Metodo dos deslocamentos parte 2

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TC036 - Mecânica das 
Estruturas II
Prof. Marcos Arndt
3. Método dos Deslocamentos –
Parte 2
Exemplo 1:
Utilizando o Método dos Deslocamentos determine
o diagrama de momentos fletores da viga
hiperestática abaixo com rigidez à flexão EI = 1,2 x
104 kN.m2. Despreze a contribuição da energia de
deformação para o efeito de cisalhamento.
Caso 0:
𝛽10 = −
12 42
12
+
12 62
12
= 20 𝑘𝑁𝑚
𝛽20 = −
12 62
12
+
12 22
12
= −32 𝑘𝑁𝑚
Caso 1:
𝐾11 =
4𝐸𝐼
4
+
4𝐸𝐼
6
+ 0 =
5𝐸𝐼
3
= 20000
𝑘𝑁.𝑚
𝑟𝑎𝑑
𝐾21 = 0 +
2𝐸𝐼
6
+ 0 =
𝐸𝐼
3
= 4000
𝑘𝑁.𝑚
𝑟𝑎𝑑
Caso 1:
Caso 2:
𝐾12 = 0 +
2𝐸𝐼
6
+ 0 =
𝐸𝐼
3
= 4000
𝑘𝑁.𝑚
𝑟𝑎𝑑
= 𝐾21
𝐾22 = 0 +
4𝐸𝐼
6
+
4𝐸𝐼
2
=
8𝐸𝐼
3
= 32000
𝑘𝑁.𝑚
𝑟𝑎𝑑
Caso 2:
𝛽10 + 𝐾11𝐷1 + 𝐾12𝐷2 = 0
𝛽20 + 𝐾21𝐷1 + 𝐾22𝐷2 = 0
20 + 20000 𝐷1 + 4000 𝐷2 = 0
−32 + 4000 𝐷1 + 32000 𝐷2 = 0
20000𝐷1 + 4000𝐷2 = −20
4000𝐷1 + 32000𝐷2 = 32
𝐷1 = −1,231 10
−3 𝑟𝑎𝑑
𝐷2 = 1,154 10
−3 𝑟𝑎𝑑
- Diagrama de momentos fletores na convenção de sinais
do método: 𝑀 = 𝑀0 +𝑀1𝐷1 +𝑀2𝐷2
𝐷1 = −1,231 10
−3𝑟𝑎𝑑
𝐷2 = 1,154 10
−3𝑟𝑎𝑑
Caso 1
Caso 2
M
(kN.m)
Caso 0
- Diagrama de momentos fletores final:
M
(kN.m)
Exemplo 2:
Utilizando o Método dos Deslocamentos determine
o diagrama de momentos fletores do pórtico
hiperestático. As duas barras têm o mesmo material
com módulo de elasticidade E e a mesma seção
transversal, cuja relação entre a área A e o momento
de inércia I é dada por A/I = 2 m–2.
Caso 0:
𝛽10 = −10 𝑘𝑁
𝛽20 = + 6 𝑘𝑁
𝛽30 = 0 𝑘𝑁𝑚
Caso 1:
𝐾11 =
12𝐸𝐼
43
+
𝐸𝐴
6
=
12𝐸𝐼
64
+
𝐸2𝐼
6
=
25𝐸𝐼
48
𝑘𝑁
𝑚
𝐾21 = 0 + 0 = 0
𝑘𝑁
𝑚
𝐾31 =
6𝐸𝐼
42
+ 0 =
6𝐸𝐼
16
=
3𝐸𝐼
8
𝑘𝑁.𝑚
𝑚
Caso 1:
Caso 2:
𝐾12 = 0 + 0 = 0
𝑘𝑁
𝑚
= 𝐾21
𝐾22 =
𝐸𝐴
4
+
12𝐸𝐼
63
=
𝐸2𝐼
4
+
12𝐸𝐼
216
=
5𝐸𝐼
9
𝑘𝑁
𝑚
𝐾32 = 0 +
6𝐸𝐼
62
=
𝐸𝐼
6
𝑘𝑁.𝑚
𝑚
Caso 2:
Caso 3:
𝐾13 =
6𝐸𝐼
42
+ 0 =
6𝐸𝐼
16
=
3𝐸𝐼
8
𝑘𝑁
𝑟𝑎𝑑
= 𝐾31
𝐾23 = 0 +
6𝐸𝐼
62
=
𝐸𝐼
6
𝑘𝑁
𝑟𝑎𝑑
= 𝐾32
𝐾33 =
4𝐸𝐼
4
+
4𝐸𝐼
6
=
5𝐸𝐼
3
𝑘𝑁.𝑚
𝑟𝑎𝑑
Caso 3:
𝛽10 + 𝐾11𝐷1 + 𝐾12𝐷2 + 𝐾13𝐷3 = 0
𝛽20 + 𝐾21𝐷1 + 𝐾22𝐷2 +𝐾23 𝐷3 = 0
𝛽30 + 𝐾31𝐷1 + 𝐾32𝐷2 +𝐾33 𝐷3 = 0
−10 +
25𝐸𝐼
48
𝐷1 + 0𝐷2 +
3𝐸𝐼
8
𝐷3 = 0
6 + 0𝐷1 +
5𝐸𝐼
9
𝐷2 +
𝐸𝐼
6
𝐷3 = 0
0 +
3𝐸𝐼
8
𝐷1 +
𝐸𝐼
6
𝐷2 +
5𝐸𝐼
3
𝐷3 = 0
−10
6
0
+ 𝐸𝐼
25/48 0 3/8
0 5/9 1/6
3/8 1/6 5/3
𝐷1
𝐷2
𝐷3
=
0
0
0
𝑑1 = 22,087
𝑑2 = −9,597
𝑑3 = −4,010
−10
6
0
+
25/48 0 3/8
0 5/9 1/6
3/8 1/6 5/3
𝑑1
𝑑2
𝑑3
=
0
0
0
𝑑𝑖 = 𝐸𝐼𝐷𝑖
𝐷1 =
22,087
𝐸𝐼
𝑚
𝐷2 = −
9,597
𝐸𝐼
𝑚
𝐷3 = −
4,010
𝐸𝐼
𝑟𝑎𝑑
- Diagrama de momentos fletores na convenção de sinais
do método: 𝑀 = 𝑀0 +𝑀1𝐷1 +𝑀2𝐷2 +𝑀3𝐷3
𝐷1 = 22,87/𝐸𝐼 𝐷2 = −9,597/𝐸𝐼
𝐷3 = −4,010/𝐸𝐼
- Diagrama de momentos fletores final: