Metodo das Forças parte 4

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TC036 - Mecânica das 
Estruturas II
Prof. Marcos Arndt
2. Método das Forças – Parte 4
Exemplo 8:
Utilizando o Método das Forças encontre o diagrama
de momentos fletores do pórtico hiperestático
abaixo. Despreze a contribuição da energia de
deformação para o efeito de cisalhamento e para o
efeito do esforço normal.
𝑔𝑒𝑥𝑡 = 1
𝑔𝑖𝑛𝑡 = 1
𝑔 = 2
𝛿10 + 𝛿11𝑋1 + 𝛿12𝑋2 = 0
𝛿20 + 𝛿21𝑋1 + 𝛿22𝑋2 = 0
- Termos de carga:
- Coeficientes de flexibilidade: 𝛿𝑖𝑗 = න
𝑀𝑖𝑀𝑗
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝛿𝑖0 = න
𝑀𝑖𝑀0
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝛿10 = න
𝑀1𝑀0
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
1
𝐸𝐼
1
3
1 9 6 +
1
3
1 (−36) 6
𝛿10 = −
54
𝐸𝐼
𝑟𝑎𝑑
𝛿20 = න
𝑀2𝑀0
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
1
𝐸𝐼
1
6
(−1) (−36) 4 +
1
3
(−1) (−72) 4 +
1
2
1 72 6
𝛿20 =
336
𝐸𝐼
𝑟𝑎𝑑
𝛿11 = න
𝑀1𝑀1
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
1
𝐸𝐼
1
3
−1 −1 4 +
1
3
1 1 6 +
1
3
−1 −1 4 +
1
3
1 1 6
𝛿11 =
20
3𝐸𝐼
𝑟𝑎𝑑/𝑘𝑁𝑚
𝛿12 = න
𝑀1𝑀2
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
1
𝐸𝐼
0
𝛿12 = 𝛿21 = 0
𝛿22 = න
𝑀2𝑀2
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
1
𝐸𝐼
1
3
−1 −1 4 + 1 1 6
𝛿22 =
22
3𝐸𝐼
𝑟𝑎𝑑/𝑘𝑁𝑚
𝛿10 + 𝛿11𝑋1 + 𝛿12𝑋2 = 0
𝛿20 + 𝛿21𝑋1 + 𝛿22𝑋2 = 0
−
54
𝐸𝐼
+
20
3𝐸𝐼
𝑋1 + 0𝑋2 = 0
336
𝐸𝐼
+ 0𝑋1 +
22
3𝐸𝐼
𝑋2 = 0
x 3𝐸𝐼
20𝑋1 = 162
22𝑋2 = −1008
𝑋1 = 8,1 𝑘𝑁𝑚
𝑋2 = −45,8 𝑘𝑁𝑚
- Diagrama de momentos fletores: 𝑀 = 𝑀0 +𝑀1𝑋1 +𝑀2𝑋2
𝑋1 = 8,1 𝑘𝑁𝑚
𝑋2 = −45,8 𝑘𝑁𝑚
M
(kN.m)
Exemplo 9:
Utilizando o Método das Forças determine os
esforços normais nas barras da treliça hiperestática
abaixo, com rigidez EA constante.
𝑔𝑒𝑥𝑡 = 𝑅 − 3 = 1
𝑔𝑖𝑛𝑡 = 𝑏 − 2𝑛 + 3 = 0
𝑔 = 1
𝛿10 + 𝛿11𝑋1 = 0
- Termos de carga:
- Coeficientes de flexibilidade:
𝛿𝑖0 = න
𝑁𝑖𝑁0
𝐸𝐴
𝑑𝑥 =
1
𝐸𝐴
෍
𝑘=1
𝑛
𝑁𝑖
𝑘𝑁0
𝑘𝐿𝑘
𝛿𝑖𝑗 = න
𝑁𝑖𝑁𝑗
𝐸𝐴
𝑑𝑥 =
1
𝐸𝐴
෍
𝑘=1
𝑛
𝑁𝑖
𝑘𝑁𝑗
𝑘𝐿𝑘
𝛿10 =
1
𝐸𝐴
෍
𝑘=1
𝑛
𝑁1
𝑘𝑁0
𝑘𝐿𝑘 =
1
𝐸𝐴
−0,33 12,67 4 + −0,33 8,67 4 +
+
1
𝐸𝐴
0,60 −8,41 3,61 + −0,60 −3,61 3,61 + −0,60 3,61 3,61 +
+
1
𝐸𝐴
0,60 −15,62 3,61 + 0,67 −10,67 4
𝛿10 = −108,81 𝑚
𝛿11 =
1
𝐸𝐴
෍
𝑘=1
𝑛
𝑁1
𝑘𝑁1
𝑘𝐿𝑘 =
1
𝐸𝐴
−0,33 −0,33 4 + −0,33 −0,33 4 +
+
1
𝐸𝐴
0,60 0,60 3,61 + −0,60 −0,60 3,61 + −0,60 −0,60 3,61 +
+
1
𝐸𝐴
0,60 0,60 3,61 + 0,67 0,67 4
𝛿11 = 7,86 𝑚/𝑘𝑁
𝛿10 + 𝛿11𝑋1 = 0
−108,81 + 7,86 𝑋1 = 0
𝑋1 = 13,84 𝑘𝑁
7,86 𝑋1 = 108,81
- Esforços Normais: 𝑁 = 𝑁0 + 𝑁1𝑋1
𝑋1 = 13,84 𝑘𝑁𝑚
Exemplo 10:
Para a grelha mostrada abaixo, pedem-se os
diagramas de momentos fletores e de momentos
torçores utilizando o Método das Forças. Despreze a
contribuição da energia de deformação para o efeito
de cisalhamento.
𝑔𝑒𝑥𝑡 = 2
𝑔𝑖𝑛𝑡 = 0
𝑔 = 2
- Termos de carga:
- Coeficientes de flexibilidade:
𝛿𝑖𝑗 = න
𝑀𝑖𝑀𝑗
𝐸𝐼
𝑑𝑥 + න
𝑇𝑖𝑇𝑗
𝐺𝐽𝑡
𝑑𝑥
𝛿𝑖0 = න
𝑀𝑖𝑀0
𝐸𝐼
𝑑𝑥 + න
𝑇𝑖𝑇0
𝐺𝐽𝑡
𝑑𝑥
𝛿10 + 𝛿11𝑋1 + 𝛿12𝑋2 = 0
𝛿20 + 𝛿21𝑋1 + 𝛿22𝑋2 = 0
𝛿10 = න
𝑀1𝑀0
𝐸𝐼
𝑑𝑥 +න
𝑇1𝑇0
𝐺𝐽𝑡
𝑑𝑥
𝛿10 =
1
𝐸𝐼
1
3
4 (−80) 4 +
1
𝐺𝐽𝑡
0
𝛿10 = −
1280
3𝐸𝐼
𝑚
𝛿20 = න
𝑀2𝑀0
𝐸𝐼
𝑑𝑥 + න
𝑇2𝑇0
𝐺𝐽𝑡
𝑑𝑥
𝛿20 =
1
𝐸𝐼
1
3
2 −80 4 +
1
6
(−2) −80 4 +
1
𝐺𝐽𝑡
0
𝛿20 = −
320
3𝐸𝐼
𝑚
𝛿11 = න
𝑀1𝑀1
𝐸𝐼
𝑑𝑥 +න
𝑇1𝑇1
𝐺𝐽𝑡
𝑑𝑥
𝛿11 =
1
𝐸𝐼
1
3
2 2 2 +
1
3
4 4 4 +
1
𝐺𝐽𝑡
−2 −2 4 =
24
𝐸𝐼
+
3
2𝐸𝐼
16 =
48
𝐸𝐼
𝑚/𝑘𝑁
𝛿12 = න
𝑀1𝑀2
𝐸𝐼
𝑑𝑥 +න
𝑇1𝑇2
𝐺𝐽𝑡
𝑑𝑥
𝛿12 =
1
𝐸𝐼
1
6
4(−2)4 +
1
3
4 2 4 +
1
𝐺𝐽𝑡
−2 4 4 =
16
3𝐸𝐼
−
96
2𝐸𝐼
= −
128
3𝐸𝐼
𝑚/𝑘𝑁
𝛿21 = 𝛿12 = −
128
3𝐸𝐼
𝑚/𝑘𝑁
𝛿22 = න
𝑀2𝑀2
𝐸𝐼
𝑑𝑥 + න
𝑇2𝑇2
𝐺𝐽𝑡
𝑑𝑥
𝛿22
=
1
𝐸𝐼
1
3
2 2 4 +
1
6
2 −2 4 +
1
6
−2 2 4 +
1
3
−2 −2 4 +
1
3
4 4 4 +
1
3
2 2 2
+
1
𝐺𝐽𝑡
4 4 4 + 2 2 4
𝛿22 =
88
3𝐸𝐼
+
3
2𝐸𝐼
80 =
448
3𝐸𝐼
𝑚/𝑘𝑁
𝛿10 + 𝛿11𝑋1 + 𝛿12𝑋2 = 0
𝛿20 + 𝛿21𝑋1 + 𝛿22𝑋2 = 0
−
1280
3𝐸𝐼
+
48
𝐸𝐼
𝑋1 −
128
3𝐸𝐼
𝑋2 = 0
−
320
3𝐸𝐼
−
128
3𝐸𝐼
𝑋1 +
448
3𝐸𝐼
𝑋2 = 0
x 3𝐸𝐼
144𝑋1 − 128𝑋2 = 1280
−128𝑋1 + 448𝑋2 = 320
𝑋1 = 12,77 𝑘𝑁
𝑋2 = 4,36 𝑘𝑁
- Diagramas M e T : 𝐸 = 𝐸0 + 𝐸1𝑋1 + 𝐸2𝑋2
𝑋1 =
12,77 𝑘𝑁
𝑋2 = 4,36 𝑘𝑁