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Aula 3
Direções e Planos 
Cristalográficos
Disciplina: Materiais de Construção Mecânica I
Profa: Maria Roseane de Pontes Fernandes
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Posições Atômicas
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Deformação em metais envolve 
deslizamento de planos atômicos. O 
deslizamento ocorre mais facilmente 
nos planos e direções de maior 
densidade atômica.
Por que estudar direções e 
planos?
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DireDireçções Cristalogrões Cristalográáficasficas
Direções cristalográficas são definidas 
pela linha entre dois pontos, ou um vetor 
– Vetor Direção
O vetor é posicionado de modo a passar 
pela origem do sistema de coordenadas
O tamanho do vetor depende das 
dimensões da célula unitária
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Direções cristalográficas [l,m,n]
• São expressas por 3 nos inteiros com a mesma 
relação de um vetor naquela direção.
• Os componentes do vetor são dados como múltiplos dos 
vetores de base.
• A direção da diagonal em sistema tipo paralelepípedo tem 
as componentes 1a, 1b, 1c, ou seja: [111]
• Em cristal cúbico, a direção [l,m,n] é perpendicular ao plano 
(l,m,n). Ex. [100] é perpendicular ao plano (100)
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Direções cristalográficas [l,m,n]
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DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS
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DIREÇÕES PARA O SISTEMA CÚBICO
• A simetria desta estrutura permite que as 
direções equivalentes sejam agrupadas para
formar uma família de direções:
• <100> para as faces
• <110> para as diagonais das faces
• <111> para a diagonal do cubo <110>
<100>
<111>
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y
x
z
O
T
Quando as coordenadas são 
frações:
• Devemos reduzi-las 
a um número 
inteiro. 
b
c
a
Projeção sobre 
o eixo y (b)
Projeção sobre 
o eixo x (a/2)
(1/2 , 1, 0)
• OT ⇒ (1/2, 1, 0). 
Multiplicando por 
2 ⇒ [120]
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Também podem existir índices 
negativos
b
c
a
y
x
z
-a
-y
P
Direção [110]
• É representado pela colocação de uma barra 
sobre o índice.
• Exemplo: [1 1 0], componente na direção -y.
O
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Direções para o sistema CCC
• No sistema CCC os 
átomos se tocam ao 
longo da diagonal do 
cubo, que 
corresponde a família 
de direções <111>.
• Então, a direção 
<111> é a de maior 
empacotamento 
atômico.
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Direções para o sistema CFC
• No sistema CFC os 
átomos se tocam ao 
longo da diagonal da 
face, que 
corresponde a família 
de direções <110>.
• Então, a direção 
<110> é a de maior 
empacotamento 
atômico. 
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Problemas
• Desenhe numa célula cúbica unitária as seguintes 
direções:
[100], [112], [111] e [110]
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Problemas
• Determine os índices para a direção que está
mostrada na figura abaixo:
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PLANOS CRISTALINOS
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PLANOS CRISTALINOS
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Índices de Miller: Planos Cristalográficos
Determinação dos índices de Miller de um plano cristalográfico:
• Determinar os interceptos do plano com os eixos do sistema de coordenadas 
em termos dos parâmetros de rede a, b e c.
• Obter os recíprocos destes três interceptos. Se o plano for paralelo a um dos
eixos, considera-se o intercepto infinito e o seu recíproco zero.
• Representar na forma ( h k l)
x
y
z
Qual é o plano?
(111)
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Desenhar, em uma célula unitária cúbica, o seguinte 
plano:
(101)
x
y
z
Recíprocos: ( 1/1, 1/∞, -1/1 )
x
y
z
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Desenhar, em uma célula unitária cúbica, o seguinte 
plano:
(211)
x
y
z
Recíprocos: ( 1/2, -1/1, 1/1 )
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Desenhar, em uma célula unitária cúbica, o seguinte 
plano:
(012)
x
y
z
Recíprocos: (1/∞, 1/1, 1/2 )
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PLANOS CRISTALINOS
z
y
x
(i) Esse plano intercepta os eixos 
x,y e z às distâncias 1, ∞, ∞.
(ii) Vamos tomar os inversos 
dessas interseções que são 
1, 0, 0.
(iii) Logo, os índices de Miller 
deste plano são (100).
Plano (100)
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PLANOS CRISTALINOS
Planos (010)
• São paralelos aos eixos x 
e z (paralelo à face)
• Cortam um eixo (y em 1 
e os eixos x e z em ∞)
• 1/ ∞, 1/1, 1/ ∞ = (010)
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PLANOS CRISTALINOS
Planos (110)
• São paralelos ao eixos z
• Cortam dois eixos (x e y) 
• 1/ 1, 1/1, 1/ ∞ = (110)
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PLANOS CRISTALINOS
Planos (111)
• Cortam os 3 eixos
cristalográficos
• 1/ 1, 1/1, 1/ 1 = (111)
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Sistema de Deslizamento
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Sistema de Deslizamento
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PLANOS NO SISTEMA 
CÚBICO
• A simetria do sistema cúbico faz com que a 
família de planos tenham o mesmo arranjo e 
densidade;
• Deformação em metais envolve deslizamento
de planos atômicos. O deslizamento ocorre
mais facilmente nos planos e direções de maior
densidade atômica.
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PLANOS DE MAIOR DENSIDADE 
ATÔMICA NO SISTEMA CCC
• A família de planos
{110} no sistema ccc
é o de maior
densidade atômica
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PLANOS DE MAIOR DENSIDADE 
ATÔMICA NO SISTEMA CFC
• A família de planos
{111} no sistema cfc é
o de maior densidade
atômica
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Índices de Miller no sistema HC
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Planos cristalográficos no sistema 
HC
a1
a2
a3
(2110)
Recíprocos: ( 1/2, -1/1, -1/1, 1/∞)
c
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Resumo
Posições atômicas = , , 
Direções atômicas = [ ] 
Família de direções = < > 
Plano = ( ) 
Família de planos = { } 
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Exemplos
1- Determine os índices para o plano mostrado na célula unitária 
hexagonal mostrada abaixo. 
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Exemplos
2- Determine os índices de Miller para os planos mostrados na célula 
unitária abaixo. 
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Para o plano A: 
Obs.: como o plano A passa através da origem, 
uma nova origem deve ser escolhida no vértice 
de uma célula unitária adjacente.
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Para o plano B: