua base e dimensão. E3.06: Seja o subespaço vetorial 𝑊 = {[ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ] ∈ 𝑀2𝑥2 / 𝑏 = 𝑐}. Encontre sua base e dimensão. E3.07: Seja o subespaço vetorial 𝑊 = {[𝑎𝑖𝑗] ∈ 𝑀2𝑥2 / 𝑎12 = 𝑎11 + 𝑎22 𝑒 𝑎21 = 𝑎11}. Encontre sua base e dimensão. E3.08: Seja o subespaço vetorial 𝑊 = {[𝑎𝑖𝑗] ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛 / 𝑚 = 𝑛 = 4 𝑒 ∀𝑎𝑖𝑗 = 0 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗}. Encontre sua base e dimensão. E3.09: Seja o subespaço vetorial 𝑊 = {𝑎0 + 𝑎1 ∙ 𝑥 + 𝑎2 ∙ 𝑥 2 + 𝑎3 ∙ 𝑥 3 ∈ 𝑃3 / 𝑎0 = 𝑎3 = 0}. Encontre sua base e dimensão. E3.10: Seja o subespaço vetorial 𝑊 = {∑𝑎𝑖𝑥 𝑖 𝑃 5/ 𝑎0 = 0, 𝑎4 = 0 𝑒 ∀ 𝑎𝑗 = 𝑎𝑘 𝑠𝑒 𝑗 = 1, 3 𝑜𝑢 5 𝑒 𝑘 = 1, 3 𝑜𝑢 5}. Encontre sua base e dimensão. E3.11: Seja o conjunto gerador 𝑊 = [(2,0,0,1), (0, −1,1,2), (1,0, −1,0), (1, −1,4,4)]. Encontre a base e a dimensão de W. E3.12: Seja o conjunto gerador 𝑊 = [( 1 −1 0 0 ) , ( 0 1 0 0 ) , ( 0 1 −1 0 ) , ( 1 1 −1 0 )]. Encontre a base e a dimensão de W. E3.13: Seja o conjunto gerador 𝑊 = [𝑥 , 𝑥 − 2 , 𝑥4 − 𝑥] ∈ 𝑃4. Encontre a base e a dimensão de W. E3.14: Seja o conjunto gerador 𝑊 = [(1,0,1), (1,0,0), (0,0,3)]. Encontre o subespaço gerado por W. E3.15: Seja o conjunto gerador 𝑊 = [( 1 1 0 1 0 0 ) , ( −1 1 1 0 0 0 )]. Encontre o subespaço gerado por W. E3.16: Seja o conjunto gerador 𝑊 = [1 , 𝑥2 + 2,− 𝑥2] ∈ 𝑃3. Encontre o subespaço gerado por W. E3.17: Sejam os conjuntos geradores 𝑉 = [( 1 −1 0 0 ) , ( 0 1 0 0 ) , ( 0 0 1 0 )] e 𝑊 = [( 1 0 0 1 ) , ( 0 1 1 1 )]. Encontre 𝑉 ∩𝑊 e 𝑈 = 𝑉 +𝑊. E3.18: Sejam os conjuntos geradores 𝑈 = [(1,2,0), (1,0, −1), (0,4,2), (2, −1,2)], 𝑉 = [(1,1,0), (0,1,1), (2,0, −2)] e 𝑊 = [(1, −2,3), (−3,6, −9), (2, −4,6)]. a) U é base para o R3? b) V é base para o R3? c) W é base para o R3? d) É possível obter uma base para o R 3 a partir de U? d) Encontre a base e a dimensão do subespaço gerado por V; e) Encontre o subespaço gerado por W; f) Encontre 𝑉 ∩𝑊; g) É possível V W ? E3.19: Considere os subespaços vetoriais 𝑉 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) ∈ 𝑅4 | [ 1 2 1 3 3 6 2 9 1 2 1 3 ] ∙ [ 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 ] = [ 0 0 0 ]} e 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) ∈ 𝑅4| 𝑧 = 𝑥 − 𝑦 𝑒 𝑤 = 3𝑥 }. a) Encontre a base e a dimensão de V; b) Encontre a base e a dimensão de W; c) Encontre 𝑉 ∩𝑊; d) Encontre a base e a dimensão de 𝑉 ∩𝑊; e) Encontre a base e a dimensão de 𝑉 +𝑊 E3.20: Seja o conjunto gerador 𝑊 = [(1,0,0,1), (0,1,1,1)]. Encontre as coordenadas dos elementos de W com relação à base canônica de R 4 . E3.21: Seja o conjunto gerador 𝑊 = [(1,0,1), (1,0,0), (0,0,3)]. Encontre as coordenadas dos elementos de W com relação à base canônica de R 3 . E3.22: Sejam o conjunto gerador 𝑊 = [( 1 0 0 1 ) , ( 0 1 1 1 )]. Encontre as coordenadas dos elementos de W com relação à base canônica de M2x2. Álgebra Linear Prof. Julierme Oliveira, DSc. 14 Faculdade Boa Viagem, FBV DeVry E3.23: Sejam o conjunto gerador 𝑊 = [( 1 −1 0 0 ) , ( 0 1 0 0 ) , ( 0 0 −1 0 )]. Encontre as coordenadas dos elementos de W com relação à base canônica de M2x2. E3.24: Seja o conjunto gerador 𝑊 = [( 1 1 0 1 0 0 ) , ( −1 1 1 0 0 0 )]. Encontre as coordenadas dos elementos de W com relação à base canônica de M3x2. E3.25: Seja o conjunto gerador 𝑊 = [𝑥 , 𝑥 − 2 , 𝑥4 − 𝑥] ∈ 𝑃4. Encontre as coordenadas dos elementos de W com relação à base canônica de P4. E3.26: Seja o conjunto gerador 𝑊 = [1 , 𝑥2 + 2,− 𝑥2] ∈ 𝑃5. Encontre as coordenadas dos elementos de W com relação à base canônica de P5. E3.27: Sejam as bases do R³: α = {(1,0,0); (0,1,0); (0,0,1)}; β = {(1,0,-1), (1,1,1); (-1,1,0)}; γ = {(1,0,0)}, (1,1,0), (1,1,1)}; δ = {(-1,0,0)}, (2,3,0), (0,-2,1)}; ζ = {(1,-1,1)}, (0,1,1), (3,2,1)}; η = {(-1,-2,3)}, (-3,2,-5), (6,1,-3)}; λ = {(-1,-3,6)}, (-2,2,1), (3,-5,-3)}; Encontre as matrizes mudança de base: a) I b) I c) I d) I e) I f) I g) I h) I i) I j) I k) I l) I m) I n) I o) I p) I q) I r) I s) I t) I u) I v) I w) I x) I PARTE 3.3: Problemas P3.01: Sejam os vetores 𝑢 = (2,0,0,1), 𝑣 = (0,0,1,1) e 𝑤 = (α,0,1,2). Qual o único valor de α que tornam estes vetores linearmente dependentes (L.D.)? P3.02: Considere o conjunto gerador W = [(1, 1, -2, 4), (1, 1, -1, 2), (1, 4, -4, 8)]: a) Encontre uma base para W; b) O vetor (2, 3, -3, 6) pertence ao espaço gerado por W? c) O vetor (0, 0, 1, 1) pertence ao espaço gerado por W? P3.03: Considere o conjunto gerador W = [(5, -5, 5, 0), (3, 0, 1, 1), (0, -3, 2, -1), (4, 2, 0, 2)]: a) Encontre uma base para W; b) O vetor (1, 5, 0, 1) pertence ao espaço gerado por W? c) O vetor (1, 1, 0, 0) pertence ao espaço gerado por W? P3.04: Considere o conjunto gerador W =[(1,-1,0,0) , (0,0,1,1) , (-2,2,1,1) , (1,0,0,0)]: a) Encontre uma base para W; b) O vetor (2 , -3 , 2 , 2) pertence ao espaço gerado por W? c) Quais são as coordenadas de 𝑤 em relação à base encontrada para W? P3.05: Considere o subespaço 𝑊 = {[ 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 ] ∈ 𝑀2𝑥2 | 𝑥 = 2𝑎, 𝑦 = 2𝑎 + 𝑏, 𝑧 = 0 𝑒 𝑤 = 𝑎 − 𝑏, ∀𝑎 𝑒 𝑏 ∈ 𝑅}: a) Encontre uma base para W; b) O vetor [ 0 −2 0 1 ] pertence ao espaço gerado por W? c) O vetor [ 0 2 3 1 ] pertence ao espaço gerado por W? d) Quais são as coordenadas de [ 6 −7 3 1 ] em relação à base canônica de 𝑀2𝑥2 ? Álgebra Linear Prof. Julierme Oliveira, DSc. 15 Faculdade Boa Viagem, FBV DeVry P3.06: Seja 𝑤 = (1,0,0). Encontre as coordenadas de 𝑤 em relação à base β = {(1,1,1); (-1,1,0); (1,0,-1)}. P3.07: Seja 𝑤 = (1,0,0). Encontre as coordenadas de 𝑤 em relação à base β = {(1,0,-1), (1,1,1); (-1,1,0)}. P3.08: Seja 𝑤 = (1,0,0). Encontre as coordenadas de 𝑤 em relação à base β = {(-1,1,0)}, (1,0,-1), (1,1,1)}. P3.09: Seja 𝑤 = (2,3,5). Encontre as coordenadas de 𝑤 em relação à base β = {(1,0,0)}, (1,1,0), (1,1,1)}. P3.10: Seja 𝑤 = (-5,2,1). Encontre as coordenadas de 𝑤 em relação à base β = {(-1,0,0)}, (2,3,0), (0,-2,1)}. P3.11: Seja 𝑤 = (-1,0,2). Encontre as coordenadas de 𝑤 em relação à base β = {(1,-1,1)}, (0,1,1), (3,2,1)}. P3.12: Seja 𝑤 = (2,3,5). Encontre as coordenadas de 𝑤 em relação à base β = {(-1,-2,3)}, (-3,2,-5), (6,1,-3)}. P3.13: Seja 𝑤 = (2,3,5). Encontre as coordenadas de 𝑤 em relação à base β = {(-1,-3,6)}, (-2,2,1), (3,-5,-3)}. Álgebra Linear Prof. Julierme Oliveira, DSc. 16 Faculdade Boa Viagem, FBV DeVry UNIDADE 4: TRANSFORMAÇÃO LINEAR PARTE 4.1: Questões teóricas T4.01: Seja o operador T: R² R²: (𝑥, 𝑦) → (𝑥 + 𝑦 , 𝑥 − 𝑦). Mostre que T é uma transformação linear. T4.02: Seja o operador T: R² R²: (𝑥, 𝑦) → (2𝑦 , 𝑥). Mostre que T é uma transformação linear. T4.03: Seja o operador T: R³ R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (2𝑥 + 𝑧 , 2𝑦, 3𝑦). Mostre que T é uma transformação linear. T4.04: Seja o operador T: R³ R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 + 𝑦 , 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧, 3𝑧). Mostre que T é uma transformação linear. T4.05: Seja o operador T: R³ R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 + 2𝑧 , 𝑧 − 𝑥 , 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧). Mostre que T é uma transformação linear. T4.06: Seja o operador T: M3x3 R³: [ 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 ] → (𝑎11 , 𝑎22 , 𝑎33). Mostre que T é umatransformação linear. T4.07: Seja o operador T: M2x2 M2x2: [ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ] → [ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ] 𝑇. Mostre que T é uma transformação linear. T4.08: Seja o operador T: P2 P3: 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 → 𝑎𝑥³ + 𝑏𝑥² + 𝑐𝑥. Mostre que T é uma transformação linear. T4.09: Seja o operador T: P2 P2: 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 → 𝑐𝑥² + 𝑎𝑥 + 𝑏. Mostre que T é uma transformação linear. T4.10: Um operador T: R³ → R³ associa a cada vetor 𝒗 do R³ ao resultado do produto vetorial deste vetor 𝒗 com um vetor não nulo 𝑤 também do R³. De modo que T(𝒗) = 𝒗 × 𝑤. Mostre que T é um operador linear. T4.11: Seja o operador T: R² R: (𝑥, 𝑦) → 𝑥 ∙ 𝑦. Mostre que T não é uma transformação linear. T4.12: Seja o operador T: M2x2 R: [ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ] → 𝑑𝑒𝑡 [ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ]. Mostre que T não é uma transformação linear. T4.13: Seja o operador transformação linear T: R² R²: (𝑥, 𝑦) → (𝑥 + 𝑦 , 2𝑥 + 𝑦). Encontre o núcleo de T. T4.14: Seja o operador transformação linear T: R³ R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 + 𝑦 , 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 , 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧). Encontre o núcleo de T. T4.15: Seja o operador transformação linear T: R² R². Sabendo que a matriz transformação linear de T é dada por 𝑀𝑇 = [ 0 2 1 1 ]. Encontre o núcleo do operador T. T4.16: Seja o operador transformação linear T: R² R²: (𝑥, 𝑦) → (2𝑥 , 𝑥 + 𝑦). Encontre uma base para o subespaço gerado pelo o núcleo de T. T4.17: Seja o operador transformação linear T: R³ R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 , 2𝑦 , 3𝑧 − 𝑥). Encontre uma base para o subespaço gerado pelo o núcleo de T. T4.18: Seja o operador transformação linear T: R³ R³. Sabendo que a matriz transformação linear de T é dada por 𝑀𝑇 = [ 1 2 1 0 −1 1 0 0 −1 ]. Encontre uma base para o subespaço gerado pelo o núcleo de T. Álgebra Linear Prof. Julierme Oliveira, DSc. 17 Faculdade Boa Viagem, FBV DeVry T4.19: Seja o operador derivada D: Pn Pn-1: 1 0 0 n n i i i i i i a x i a x . Sabendo que D é um operador transformação linear, encontre a base do núcleo de D quando n=3. T4.20: Seja o operador transformação linear T: R² R²: (𝑥, 𝑦) → (𝑥 + 𝑦 , 𝑥 − 𝑦). Encontre a imagem de T. T4.21: Seja o operador transformação linear T: R³ R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧, 𝑦 + 2𝑧 , 𝑧). Encontre a imagem de T. T4.22: Seja o operador transformação linear T: R² R². Sabendo que a matriz transformação linear de T é dada por 𝑀𝑇 = [ 3 −1 0 2 ] −1. Encontre a imagem do operador T. T4.23: Seja o operador transformação linear T: R² R² onde 𝑇(1,1) = (2 , −1) e 𝑇(−1,2) = (3 , −2). Encontre a imagem de T. T4.24: Seja o operador transformação linear T: R³ R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 + 𝑦 , 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 , 3𝑧). Encontre uma base para a imagem de T. T4.25: Seja o operador transformação linear T: R³ R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 + 2𝑧 , −𝑥 + 𝑧 , 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧). Encontre uma base para a imagem de T. T4.26: Seja o operador transformação linear T: R³ R³. Sabendo que a matriz transformação linear de T é dada por 𝑀𝑇 = [ 1 0 0 0 2 0 1 3 3 ]. Encontre uma base para a imagem de T. T4.27: Seja o operador integral I : Pn Pn+1: 1 0 0 1 in n i i i i i a x a x i . Sabendo que I é um operador transformação linear, encontre a base da imagem de I quando n = 2. T4.28: Seja o operador transformação linear T: R² R²: (𝑥, 𝑦) → (−2𝑥 + 𝑦 , 4𝑦). Quais os tipos transformações lineares T executa no R²? T4.29: Seja o operador transformação linear T: R² R² onde 𝑇(−2,3) = (1 , 1) e 𝑇(4,5) = (9 , 9). Quais os tipos transformações lineares T executa no R²? T4.30: Seja o operador transformação linear T: R³ R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 , 3𝑦 , 𝑦 + 𝑧). Quais os tipos transformações lineares T executa no R³? T4.31: Seja o operador transformação linear T: R³ R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 − 2𝑧 , 𝑦 − 𝑥 , 𝑥 + 𝑦 − 2𝑧). Quais os tipos transformações lineares T executa no R³? T4.32: Seja o operador transformação linear T: R³ R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 + 𝑦 + 2𝑧, 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 , 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧). Quais os tipos transformações lineares T executa no R³? T4.33: Seja o operador transformação linear T: R² R²: (𝑥, 𝑦) → (𝑥 − 3𝑦 , 4𝑦). Esta transformação linear é injetora, sobrejetora ou bijetora? Álgebra Linear Prof. Julierme Oliveira, DSc. 18 Faculdade Boa Viagem, FBV DeVry T4.34: Seja o operador transformação linear T: R² R² onde 𝑇(3,1) = (−2,8) e 𝑇(1, −1) = (6,2). Esta transformação linear é injetora, sobrejetora ou bijetora? T4.35: Seja o operador transformação linear T: R³ R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑦 , 𝑧 − 𝑥 , 2𝑥). Esta transformação linear é injetora, sobrejetora ou bijetora? T4.36: Seja o operador transformação linear T: R³ R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (2𝑥 + 𝑧 , 2𝑧 , 3𝑦). Esta transformação linear é injetora, sobrejetora ou bijetora? T4.37: Seja o operador transformação linear T: R³ R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (3𝑥 − 3𝑦 − 4𝑧 ,3𝑦 + 5𝑧 , −𝑧). Esta transformação linear é injetora, sobrejetora ou bijetora? T4.38: Seja o operador transformação linear T: R³ R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑦, 𝑧 , −𝑥). Esta transformação linear é injetora, sobrejetora ou bijetora? T4.39: Seja o operador transformação linear T: R³ R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 + 3𝑦 − 3𝑧, 4𝑦 , −3𝑥 + 3𝑦 + 𝑧). Esta transformação linear é injetora, sobrejetora ou bijetora? T4.40: Seja um vetor 𝑣 ∈ 𝑅³. Caso seja necessário executar uma rotação de um ângulo 𝜙 no sentido anti-horário em torno do eixo 𝑧, qual seria a matriz associada a esta transformação linear? PARTE 4.2: Exercícios de Fixação E4.01: Seja o operador transformação linear T: R³ R³: 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑥 + 𝑧 , 2𝑧 , 3𝑦 ). a) Encontre a matriz transformação linear de T. b) Encontre o núcleo e imagem de T. c) Classifique o operador T. E4.02: Seja o operador transformação linear T: R³ R³: 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 2𝑧 , 𝑧 – 𝑥 , 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 ). a) Encontre a matriz transformação linear de T. b) Encontre o núcleo e imagem de T. c) Classifique o operador T. E4.03: Seja o operador transformação linear T: R² R² onde 𝑇(1,0) = (−1,1) e 𝑇(0,1) = (4,2). a) Encontre o operador T. b) Encontre a matriz transformação linear de T. c) Encontre o núcleo e imagem de T. d) Classifique o operador T. E4.04: Seja o operador transformação linear T: R² R³ onde 𝑇(1,1) = (3,2,1) e 𝑇(0, −2) = (0,1,0). a) Encontre o operador T. b) Encontre a matriz transformação linear de T. c) Encontre o núcleo e imagem de T. d) Classifique o operador T. E4.05: Seja o operador transformação linear T: R³ R² onde 𝑇(1,0,0) = (2,0), 𝑇(0,1,0) = (1,1) e 𝑇(0,0,1) = (0, −1). a) Encontre o operador T. b) Encontre a matriz transformação linear de T. c) Encontre o núcleo e imagem de T. d) Classifique o operador T. E4.06: Seja o operador transformação linear T: R³ R² onde T(3,2,1) = (1,1), T(0,1,0) = (0, −2) e T(0,0,1) = (0, −1). a) Encontre o operador T. b) Encontre a matriz transformação linear de T. c) Encontre o núcleo e imagem de T. d) Classifique o operador T. E4.07: Sejam os operadores lineares F e Q: 3 3 3 , , , ,, ,, ,, , , , , , , F Q F Q R R R x y z x y z x y z Álgebra Linear Prof. Julierme Oliveira, DSc. 19 Faculdade Boa Viagem, FBV DeVry , ,, , , , , , , , , ,, ,, ,, ,, , , ,, , 2 2 , , , , , , , , 3 5 :Onde x x y x x F x y z x y z y y Q x y z x y z y y z z z z a) Encontre a matriz transformação associado ao operador “F”. b) Que tipo de transformação o operador “F” realiza no R3? c) Qual é o núcleo de “F”? d) Encontre a matriz transformação associado ao operador “Q”. e) Que tipo de transformação o operador “Q” realiza no R3? f) Qual é o núcleo de “Q”? g) Encontre a matriz transformação global. h) Que tipo de transformação o operador global realiza no R3? i) Qual é o núcleo de do operador global? PARTE 4.3: Problemas P4.01: Seja o operador transformação linear T: R² R² onde 𝑇(1,0) = (4,2) e 𝑇(0,1) = (1,1). Qual seria o vetor 𝒗 na qual T(𝒗) = (14, 4)? P4.02: Seja o operador transformação linear T: R² R³ onde 𝑇(1,1) = (3,2,1) e 𝑇(0, −2) = (0,1,0). Qual seria o vetor 𝒗 na qual T(𝒗) = (15,11,5)? P4.03: Seja o operador transformação linear T: R³ R² onde 𝑇(1,0,0) = (2,0), 𝑇(0,1,0) = (1,1) e 𝑇(0,0,1) = (0, −1). Qual seria o vetor 𝒗 na qual T(𝒗) = (4, 1)? P4.04: Seja o operador transformação linear T: R³ R² onde T(3,2,1) = (1,1), T(0,1,0) = (0, −2) e T(0,0,1) = (0, −1). Qual seria o vetor 𝒗 na qual T(𝒗) = (3, 2)? Álgebra Linear Prof. Julierme Oliveira, DSc. 20 Faculdade Boa Viagem, FBV DeVry UNIDADE 5: AUTOVETORES E AUTOVALORES PARTE 5.1: Questões teóricas T5.01: Seja o operador T: R² R²: (𝑥, 𝑦) → (𝑥 + 𝑦 , 𝑥 − 𝑦). O operador T admite a existência de autovetores e autovalores? T5.02: Seja o operador T: R² R²: (𝑥, 𝑦) → (2𝑦 , 𝑥). O operador T admite a existência de autovetores e autovalores? T5.03: Seja o operador T: R³ R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (2𝑥 + 𝑧 , 2𝑦, 3𝑦). O operador T admite a existência de autovetores e autovalores? T5.04: Seja o operador T: R³ R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 + 𝑦 , 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧, 3𝑧). O operador T admite a existência de autovetores e autovalores? T5.05: Seja o operador transformação linear T: R² R³ onde 𝑇(45,20) = (234 , 8956 , 9991) e 𝑇(−1,34) = (22 , −546 , 1236). O operador T admite a existência de autovetores e autovalores? Por quê? PARTE 5.2: Exercícios de Fixação E5.01: Seja o operador transformação linear T: R² R²: (𝑥, 𝑦) → (𝑥 + 𝑦 , 2𝑥 + 𝑦). Encontre os autovetores e autovalores de T. E5.02: Seja o operador transformação linear T: R² R²: (𝑥, 𝑦) → (2𝑥 , 𝑥 + 𝑦). Encontre os autovetores e autovalores de T. E5.03: Seja o operador transformação linear T: R² R²: (𝑥, 𝑦) → (−2𝑥 + 𝑦 , 4𝑦). Encontre os autovetores e autovalores de T. E5.04: Seja o operador transformação linear T: R² R²: (𝑥, 𝑦) → (𝑥 + 𝑦 , 𝑥 − 𝑦). Encontre os autovetores e autovalores de T. E5.05: Seja o operador transformação linear T: R² R²: (𝑥, 𝑦) → (𝑥 − 3𝑦 , 4𝑦). Encontre os autovetores e autovalores de T. E5.06: Seja o operador transformação linear T: R³ R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 + 𝑦 , 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 , 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧). Encontre os autovetores e autovalores de T. E5.07: Seja o operador T: R³ R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 + 2𝑧 , 𝑧 − 𝑥 , 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧). Encontre os autovetores e autovalores de T.. E5.08: Seja o operador transformação linear T: R³ R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 , 2𝑦 , 3𝑧 − 𝑥). Encontre os autovetores e autovalores de T. E5.09: Seja o operador transformação linear T: R³ R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧, 𝑦 + 2𝑧 , 𝑧). Encontre os autovetores e autovalores de T. E5.10: Seja o operador transformação linear T: R³ R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 + 𝑦 , 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 , 3𝑧). Encontre os autovetores e autovalores de T. Álgebra Linear Prof. Julierme Oliveira, DSc. 21 Faculdade Boa Viagem, FBV DeVry E5.11: Seja o operador transformação linear T: R³ R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 + 2𝑧 , −𝑥 + 𝑧 , 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧). Encontre os autovetores e autovalores de T.. E5.12: Seja o operador transformação linear T: R³ R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 , 3𝑦 , 𝑦 + 𝑧). Encontre os autovetores e autovalores de T. E5.13: Seja o operador transformação linear T: R³ R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 − 2𝑧 , 𝑦 − 𝑥 , 𝑥 + 𝑦 − 2𝑧). Encontre os autovetores e autovalores de T. E5.14: Seja o operador transformação linear T: R³ R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 + 𝑦 + 2𝑧, 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 , 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧). Encontre os autovetores e autovalores de T. E5.15: Seja o operador transformação linear T: R³ R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑦 , 𝑧 − 𝑥 , 2𝑥). Encontre os autovetores e autovalores de T. E5.16: Seja o operador transformação linear T: R³ R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (2𝑥 + 𝑧 , 2𝑧 , 3𝑦). Encontre os autovetores e autovalores de T.? E5.17: Seja o operador transformação linear T: R³ R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (3𝑥 − 3𝑦 − 4𝑧 ,3𝑦 + 5𝑧 , −𝑧). Encontre os autovetores e autovalores de T. E5.18: Seja o operador transformação linear T: R³ R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑦, 𝑧 , −𝑥). Encontre os autovetores e autovalores de T.? E5.19: Seja o operador transformação linear T: R³ R³: (𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥 + 3𝑦 − 3𝑧, 4𝑦 , −3𝑥 + 3𝑦 + 𝑧). Encontre os autovetores e autovalores de T. E5.20: Seja o operador transformação linear T: R³ R³: 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑥 + 𝑧 , 2𝑧 , 3𝑦 ). Encontre os autovetores e autovalores de T. E5.21: Seja o operador transformação linear T: R³ R³: 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 2𝑧 , 𝑧 – 𝑥 , 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 ). Encontre os autovetores e autovalores de T. PARTE 5.3: Problemas P5.01: Seja o operador transformação linear T: R² R². Sabendo que a matriz transformação linear de T é dada por 𝑀𝑇 = [ 0 2 1 1 ]. Encontre os autovetores e autovalores de T. P5.02: Seja o operador transformação linear T: R² R². Sabendo que a matriz transformação linear de T é dada por 𝑀𝑇 = [ −1 3 4 3 ] −1. Encontre os autovetores e autovalores de T. P5.03: Seja o operador transformação linear T: R² R² onde 𝑇(3,1) = (−2,8) e 𝑇(1, −1) = (6,2). Encontre os autovetores e autovalores de T. P5.04: Seja o operador transformação linear T: R² R² onde 𝑇(1,1) = (2 , −1) e 𝑇(−1,2) = (3 , −2). Encontre os autovetores e autovalores de T. P5.05: Seja o operador transformação linear T: R² R² onde 𝑇(−2,3) = (1 , 1) e 𝑇(4,5) = (9 , 9). Encontre os autovetores e autovalores de T. Álgebra Linear Prof. Julierme Oliveira, DSc. 22 Faculdade Boa Viagem, FBV DeVry P5.06: Seja o operador transformação linear T: R² R² onde 𝑇(1,0) = (−1,1) e 𝑇(0,1) = (4,2). Encontre os autovetores e autovalores de T. P5.07: Seja o operador transformação linear T: R³ R³. Sabendo que a matriz transformação linear de T é dada por 𝑀𝑇 = [ 1 2 1 0 −1 1 0 0 −1 ]. Encontre os autovetores e autovalores de T. P5.08: Seja o operador transformação linear T: R³ R³. Sabendo que a matriz transformação linear de T é dada por 𝑀𝑇 = 𝐴 × (𝐵 − 2𝐶), onde 𝐴 = [ 1 0 −1 0 1 0 0 0 4 ], 𝐵 = [ −2 6 2 7 1 4 4 6 4 ] e 𝐶 = [ 1 3 1 0 −1 2 0 0 1 ]. Encontre os autovetores e autovalores de T. P5.09: Seja o operador transformação linear T: R³ R³ onde 𝑇(3,1,2) = (9,8,7), 𝑇(2, −1,2) = (9,6,5) e 𝑇(1,1,2) = (5,4,7). Encontre os autovetores e autovalores de T. P5.10: Seja o operador transformação linear T: R³ R³ onde 𝑇(1,1, −1) = (2,2,0), 𝑇(0,1,1) = (1,1,3) e 𝑇(−2,1,1) = (−1,−1,5). Encontre os autovetores e autovalores de T.
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