Método das Forças - Parte II

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TC036 - Mecânica das 
Estruturas II
Prof. Marcos Arndt
2. Método das Forças – Parte 2
Exemplo 2:
Utilizando o Método das Forças determine os
diagramas de momento fletor e esforço cortante da
viga hiperestática abaixo. Despreze a contribuição da
energia de deformação para o efeito de cisalhamento.
𝑔𝑒𝑥𝑡 = 2
𝑔𝑖𝑛𝑡 = 0
𝑔 = 2
Sistema Principal:
S P:
Caso 0:
Caso 1:
Caso 2:
kN.m
kN.m
𝛿10 + 𝛿11𝑋1 + 𝛿12𝑋2 = 0
𝛿20 + 𝛿21𝑋1 + 𝛿22𝑋2 = 0
- Termos de carga:
- Coeficientes de flexibilidade:
𝛿𝑖0 = න
𝑀𝑖𝑀0
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝛿𝑖𝑗 = න
𝑀𝑖𝑀𝑗
𝐸𝐼
𝑑𝑥
Caso 0:
kN.m
Caso 1:
Caso 2:
𝛿10 = න
𝑀1𝑀0
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
1
𝐸𝐼
1
3
−1 180 6 +
1
2𝐸𝐼
1
3
−1 405 9 + 0
𝛿10 = −
5805
6𝐸𝐼
𝑟𝑎𝑑
𝛿20 = න
𝑀2𝑀0
𝐸𝐼
𝑑𝑥 = 0 +
1
2𝐸𝐼
1
3
−1 405 9 +
1
𝐸𝐼
1
3
−1 45 3
𝛿20 = −
3915
6𝐸𝐼
𝑟𝑎𝑑
𝛿11 = න
𝑀1𝑀1
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
1
𝐸𝐼
1
3
−1 −1 6 +
1
2𝐸𝐼
1
3
−1 −1 9 + 0
𝛿11 =
21
6𝐸𝐼
𝑟𝑎𝑑/𝑘𝑁𝑚
𝛿12 = න
𝑀1𝑀2
𝐸𝐼
𝑑𝑥 = 0 +
1
2𝐸𝐼
1
6
−1 −1 9 + 0
𝛿12 =
9
12𝐸𝐼
𝑟𝑎𝑑/𝑘𝑁𝑚 𝛿21 = 𝛿12 =
9
12𝐸𝐼
𝑟𝑎𝑑/𝑘𝑁𝑚
𝛿22 = න
𝑀2𝑀2
𝐸𝐼
𝑑𝑥 = 0 +
1
2𝐸𝐼
1
3
−1 −1 9 +
1
𝐸𝐼
1
3
−1 −1 3
𝛿22 =
15
6𝐸𝐼
𝑟𝑎𝑑/𝑘𝑁𝑚
𝛿10 + 𝛿11𝑋1 + 𝛿12𝑋2 = 0
𝛿20 + 𝛿21𝑋1 + 𝛿22𝑋2 = 0
−
5805
6𝐸𝐼
+
21
6𝐸𝐼
𝑋1 +
9
12𝐸𝐼
𝑋2 = 0
−
3915
6𝐸𝐼
+
9
12𝐸𝐼
𝑋1 +
15
6𝐸𝐼
𝑋2 = 0
−
5805
6𝐸𝐼
+
21
6𝐸𝐼
𝑋1 +
9
12𝐸𝐼
𝑋2 = 0
−
3915
6𝐸𝐼
+
9
12𝐸𝐼
𝑋1 +
15
6𝐸𝐼
𝑋2 = 0
x 1/(12EI)
42𝑋1 + 9𝑋2 = 11610
9𝑋1 + 30𝑋2 = 7830
𝑋1 = 235,65 𝑘𝑁𝑚
𝑋2 = 190,30 𝑘𝑁𝑚
- Diagrama de momentos fletores: 𝑀 = 𝑀0 +𝑀1𝑋1 +𝑀2𝑋2
𝑋1 = 235,65 𝑘𝑁𝑚
𝑋2 = 190,30 𝑘𝑁𝑚
- Diagrama de momentos fletores: 𝑀 = 𝑀0 +𝑀1𝑋1 +𝑀2𝑋2
M
(kN.m)
- Reações de apoio: 𝑅 = 𝑅0 + 𝑅1𝑋1 + 𝑅2𝑋2
𝑋1 = 235,65 𝑘𝑁𝑚
𝑋2 = 190,30 𝑘𝑁𝑚
- Diagrama de esforços cortantes:
Q (kN)
Exemplo 3:
Utilizando o Método das Forças determine os
diagramas de momento fletor, esforço cortante e
esforço normal do pórtico hiperestático abaixo.
Despreze a contribuição da energia de deformação
para o efeito de cisalhamento e para o efeito do
esforço normal.
𝑔𝑒𝑥𝑡 = 2
𝑔𝑖𝑛𝑡 = 0
𝑔 = 2
X2
X1
X1
X2X1
X2
X2
X1
Sistema Principal:
X2
X1
𝛿10 + 𝛿11𝑋1 + 𝛿12𝑋2 = 0
𝛿20 + 𝛿21𝑋1 + 𝛿22𝑋2 = 0
- Termos de carga:
- Coeficientes de flexibilidade:
𝛿𝑖0 = න
𝑀𝑖𝑀0
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝛿𝑖𝑗 = න
𝑀𝑖𝑀𝑗
𝐸𝐼
𝑑𝑥
Caso 0
M0
Caso 1
M1
Caso 2
M2
𝛿10 = න
𝑀1𝑀0
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
1
𝐸𝐼
0 +
1
2𝐸𝐼
1
3
−1 90 6 +
1
𝐸𝐼
0
Caso 0
M0
Caso 1
M1
EIEI
2EI
𝛿10 = −
90
𝐸𝐼
𝑟𝑎𝑑
𝛿20 = න
𝑀2𝑀0
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
1
𝐸𝐼
0 +
1
2𝐸𝐼
1
3
−1 90 6 +
1
𝐸𝐼
0
𝛿20 = −
90
𝐸𝐼
𝑟𝑎𝑑
Caso 0
M0
Caso 2
M2
𝛿11 = න
𝑀1𝑀1
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
1
𝐸𝐼
−1 −1 3 +
1
2𝐸𝐼
1
3
−1 (−1) 6 +
1
𝐸𝐼
0
𝛿11 =
4
𝐸𝐼
𝑟𝑎𝑑/𝑘𝑁𝑚
Caso 1
M1
Caso 2
M2
𝛿12 = න
𝑀1𝑀2
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
1
𝐸𝐼
1
2
−1 1 3 +
1
2𝐸𝐼
1
6
−1 (−1) 6 +
1
𝐸𝐼
0
𝛿12 = −
1
𝐸𝐼
𝑟𝑎𝑑/𝑘𝑁𝑚
Caso 1
M1
Caso 2
M2
𝛿21 = න
𝑀2𝑀1
𝐸𝐼
𝑑𝑥 = 𝛿12
𝛿21 = −
1
𝐸𝐼
𝑟𝑎𝑑/𝑘𝑁𝑚
𝛿22 = න
𝑀2𝑀2
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
1
𝐸𝐼
1
3
1 1 3 +
1
2𝐸𝐼
1
3
−1 (−1) 6 +
1
𝐸𝐼
1
3
1 1 3
𝛿22 =
3
𝐸𝐼
𝑟𝑎𝑑/𝑘𝑁𝑚
𝛿10 + 𝛿11𝑋1 + 𝛿12𝑋2 = 0
𝛿20 + 𝛿21𝑋1 + 𝛿22𝑋2 = 0
−
90
𝐸𝐼
+
4
𝐸𝐼
𝑋1 −
1
𝐸𝐼
𝑋2 = 0
−
90
𝐸𝐼
−
1
𝐸𝐼
𝑋1 +
3
𝐸𝐼
𝑋2 = 0
x 1/EI
4𝑋1 − 𝑋2 = 90
−𝑋1 + 3𝑋2 = 90
𝑋1 = 32,73 𝑘𝑁𝑚
𝑋2 = 40,91 𝑘𝑁𝑚
- Diagrama de momentos fletores: 𝑀 = 𝑀0 +𝑀1𝑋1 +𝑀2𝑋2
𝑋1 = 32,73 𝑘𝑁𝑚 𝑋2 = 40,91 𝑘𝑁𝑚
Caso 1
M1
Caso 2
M2
- Diagrama de momentos fletores: 𝑀 = 𝑀0 +𝑀1𝑋1 +𝑀2𝑋2
M
(kN.m)
Caso 0
M0
- Diagrama de esforços cortantes:
Q (kN)
- Diagrama de esforços normais:
N (kN)
2.4 Estruturas Hiperestáticas Sujeitas a 
Recalques de Apoio – Método das 
Forças
Em estruturas hiperestáticas, recalques diferenciados
provocam deformações e esforços internos.
No Método das Forças:
Caso 0 : Sistema Principal sujeito à recalques de apoio
Portanto, os termos de carga 𝛿𝑖𝑜 serão
deslocamentos no S.P., na direção do hiperestático Xi,
devidos aos recalques de apoio.
Do PTV:
𝛿𝑖𝑜 = −෍𝑅𝑖𝜌0
Reação de apoio na direção do recalque 𝜌0 provocada por Xi = 1 (caso i)
Se na estrutura atuarem simultaneamente
carregamento externo e recalque, aplicando a
superposição dos efeitos teremos:
Carregamento externo:
Recalque:
Logo:
Portanto, para obtermos os hiperestáticos quando
atuam recalques e carregamento externo, basta
considerarmos sua atuação simultânea no caso 0,
através da expressão:
𝛿0 + 𝛿 𝑋𝑐 = 0
𝛿𝑟 + 𝛿 𝑋𝑟 = 0
𝛿0 + 𝛿𝑟 + 𝛿 𝑋𝑐 + 𝛿 𝑋𝑟 = 0
𝛿0 + 𝛿𝑟 + 𝛿 𝑋𝑐 + 𝑋𝑟 = 0
𝛿𝑖0 = න
𝑁𝑖𝑁0
𝐸𝐴
𝑑𝑥 +න
𝑀𝑖𝑀0
𝐸𝐼
𝑑𝑥 + න𝜒
𝑄𝑖𝑄0
𝐺𝐴
𝑑𝑥 +න
𝑇𝑖𝑇0
𝐺𝐽𝑡
𝑑𝑥 −෍𝑅𝑖𝜌0
Exemplo 4:
Utilizando o Método das Forças determine os
diagramas de momento fletor, esforço cortante e
esforço normal do pórtico hiperestático abaixo, com
EI = 105 kN.m2. Despreze a contribuição da energia
de deformação para o efeito de cisalhamento e para
o efeito do esforço normal.
𝑔𝑒𝑥𝑡 = 2
𝑔𝑖𝑛𝑡 = 0
𝑔 = 2
𝛿10 + 𝛿11𝑋1 + 𝛿12𝑋2 = 0
𝛿20 + 𝛿21𝑋1 + 𝛿22𝑋2 = 0
- Termos de carga:
- Coeficientes de flexibilidade: 𝛿𝑖𝑗 = න
𝑀𝑖𝑀𝑗
𝐸𝐼
𝑑𝑥
X1
X2X1
X2
𝛿𝑖0 = −෍𝑅𝑖𝜌0
SP
Caso 0
M0
Caso 1
M1
Caso 2
M2
𝛿10 = −෍𝑅1𝜌0 = − 0 −0,02 +
1
6
−0,01 + 1 10−3
Caso 1
M1
𝛿10 = 6,67 10
−4𝑟𝑎𝑑
Caso 0
M0
Convenção de Sinais
𝛿20 = −෍𝑅2𝜌0 = −
1
3
−0,02 + −
1
6
−0,01 + (−1) 10−3
𝛿20 = 0,006 𝑟𝑎𝑑 = 60 10
−4𝑟𝑎𝑑
Caso 0
M0
Convenção de Sinais
Caso 2
M2
𝛿11 = න
𝑀1𝑀1
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
1
𝐸𝐼
−1 −1 3 +
1
2𝐸𝐼
1
3
−1 (−1) 6 +
1
𝐸𝐼
0
𝛿11 =
4
𝐸𝐼
=
4
105
= 0,4 10−4𝑟𝑎𝑑/𝑘𝑁𝑚
Caso 1
M1
Caso 2
M2
𝛿12 = න
𝑀1𝑀2
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
1
𝐸𝐼
1
2
−1 1 3 +
1
2𝐸𝐼
1
6
−1 (−1) 6 +
1
𝐸𝐼
0
𝛿12 = −
1
𝐸𝐼
= −
1
105
= −0,1 10−4 𝑟𝑎𝑑/𝑘𝑁𝑚
Caso 1
M1
Caso 2
M2
𝛿21 = න
𝑀2𝑀1
𝐸𝐼
𝑑𝑥 = 𝛿12
𝛿21 = −
1
𝐸𝐼
= −0,1 10−4 𝑟𝑎𝑑/𝑘𝑁𝑚
𝛿22 = න
𝑀2𝑀2
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
1
𝐸𝐼
1
3
1 1 3 +
1
2𝐸𝐼
1
3
−1 (−1) 6 +
1
𝐸𝐼
1
3
1 1 3
𝛿22 =
3
𝐸𝐼
=
3
105
= 0,3 10−4𝑟𝑎𝑑/𝑘𝑁𝑚
𝛿10 + 𝛿11𝑋1 + 𝛿12𝑋2 = 0
𝛿20 + 𝛿21𝑋1 + 𝛿22𝑋2 = 0
6,67 10−4 + 0,4 10−4𝑋1 − 0,1 10
−4𝑋2 = 0
60 10−4 − 0,1 10−4𝑋1 + 0,3 10
−4𝑋2 = 0
x 105
4𝑋1 − 𝑋2 = −66,67
−𝑋1 + 3𝑋2 = −600
𝑋1 = −72,73 𝑘𝑁𝑚
𝑋2 = −224,25 𝑘𝑁𝑚
- Diagrama de momentos fletores: 𝑀 = 𝑀0 +𝑀1𝑋1 +𝑀2𝑋2
𝑋1 = −72,73 𝑘𝑁𝑚 𝑋2 = −224,25 𝑘𝑁𝑚
Caso 1
M1
Caso 2
M2
M
(kN.m)
- Diagrama de esforços cortantes:
Q (kN)
- Diagrama de esforços normais:
N (kN)
Exemplo 5:
Utilizando o Método das Forças determine o
diagrama de momento fletor do pórtico
hiperestático abaixo, com E = 108 kN/m2 e I = 10-3 m4
. Despreze a contribuição da energia de deformação
para o efeito de cisalhamento e para o efeito do
esforço normal.
𝑔𝑒𝑥𝑡 = 1
𝑔𝑖𝑛𝑡 = 0
𝑔 = 1