lista01_Mecânica das Estruturas II

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Última alteração: 13/11/2012 
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ 
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
TC 036 – MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
 
 
1. Seja a viga biapoiada com rigidez EI constante e comprimento L, mostrada na figura 
abaixo. Utilize o Princípio dos Trabalhos Virtuais, desprezando o efeito do esforço 
cortante, para calcular: 
a) A rotação da tangente à linha elástica no ponto A; 
b) O deslocamento vertical do ponto C (meio do vão). 
 
 
2. Seja a viga biapoiada com rigidez EI constante e comprimento L, mostrada na figura 
abaixo. Utilize o Princípio dos Trabalhos Virtuais, desprezando o efeito do esforço 
cortante, para calcular: 
a) A rotação da tangente à linha elástica no ponto B; 
b) A rotação da tangente à linha elástica no ponto A. 
 
 
3. Utilizando o Princípio dos Trabalhos Virtuais, calcule o valor do momento aplicado M2 
para que a viga abaixo, com rigidez EI constante, tenha rotação da tangente à linha 
elástica nula no ponto B. Desconsiderar o efeito do esforço cortante sobre os 
deslocamentos. 
 
 
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4. Utilizando o Princípio dos Trabalhos Virtuais, calcule o deslocamento vertical na extremidade 
C da viga abaixo, cujo diagrama de momentos fletores para o carregamento original é 
fornecido. Considere EI = 2 x 10
5
 kN.m
2
 para todas as barras e despreze o efeito do esforço 
cortante. 
 
 
5. Obter o deslocamento vertical do nó B da treliça abaixo aplicando o Princípio dos 
Trabalhos Virtuais. Todas as barras têm rigidez EA = 10
4
 kN. 
 
 
6. Em um laboratório foi realizada uma prova de carga com uma viga de madeira com inércia I = 
3 x 10
-4
 m
4 
e 5 m de comprimento, conforme modelo abaixo. Verificou-se que o deslocamento 
vertical do nó B da viga, devido ao carregamento indicado, foi = 1,075 x 10
-2
 m para baixo. 
Sabendo que a deformação devida ao esforço cortante pode ser desprezada, calcule o módulo de 
elasticidade E desta espécie de madeira, utilizando os resultados do teste realizado e o Princípio 
dos Trabalhos Virtuais. Considere o módulo de elasticidade E constante em toda a viga. 
 
 
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7. Seja o pórtico abaixo cujas barras têm rigidez à flexão EI = 2 x 105 kN.m2. Aplicando o 
Princípio dos Trabalhos Virtuais, desprezando os efeitos de esforços cortantes e de 
esforços normais, calcule: 
a) O deslocamento horizontal do ponto C; 
b) A rotação da tangente à linha elástica no ponto A. 
 
8. Recalcule os itens (a) e (b) do exercício 7, utilizando o Princípio dos Trabalhos Virtuais 
considerando os efeitos dos esforços normais e dos momentos fletores (flexão). 
Despreze apenas o efeito dos esforços cortantes e considere que todas as barras têm 
rigidez axial EA = 2 x 10
5
 kN. 
 
9. Seja o pórtico abaixo cujas barras têm E = 1 x 108 kN/m2 e I = 1 x 10-3 m4 . Calcule a 
rotação da tangente à linha elástica no ponto A causado por um recalque vertical do 
apoio em D, para baixo, de 6 mm. 
 
 
 
 
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10. Calcule o deslocamento horizontal do ponto C, do pórtico do exercício 7, causado por 
um recalque vertical do apoio A de 4 mm para baixo. 
 
11. Recalcule o item (b) do exercício 7 causado pela carga em B e por um recalque vertical 
do apoio D de 6 mm para cima. Utilize o Princípio dos Trabalhos Virtuais e despreze os 
efeitos de esforços cortantes e de esforços normais. 
 
12. Considere o pórtico isostático mostrado abaixo. A estrutura tem como solicitação um 
aumento uniforme de temperatura ( T = 12 C) na viga. Todas as barras têm um 
material com módulo de elasticidade E = 10
8
 kN/m
2
 e coeficiente de dilatação térmica 
α = 10–5 / C. Todas a barras têm seções transversais com momento de inércia I = 1,0 x 
10
–3
 m
4
. Calcule o deslocamento horizontal do apoio da direita. 
 
 
13. A viga do pórtico abaixo sofreu um aquecimento na face superior de 12 °C. Pede-se o 
deslocamento vertical da extremidade livre da estrutura. Considere que as barras do 
pórtico podem se deformar axialmente, isto é, não despreze a energia de deformação 
axial. O material tem módulo de elasticidade E = 10
8
 kN/m
2 
e coeficiente de dilatação 
térmica α = 10–5 /°C. As barras da estrutura têm a seção transversal retangular indicada 
abaixo, que foi posicionada de modo a oferecer a maior resistência ao momento fletor 
atuante. 
 
 
 
 
 
 
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14. Para a viga Gerber mostrada abaixo pede-se a rotação relativa entre os dois vãos no 
apoio central. Utilize o Princípio dos Trabalhos Virtuais e despreze os efeitos de 
esforços cortantes. A viga tem um material com módulo de elasticidade E = 10
8
 kN/m
2
 
e coeficiente de dilatação térmica α = 10–5 / C. A viga tem seção transversal com área A 
= 1,0 x 10
–2
 m
2
 e momento de inércia I = 1,0 x 10
–3
 m
4
. A altura da seção transversal é 
h = 0,60 m e o seu centro de gravidade fica posicionado na metade da altura. As 
seguintes solicitações atuam na estrutura concomitantemente: 
· Uma carga concentrada de 40 kN no centro de cada vão. 
· Aquecimento das fibras superiores da viga de Ts = 50 C ao longo de toda a sua 
extensão (as fibras inferiores não sofrem variação de temperatura, isto é, Ti = 0 C). 
· Recalque vertical (para baixo) de 3 cm do apoio extremo direito. 
 
 
15. Considere o pórtico abaixo no qual atuam concomitantemente as seguintes solicitações: 
· Uma carga concentrada de 48 kN no centro da viga (barra horizontal). 
· Resfriamento das fibras superiores da viga de Ts = -24 C ao longo de toda a sua 
extensão (as fibras inferiores não sofrem variação de temperatura, isto é, Ti = 0 C). 
· Recalque horizontal (para a direita) de 1,8 mm do apoio esquerdo. 
O material com módulo de elasticidade E = 10
8
 kN/m
2
 e coeficiente de dilatação 
térmica α = 10–5 / C. As barras da estrutura têm seção transversal com área A = 10–1 m2 
e momento de inércia I = 10
–3
 m
4
. A altura da seção transversal é h = 0,60 m e o seu 
centro de gravidade fica posicionado na metade da altura. Determine o deslocamento 
horizontal do apoio da direita. 
 
 
 
 
 
 
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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS: 
 
1. 
1.a. 
EI
qL
A
24
3 1.b. 
EI
qL
C
384
5
4 
2. 
2.a. 
EI
LM
B
B
3
 2.b. 
EI
LM
B
A
6
. 
3. 
8
3
2
PL
M
 
4. C = - 5,625 x 10
-5
 m 
5. B = 77,2 mm 
6. E = 3,1 x 10
6
 kN/m
2
 
7. 
7.a. C = 6 mm 7.b. A = 2,375 x 10
-3
 rad  
8. 
8.a. C = 6,54 mm 8.b. A = 2,555 x 10
-3
 rad  
9. A = 2,0 x 10
-3
 rad  
10. C = 2,40 mm 
11. A = 1,175 x 10
-3
 rad  
12. = 72 x 10-5 m 
13. = -360 x 10-5 m 
14. = -180/EI rad 
15. = 1476 x 10-5 m