Calc das Prob e Estat I AULA 11 Distribuição Amostral das Medias

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Distribuição Amostral das Médias.
Unidade III - Aula 11
Disciplina: Cálculo das Probabilidades e Estatística I
Professor: ELMIRO
2015-1
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
CENTRO DE CIÊNCIA EXATAS E DA NATUREZA
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
Distribuições Amostrais.
Introdução.
A Inferência Estatística é um conjunto de técnicas que
objetiva estudar a população através de evidências fornecidas por
uma amostra
É a amostra que contém os elementos que podem ser
observados e, a partir daí, quantidades de interesse podem ser
medidas.
Continuação...
O que precisamos saber:
 A Distribuição Amostral: Retrata o comportamento de uma
estatística (média, proporção, entre outras), caso retirássemos
todas as possíveis amostras de tamanho “n” de uma população.
 Uma estatística: É uma função da amostra. Uma amostra
consiste de observações de uma variável aleatória. Assim,
estatísticas também são variáveis aleatórias e, por isso, possuem
uma distribuição de probabilidade.
Continuação...
Uma Distribuição Amostral é a distribuição de probabilidade
de uma estatística da amostra formada quando amostras de tamanho
“n” são colhidas várias vezes de uma população. Se a estatística da
amostra for a média, então a distribuição obtida será a “distribuição
amostral das médias amostrais”. De forma idêntica: se a estatística
de amostra for a proporção, então a distribuição obtida será a
“distribuição amostral das proporções amostrais”.
x2
x3
x7x5 x6 x9
x10 x11
x14
x13
x4
x15
x8
x12
....
Amostra 1 Amostra 2 Amostra 3
Amostra 4 Amostra 5 Amostra 6
Amostra 7 Amostra 8 Amostra 9
𝑥1 𝑥2 𝑥3
𝑥4 𝑥5 𝑥6
𝑥7 𝑥8 𝑥9População
A distribuição amostral é formada pela médias de todas a
amostras: 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6, 𝑥7, 𝑥8, 𝑥9, .....
Continuação...
Como funciona:
Considere uma população de 5 elementos (N = 5): 2,
3, 4, 5 e 6. Represente-a graficamente. Calcule sua média e
desvio padrão. Determine todas as amostras possíveis com
reposição e calcule a média e a variância.
Na população, temos que µ=4 e σ2=2.
Valor de x f fr
2 1 0,2
3 1 0,2
4 1 0,2
5 1 0,2
6 1 0,2
 5 1,0
Continuação...
Amostras 𝒙 f fr
(2,2) 2,0 1 0,04
(2,3)(3,2) 2,5 2 0,08
(2,4)(3,3)(4,2) 3,0 3 0,12
(2,5)(3,4)(4,3)(5,2) 3,5 4 0,16
(2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2) 4,0 5 0,20
(3,6)(4,5)(5,4)(6,3) 4,5 4 0,16
(4,6)(5,5)(6,4) 5,0 3 0,12
(5,6)(6,5) 5,5 2 0,08
(6,6) 6,0 1 0,04
 - 25 1,00
Construção da distribuição das médias
Continuação...
O que se pode concluir:
 A distribuição de frequência dos valores de x, em uma
população de 5 valores, é igualmente prováveis;
 Apesar dos 5 valores de x serem igualmente frequentes (fr =
0,20 para cada um) na população original, as médias
amostrais com valor próximo de 4,0 são mais frequentes do
que as médias mais extremas.
 A distribuição de frequência das médias de 2 elementos,
obtidas dessa população, se aproxima da curva da
distribuição normal;
Continuação...
 Quando as amostras são grandes, as médias de todas as
amostras possíveis, de igual tamanho, retiradas
aleatoriamente de uma população, distribuem-se segundo
uma curva normal
Teorema do Limite Central. 
Curva Normal
Continuação...
Formalizando:
Considere uma variável aleatória com qualquer
distribuição de probabilidade, tendo media 𝜇 e variância 𝜎2.
Se amostras de tamanho “n” forem retiradas
aleatoriamente desta população, e se forem analisadas a
distribuição das médias de todas estas amostra, observaremos
que, a medida que o tamanho da amostra aumenta, a
distribuição amostral das média tende a uma distribuição
normal, cuja média será dada por: 𝜇𝑥 = 𝜇 e variância,
(denominada erro padrão da média) dada por: 𝜎𝑥
2 =
𝜎2
𝑛
Observações importantes.
 Se amostras de qualquer
tamanho forem retiradas uma
população com distribuição
normal com media 𝜇 e variancia
𝜎2, então:
a distribuição amostral das
média terá distribuição normal,
com média 𝜇𝑥 = 𝜇 e variância
e 𝜎𝑥
2 =
𝜎2
𝑛
Continuação...
𝜇
𝜇𝑥
Continuação...
 Se amostras de tamanho n≥30,
forem retiradas de uma
população com qualquer tipo de
distribuição, com media 𝜇 e
variância 𝜎2 então:
a distribuição amostral das
média terá distribuição normal,
com média 𝜇𝑥 = 𝜇 e variância e
𝜎𝑥
2 =
𝜎2
𝑛
Continuação...
 Seja (X1, X2, ..., Xn ) uma amostra aleatória simples retirada de
uma população qualquer. Se X1, X2,...,Xn são independentes,
com E(Xi) =  e Var(Xi) = 2. Então, se X tem distribuição normal,
ou n≥30, (Teorema do Limite Central), temos que:
𝑋~𝑁 𝜇;
𝜎2
𝑛
, logo 𝑍 =
𝑋−𝜇
 
𝜎
𝑛
~𝑁 0; 1 onde
𝜇𝑥 = 𝜇 e 𝜎𝑥
2 =
𝜎2
𝑛
.
Assim teremos: 𝜇 e 𝜎  média e desvio padrão da população e
𝜇𝑥 e 𝜎𝑥  média e desvio padrão da distribuição amostral das 
média. 
Continuação...
Observação:
 Se forem extraídas todas as amostras de tamanho n (sem
reposição) de uma população finita de tamanho N, então
temos que:
 A quantidade é conhecida como o fator de correção
amostral para população finita, ou simplesmente “Fator de
Correção”.
Observação: Uma população, que tem um limite superior
definido, é chamada de finita. Em estatística, consideramos
como população finita aquela em que (n/N) > 0,05, ou seja,
quando a fração amostral é superior a 5 %.
1N
nN
n
 e 
X 



X
1N
nN


Continuação...
Exemplo:
A altura dos estudantes da turma de Cálculo das
Probabilidades e Estatística tem distribuição normal com média
172 cm e desvio padrão 9 cm. Uma amostra de 25 estudantes
é retirada.
a) Qual a probabilidade de que a média amostral seja acima
de 175 cm?
b) Qual a probabilidade de que a média amostral esteja entre
170 e 176 cm?
c) Qual deve ser a altura média dos estudantes que permita
que em 90% das vezes a média amostral seja inferior a este
valor.
Continuação...
Distribuição amostral da proporção
Considere uma população em que cada elemento é
classificado de acordo com a presença ou ausência de
determinada característica. Por exemplo, podemos pensar em
eleitores escolhendo entre 2 candidatos; pessoas classificadas
de acordo com o sexo, etc.
Assim desta forma vamos considerar uma população
em que a proporção de elementos com uma certa
característica é p. Logo, podemos definir uma variável
aleatória X como:
𝑋 = 
1, 𝑠𝑒 𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑖 𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑎𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎,
0, 𝑠𝑒 𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑖 𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑎𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎
Continuação...
População: 𝑵 = 𝑵𝑨 +𝑵𝑨
Parâmetro:
p = proporção de 
elementos que tem a 
característica A 
Amostra
X1, X2, ..., Xn
0 ou 1
1=com o atributo
0=sem o atributo 
Continuação...
 Retira-se uma amostra aleatória simples de tamanho n
dessa população. Seja 𝑆𝑛 = 𝑖=1
𝑛 𝑋𝑖 o número de indivíduos
com a característica de interesse na amostra, então teremos
que Sn ~ Binomial(n, p).
 A variável aleatória Sn tem distribuição binomial com
parâmetros n e p. Desta forma, probabilidades envolvendo a
proporção amostral podem ser calculadas de modo exato
usando esta distribuição.
 Caso o valor de n seja muito grande, essas probabilidades
darão algum trabalho para serem calculadas e torna-se
conveniente utilizarmos a aproximação Normal como
aproximação.
Continuação...
Como usar este resultado
A Distribuição Amostral de 𝒑 pode ser aproximada por
uma distribuição normal sempre que o tamanho da amostra for
grande, ou seja, pode-se utilizar essa aproximação se as
seguintes condições são satisfeitas:
• np ≥ 5
• n(1-p) ≥ 5
Sabemos que 𝑋 =
𝑆𝑛𝑛
tem distribuição normal para n
suficientemente grande. Seja então 𝑝 = 𝑋 , a proporção
amostral, então teremos que:
 𝑝~𝑁 𝑝;
𝑝(1−𝑝)
𝑛
logo 𝑍 =
 𝑝−𝑝
 𝑝(1−𝑝) 𝑛
~𝑁 0; 1 onde
𝜇 𝑝 = 𝑝 e 𝜎 𝑝
2 =
𝑝(1−𝑝)
𝑛
Continuação...
Suponha que podemos extrair todas as amostras de
tamanho n (sem reposição) de uma população finita de
tamanho N, neste caso temos que:
A quantidade
𝑁−𝑛
𝑁−1
é denominada de fator de correção
amostral para população finita, ou simplesmente “Fator de Correção”.
Se o tamanho da população for muito grande, infinito, ou
ainda se a amostragem for feita com reposição, os resultados acima
passam a ser:
1
)1(
ˆˆ



N
nN
n
pp
p pp  e 
n
pp
pp
)1(
ˆˆ


p
 e 
Continuação...
Exemplo 1:
De acordo com os estudos realizados pela Cagepa, no
município de João Pessoa, o consumo mensal de água por
residência tem distribuição normal com média 20 m3 e
variância de 144 m3.
a) Em uma amostra de 36 residências, qual a
probabilidade de que a média amostral não se afaste da
verdadeira média populacional por mais de 2 m3?
b) Devida a escassez de água nos reservatórios, a
empresa deseja estipular um consumo médio de forma
que em 95% das vezes o consumo médio amostral seja
inferior a este valor. Qual deve ser o valor estipulado
pela Cagepa?
Continuação...
Exemplo 2
Com base em dados obtidos em uma pesquisa de
mercado, observou-se que a aceitação de um determinado
sabonete é de 70%.
a) Que tamanho da amostra deve ser retirada para se ter
um nível de confiança de 95% e um erro amostral de no
máximo 3%?
b) Se a empresa entrevistou 100 consumidores, qual a
probabilidade de que a proporção amostral de aceitação
do sabonete esteja entre 65% e 78%?