Método das Forças - Parte I

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TC036 - Mecânica das 
Estruturas II
Prof. Marcos Arndt
2. Método das Forças – Parte 1
2 Método das Forças ou dos Esforços
2.1 Introdução – Grau hiperestático
Estruturas hiperestáticas, também conhecidas como
estaticamente indeterminadas, possuem mais reações
de apoio e/ ou elementos do que o necessário para a
estabilidade estática.
Somente as equações de equilíbrio não são suficientes
para determinar as reações e esforços internos de
tais estruturas, e devem ser complementadas por
relações adicionais com base na geometria de
deformação das estruturas.
Grau hiperestático ou grau de hiperestaticidade:
número de relações adicionais necessárias.
a) Hiperestaticidade Total (𝑔):
𝑔 = 𝑔𝑒𝑥𝑡 + 𝑔𝑖𝑛𝑡
Grau de hiperestaticidade
interna
Grau de hiperestaticidade
externa
b) Hiperestaticidade Externa (𝑔𝑒𝑥𝑡) :
O grau de hiperestaticidade externa indica o número
de equações suplementares necessárias para o
cálculo das reações de apoio da estrutura.
Para vigas e pórticos:
𝑔𝑒𝑥𝑡 = 𝑅 −෍ 𝑛
′ − 1 𝑁𝑟𝑖 − 𝑁𝑒𝑒
Número de reações de apoio
Número de rótulas onde 
chegam n´ barras 
Número de equações de equilíbrio
(no plano 𝑁𝑒𝑒 = 3)
Para treliças planas:
𝑔𝑒𝑥𝑡 = 𝑅 − 3
Número de reações de apoio
Número de quadros fechados 
da estrutura
c) Hiperestaticidade Interna (𝑔𝑖𝑛𝑡) :
O grau de hiperestaticidade interna indica o número
de esforços simples cujo conhecimento nos
possibilita traçar os diagramas solicitantes para a
estrutura, conhecidas suas reações de apoio.
Para pórticos:
𝑔𝑖𝑛𝑡 = 3𝑄
Para treliças planas:
𝑔𝑖𝑛𝑡 = 𝑏 − 2𝑛 + 3
Número de barras
Número de nós
A partir do grau de hiperestaticidade, podemos
classificar as estruturas da seguinte forma:
• 𝑔𝑖𝑛𝑡 < 0 e/ou 𝑔𝑒𝑥𝑡 < 0: estrutura hipostática;
• 𝑔𝑖𝑛𝑡 = 0 e 𝑔𝑒𝑥𝑡 = 0 : a estrutura deve ser
isostática, mas ainda é preciso verificar a
disposição dos elementos que a compõem e
analisar os apoios externos;
• 𝑔𝑖𝑛𝑡 > 0 e 𝑔𝑒𝑥𝑡 ≥ 0, ou, 𝑔𝑖𝑛𝑡 ≥ 0 e 𝑔𝑒𝑥𝑡 > 0 a
estrutura deve ser hiperestática, mas merece
análise adicional.
Exemplos:
Calcule o grau de hiperestaticidade das estruturas:
𝑔𝑒𝑥𝑡 = 2
𝑔𝑖𝑛𝑡 = 0
𝑔 = 2
𝑔𝑒𝑥𝑡 = 0
𝑔𝑖𝑛𝑡 = 6
𝑔 = 6
𝑔𝑒𝑥𝑡 = 2
𝑔𝑖𝑛𝑡 = 2
𝑔 = 4
𝑔𝑒𝑥𝑡 = 2
𝑔𝑖𝑛𝑡 = 3
𝑔 = 5
𝑔𝑒𝑥𝑡 = 3
𝑔𝑖𝑛𝑡 = 0
𝑔 = 3
𝑔𝑒𝑥𝑡 = 1
𝑔𝑖𝑛𝑡 = 1
𝑔 = 2
𝑔𝑒𝑥𝑡 = 2
𝑔𝑖𝑛𝑡 = 1
𝑔 = 3
𝑔𝑒𝑥𝑡 = 1
𝑔𝑖𝑛𝑡 = 1
𝑔 = 2
2.2 Método das Forças –
Desenvolvimento do método
Seja a estrutura hiperestática abaixo:
𝑔𝑒𝑥𝑡 = 3
𝑔𝑖𝑛𝑡 = 0
𝑔 = 3
a) Condições de equilíbrio:
Do ponto de vista do equilíbrio podemos encará-la
como na figura a direita.
Removemos vínculos de tal forma que a estrutura se
torne isostática, agora chamada de Sistema Principal
(SP). Para preservar o equilíbrio original, introduzimos
os esforços existentes nos vínculos removidos X1, X2
e X3 (incógnitas), que são denominados hiperestáticos.
b) Condições de compatibilidade de deslocamentos:
Ao introduzirmos um hiperestático, liberamos um
deslocamento que não existe. Logo, devemos impor
condições de compatibilidade.
Neste caso:
A rotação em A, a rotação em B e o deslocamento
horizontal em B devem ser nulos. Portanto, a cada
incógnita Xi temos uma equação dizendo que o
deslocamento na direção Xi é nulo.
Aplicando o Princípio da Superposição dos Efeitos no
Sistema Principal desta estrutura, podemos decompô-
la em 4 casos básicos.
X1
CASO 0 CASO 1
X2
CASO 2
CASO 3
X3
Aplicando então as condições de compatibilidade,
temos:
𝜃𝐴 = 𝛿10 + 𝛿11𝑋1 + 𝛿12𝑋2 + 𝛿13𝑋3 = 0
𝜃𝐵 = 𝛿20 + 𝛿21𝑋1 + 𝛿22𝑋2 + 𝛿23𝑋3 = 0
𝛿𝐵 = 𝛿30 + 𝛿31𝑋1 + 𝛿32𝑋2 + 𝛿33𝑋3 = 0
O método consiste, portanto, em construir casos
básicos de carregamentos aplicados ao sistema
principal (SP).
O caso 0 corresponde ao sistema principal
(isostático) sujeito ao carregamento externo original.
Os demais casos (caso i) correspondem ao sistema
principal sujeito a apenas um dos hiperestáticos
considerados unitários (Xi = 1).
Os deslocamentos nas direções dos hiperestáticos Xi
são obtidos em cada caso através do Princípio dos
TrabalhosVirtuais (PTV).
𝛿𝑖0 é o deslocamento na direção de Xi provocado
pelo carregamento externo (caso 0).
É obtido pela combinação dos diagramas resultantes
da aplicação do carregamento externo (caso 0) e do
hiperestático Xi (caso i) no sistema principal. É
conhecido como termo de carga.
𝛿𝑖𝑗 é o deslocamento na direção de Xi provocado por
Xj = 1 (caso j).
É obtido pela combinação dos diagramas resultantes
da aplicação dos hiperestáticos Xi (caso i) e Xj (caso j)
no sistema principal. É conhecido como coeficiente de
flexibilidade da estrutura.
𝛿10 é o deslocamento na direção de X1 provocado
pelo carregamento externo (caso 0).
Se aplicarmos o PTV considerando apenas os
deslocamentos devidos à flexão:
Sistema Real: CASO 0 Sistema Virtual: CASO 1
𝛿 = න
𝑀 ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥 𝛿10 = න
𝑀0𝑀1
𝐸𝐼
𝑑𝑥 = න
𝑀1𝑀0
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝛿32 é o deslocamento na direção de X3 provocado
por X2 = 1(caso 2).
Se aplicarmos o PTV considerando apenas os
deslocamentos devidos à flexão:
Sistema Real: CASO 2 Sistema Virtual: CASO 3
𝛿 = න
𝑀 ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥 𝛿32 = න
𝑀2𝑀3
𝐸𝐼
𝑑𝑥 = න
𝑀3𝑀2
𝐸𝐼
𝑑𝑥
Expressão geral considerando a atuação de
carregamento externo:
- Termos de carga:
- Coeficientes de flexibilidade:
𝛿𝑖0 = න
𝑁𝑖𝑁0
𝐸𝐴
𝑑𝑥 + න
𝑀𝑖𝑀0
𝐸𝐼
𝑑𝑥 + න𝜒
𝑄𝑖𝑄0
𝐺𝐴
𝑑𝑥 + න
𝑇𝑖𝑇0
𝐺𝐽𝑡
𝑑𝑥
𝛿𝑖𝑗 = න
𝑁𝑖𝑁𝑗
𝐸𝐴
𝑑𝑥 + න
𝑀𝑖𝑀𝑗
𝐸𝐼
𝑑𝑥 + න𝜒
𝑄𝑖𝑄𝑗
𝐺𝐴
𝑑𝑥 + න
𝑇𝑖𝑇𝑗
𝐺𝐽𝑡
𝑑𝑥
c) Leis constitutivas dos materiais:
Relações e hipóteses utilizadas no cálculo dos
deslocamentos (termos de carga e coeficientes de
flexibilidade) pelo Princípio dos TrabalhosVirtuais.
d) Sistema de equações:
Escrevendo o sistema de equações de
compatibilidade na forma matricial, obtemos:
𝛿10
𝛿20
𝛿30
+
𝛿11 𝛿12 𝛿13
𝛿21 𝛿22 𝛿23
𝛿31 𝛿32 𝛿33
𝑋1
𝑋2
𝑋3
=
0
0
0
𝛿0 + 𝛿 𝑋 = 0
Vetor dos 
hiperestáticos
Vetor dos termos 
de carga
Matriz de 
flexibilidade
Do teorema de Maxwell temos que 𝛿𝑖𝑗 = 𝛿𝑗𝑖 .
Verificamos portanto que a matriz de flexibilidade
𝛿 é quadrada e simétrica, além de ser
independente do carregamento externo.
𝛿10
𝛿20
𝛿30
+
𝛿11 𝛿12 𝛿13
𝛿21 𝛿22 𝛿23
𝛿31 𝛿32 𝛿33
𝑋1
𝑋2
𝑋3
=
0
0
0
𝛿0 + 𝛿 𝑋 = 0
e) Obtenção dos Esforços Finais:
Os esforços finais (momentos fletores, esforços
cortantes, esforços normais e reações de apoio) da
estrutura hiperestática são obtidos por superposição
dos efeitos, a partir dos seus valores nos casos
básicos, pela expressão:
Por exemplo, para determinar o momento fletor em
um ponto qualquer da estrutura exemplo, utilizamos:
𝐸 = 𝐸0 +෍𝐸𝑖𝑋𝑖
𝑀 = 𝑀0 +𝑀1𝑋1 +𝑀2𝑋2 +𝑀3𝑋3
f) Roteiro para o Método das Forças:
1. Escolha o sistema principal (SP);
2. Traçado dos diagramas de esforços internos dos
casos básicos do sistema principal;
3. Obtenção dos termos de carga ( 𝛿𝑖0 ) e dos
coeficientes de flexibilidade (𝛿𝑖𝑗) (PTV);
4. Formulação do sistema de equações;
5. Obtenção dos hiperestáticos (solução do sistema
de equações);
6. Obtenção dos efeitos finais.
Exemplo 1:
Utilizando o Método das Forças determine a reação
momento no ponto A e os diagramas de momento
fletor e esforço cortante da viga hiperestática abaixo.
Despreze a contribuição da energia de deformação
para o efeito de cisalhamento.
𝑔𝑒𝑥𝑡 = 1
𝑔𝑖𝑛𝑡 = 0
𝑔 = 1
Sistema Principal:
S P:
Caso 0:
Caso 1:
𝛿10 + 𝛿11𝑋1 = 0
- Termos de carga:
- Coeficientes de flexibilidade:
𝛿𝑖0 = න
𝑁𝑖𝑁0
𝐸𝐴
𝑑𝑥 + න
𝑀𝑖𝑀0
𝐸𝐼
𝑑𝑥 + න𝜒
𝑄𝑖𝑄0
𝐺𝐴
𝑑𝑥 + න
𝑇𝑖𝑇0
𝐺𝐽𝑡
𝑑𝑥
𝛿𝑖𝑗 = න
𝑁𝑖𝑁𝑗
𝐸𝐴
𝑑𝑥 + න
𝑀𝑖𝑀𝑗
𝐸𝐼
𝑑𝑥 + න𝜒
𝑄𝑖𝑄𝑗
𝐺𝐴
𝑑𝑥 + න
𝑇𝑖𝑇𝑗
𝐺𝐽𝑡
𝑑𝑥
𝛿10 = න
𝑀1𝑀0
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝛿11 = න
𝑀1𝑀1
𝐸𝐼
𝑑𝑥
Caso 0:
Caso 1:
𝛿10 = න
𝑀1𝑀0
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
1
𝐸𝐼
1
3
−1
𝑝𝐿2
8
𝐿
𝛿10 = −
𝑝𝐿3
24𝐸𝐼
𝛿11 = න
𝑀1𝑀1
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
1𝐸𝐼
1
3
−1 −1 𝐿
𝛿11 =
𝐿
3𝐸𝐼
𝛿10 + 𝛿11𝑋1 = 0
−
𝑝𝐿3
24𝐸𝐼
+
𝐿
3𝐸𝐼
𝑋1 = 0
𝐿
3𝐸𝐼
𝑋1 =
𝑝𝐿3
24𝐸𝐼
𝑋1 =
𝑝𝐿3
24𝐸𝐼
3𝐸𝐼
𝐿
𝑋1 =
𝑝𝐿2
8
𝑀𝐴 = 𝑋1 =
𝑝𝐿2
8
- Diagrama de momentos fletores:
𝐸 = 𝐸0 +෍𝐸𝑖𝑋𝑖 𝑀 = 𝑀0 +𝑀1𝑋1
𝑋1 =
𝑝𝐿2
8
M
- Reações de apoio:
𝐸 = 𝐸0 +෍𝐸𝑖𝑋𝑖 𝑅 = 𝑅0 + 𝑅1𝑋1
𝑋1 =
𝑝𝐿2
8
- Diagrama de esforços cortantes:
Q
2.3 Escolha da Sistema Principal
A escolha do Sistema Principal (SP) depende da
estrutura a ser analisada:
- Quando 𝑔𝑒𝑥𝑡 > 0 , o SP pode ser obtido pela
eliminação de vínculos externos (apoios).
- Quando 𝑔𝑖𝑛𝑡 > 0 , o SP pode ser obtido pela
eliminação de vínculos internos (vínculos entre
barras).
- Uma alternativa para ambas as situações é a
introdução de rótulas internas na estrutura, como
veremos no exemplo a seguir.
Seja a estrutura hiperestática da figura abaixo com
𝑔𝑒𝑥𝑡 = 0 e 𝑔𝑖𝑛𝑡 = 3:
Fonte: Martha (2001)
Opção (A):
Uma opção de SP é a eliminação de 3 vínculos
internos obtidos pela seção S de uma das barras,
abrindo o quadro fechado.
Neste caso, os vínculos eliminados foram as
continuidades de deslocamento horizontal, vertical e
de rotação na seção S.
Fonte: Martha (2001)
Opção (B):
É a eliminação de 3 vínculos internos através da
inserção de 3 rótulas internas.
Os vínculos eliminados foram as continuidades de
rotação nos cantos do quadro.
Fonte: Martha (2001)
As rótulas poderiam ser colocadas em quaisquer
outros três pontos da estrutura, desde que não
ficassem alinhadas em uma mesma barra (instabilidade
estática).
Fonte: Martha (2019)
ESTÁVEL
SP VÁLIDO
INSTÁVEL
SP INVÁLIDO
O uso de rótulas internas, em geral, resulta em um
cálculo mais simples dos termos de carga e
coeficientes de flexibilidade, além de facilitar a
obtenção do diagrama final de momentos fletores.
Fonte: Martha (2019)
Fonte: Martha (2019)
Exemplo 2:
Utilizando o Método das Forças determine os
diagramas de momento fletor e esforço cortante da
viga hiperestática abaixo. Despreze a contribuição da
energia de deformação para o efeito de cisalhamento.
𝑔𝑒𝑥𝑡 = 2
𝑔𝑖𝑛𝑡 = 0
𝑔 = 2
Sistema Principal:
S P:
Caso 0:
Caso 1:
Caso 2:
kN.m
kN.m
𝛿10 + 𝛿11𝑋1 + 𝛿12𝑋2 = 0
𝛿20 + 𝛿21𝑋1 + 𝛿22𝑋2 = 0
- Termos de carga:
- Coeficientes de flexibilidade:
𝛿𝑖0 = න
𝑀𝑖𝑀0
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝛿𝑖𝑗 = න
𝑀𝑖𝑀𝑗
𝐸𝐼
𝑑𝑥
Caso 0:
kN.m
Caso 1:
Caso 2:
𝛿10 = න
𝑀1𝑀0
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
1
𝐸𝐼
1
3
−1 180 6 +
1
2𝐸𝐼
1
3
−1 405 9 + 0
𝛿10 = −
5805
6𝐸𝐼
𝑟𝑎𝑑
𝛿20 = න
𝑀2𝑀0
𝐸𝐼
𝑑𝑥 = 0 +
1
2𝐸𝐼
1
3
−1 405 9 +
1
𝐸𝐼
1
3
−1 45 3
𝛿20 = −
3915
6𝐸𝐼
𝑟𝑎𝑑
𝛿11 = න
𝑀1𝑀1
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
1
𝐸𝐼
1
3
−1 −1 6 +
1
2𝐸𝐼
1
3
−1 −1 9 + 0
𝛿11 =
21
6𝐸𝐼
𝑟𝑎𝑑/𝑘𝑁𝑚
𝛿12 = න
𝑀1𝑀2
𝐸𝐼
𝑑𝑥 = 0 +
1
2𝐸𝐼
1
6
−1 −1 9 + 0
𝛿12 =
9
12𝐸𝐼
𝑟𝑎𝑑/𝑘𝑁𝑚 𝛿21 = 𝛿12 =
9
12𝐸𝐼
𝑟𝑎𝑑/𝑘𝑁𝑚
𝛿22 = න
𝑀2𝑀2
𝐸𝐼
𝑑𝑥 = 0 +
1
2𝐸𝐼
1
3
−1 −1 9 +
1
𝐸𝐼
1
3
−1 −1 3
𝛿22 =
15
6𝐸𝐼
𝑟𝑎𝑑/𝑘𝑁𝑚
𝛿10 + 𝛿11𝑋1 + 𝛿12𝑋2 = 0
𝛿20 + 𝛿21𝑋1 + 𝛿22𝑋2 = 0
−
5805
6𝐸𝐼
+
21
6𝐸𝐼
𝑋1 +
9
12𝐸𝐼
𝑋2 = 0
−
3915
6𝐸𝐼
+
9
12𝐸𝐼
𝑋1 +
15
6𝐸𝐼
𝑋2 = 0
−
5805
6𝐸𝐼
+
21
6𝐸𝐼
𝑋1 +
9
12𝐸𝐼
𝑋2 = 0
−
3915
6𝐸𝐼
+
9
12𝐸𝐼
𝑋1 +
15
6𝐸𝐼
𝑋2 = 0
x 1/(12EI)
42𝑋1 + 9𝑋2 = 11610
9𝑋1 + 30𝑋2 = 7830
𝑋1 = 235,65 𝑘𝑁𝑚
𝑋2 = 190,30 𝑘𝑁𝑚
- Diagrama de momentos fletores: 𝑀 = 𝑀0 +𝑀1𝑋1 +𝑀2𝑋2
𝑋1 = 235,65 𝑘𝑁𝑚
𝑋2 = 190,30 𝑘𝑁𝑚
- Diagrama de momentos fletores: 𝑀 = 𝑀0 +𝑀1𝑋1 +𝑀2𝑋2
M
(kN.m)
- Reações de apoio: 𝑅 = 𝑅0 + 𝑅1𝑋1 + 𝑅2𝑋2
𝑋1 = 235,65 𝑘𝑁𝑚
𝑋2 = 190,30 𝑘𝑁𝑚
- Diagrama de esforços cortantes:
Q (kN)
Exemplo 3:
Utilizando o Método das Forças determine os
diagramas de momento fletor, esforço cortante e
esforço normal do pórtico hiperestático abaixo.
Despreze a contribuição da energia de deformação
para o efeito de cisalhamento e para o efeito do
esforço normal.
𝑔𝑒𝑥𝑡 = 2
𝑔𝑖𝑛𝑡 = 0
𝑔 = 2