Lei de Gauss

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Cap. 24 LEI DE GAUSS
	Capítulo anterior  Cálculo de E Distribuição de Cargas 
		(Lei de Coulomb que governa a Eletrostática)
	Este Capítulo  Outro processo (distribuição SIMÉTRICA)
(Exemplo de Problema de Simetria: CM de uma Batata e da Esfera)
I. Introdução:
Lei de Gauss  Nova formulação da Lei de Coulomb
Problemas de Eletrostática  Completamente Equivalente à Lei de Coulomb
Ajuda a entender problemas mais Complicados
Importância Fundamental no Estudo de Campos Eletrostáticos 
	
O ponto central da Lei de Gauss é uma superfície fechada hipotética chamada de SUPERFÍCIE GAUSSIANA (SG) 
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Idéia Central  Definir a Superfície Gaussiana (hipotética)
	  Fechada com Simetria do Problema
	  Definir Pontos dentro, fora e sobre a superfície
A Lei de Gauss determina a Carga Líquida Envolta p/ Superfície
Para isso basta calcular o Campo Elétrico através da superfície
Ou seja
O Fluxo de Campo Elétrico através da Superfície 
II. Fluxo: Fluxo  ESCOAR (Latin) matéria, ESCALAR
“O Fluxo Elétrico é uma medida do número de linhas do campo elétrico que atravessam certa superfície”
“O número de linhas que atravessa é independente da forma da superfície que envolve a carga” 
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Campo Elétrico é VETOR  Nova Interpretação de FLUXO
Suponha: 	- Uma corrente de ar larga
		- Velocidade v na direção de pequena malha
		- Malha quadrada com área A
Seja  a vazão Volumétrica (volume/unidade Tempo) na malha
 Depende do ângulo  entre V e o plano 
(Fluxo de Volume)
Onde definimos Ā, o vetor área, com módulo igual a Área e direção normal ao plano 
Campo de Velocidade
Através da malha

Fluxo = Campo x Área
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II. Fluxo de Campo Elétrico (Vetor):
Considere a Figura: SG Assimétrica
			(arbitrária)
Região com Campo Elétrico NÃO-Uniforme E
Como Resolver?
1. Considere alguns dos pontos onde E cruza c/a SG	
2. Dividir a superfície em pequenas áreas planas A 
3. O vetor A representa cada elemento de área 	(A, perpendicular, p/fora)
4. A pequenas  E uniforme dentro dela
O Fluxo () de E através desta superfície A é definido por:

Para obter o valor exato do fluxo de campo elétrico fazer A  dA  0
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Portanto, no limite o Fluxo Elétrico através de uma SG é dado por:
(N·m2/C)
“O fluxo elétrico  através de uma superfície gaussiana é proporcional ao número resultante de linhas de campo elétrico que atravessam essa superfície” 
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III. A Lei de Gauss:
“A Lei de Gauss relaciona o fluxo resultante  de um campo elétrico E através de uma SG (fechada) com a carga resultante qenv que é envolvida por essa superfície” 
Ela nos diz que: (Para cargas no vácuo ou no ar)
(Lei de Gauss)
Onde a qenv é a soma algébrica de todas as cargas + ou – envoltas:
		- qenv +   res para fora da SG
		- qenv -   res para dentro da SG
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Exemplo: Duas cargas pontuais com mesma intensidade mas 	 com sinais contrários
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III. A Lei de Gauss e a Lei de Coulomb:
“Elas são equivalentes e, portanto, podemos deduzir uma a partir da outra” 
Considere uma carga pontual positiva q. Vamos aplicar as duas leis para determinar o campo elétrico num ponto P a uma distancia r da carga
r
SG
Simetria Esférica  SG esférica (raio r)
E radial, perpendicular à SG, E = kq/r2 (Lei de Coulomb)
(Campo Uniforme em r)
(Lei de Gauss)
A)
B)
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IV. Um Condutor Carregado Isolado :
Teorema sobre condutores isolados
“Se uma carga em excesso for colocada em um condutor isolado, essa quantidade de carga se moverá inteiramente para a superfície do condutor. Nenhuma parcela do excesso de carga será encontrada no interior do corpo do condutor” 
Verificar usando a Lei de Gauss
 1. Condutor Carregado Isolado
 SG próximo da superfície do corpo metal (cargas fora dela)
 O Campo Elétrico no interior deve ser Nulo (senão interage com 
 os elétrons livres  Sempre existiria corrente no interior)  E=0
 A Lei de Gauss  A Qresult dentro da SG é Nula  Esta na Superfície
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2. Condutor Isolado com uma Cavidade
 O Campo Elétrico no interior deve ser Nulo (cargas na superfície)
 SG envolvendo a cavidade próximo da superfície interna do corpo
 Como E = 0 dentro do Condutor  =0  Por Gauss qenv = 0 
 
Não existe nenhuma carga resultante sobre a parede da cavidade
V. Aplicação da Lei de Gauss:
1. Simetria Cilíndrica:
 Barra Cilíndrica de Plástico infinitamente Longa
 Densidade Linear de Carga + Uniforme 
 Determinar o Campo E em P, distância r
SG  Cilindro coaxial, raio r e comprimento h

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2. Simetria Plana:
A) Placa Não-Condutora: (Fina, infinita, densidade uniforme)
 Filme fino de Plástico (carregado uniformemente +q de um lado, )
Qual é o Campo Elétrico a uma distância r da superfície da Placa?
Solução: - Superfície SG  Cilindro Fechado área A 
	 - Perpendicular a Placa  Paralelo ao Campo E (Uniforme)
	 - Atravessam as duas bases do Cilindro (Placa Não Condutora) 
Fluxo:
Aplicando Gauss:
Portanto 

(Placa Não-Condutora)
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B) Placa Condutora: (Fina, infinita, densidade uniforme)
- Carregada uniformemente +q  
Solução: - Superfície SG  Cilindro Fechado área A 
	 - Perpendicular a Placa  Paralelo ao Campo E (Uniforme)
	 - Campo Atravessa só uma base do Cilindro (Einterno é Nulo)
	 - qenv = .A e o E é uniforme   = E.A 
Aplicando Gauss:

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3. Simetria Esférica:
Vamos aplicar a Lei de Gauss para provar os dois Teoremas das Cascas
“Uma casca uniformemente carregada atrai ou repele uma partícula carregada que está fora da casca como se toda a carga da casca estivesse concentrada no centro da casca”
 Casca de raio R e Carga Total Superficial q 
 Vamos considerar a SG S2 de raio r  R
Aplicando Gauss (já fizemos):

Casca Esférica r  R, 
Igual para Carga Pontual
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“Uma casca com carga uniforme não exerce nenhuma força eletrostática sobre uma partícula carregada que esteja localizada no interior da casca.” 
Aplicando Gauss sobre S1 (r<R) teremos que:
 Casca de raio R e Carga Total Superficial q 
 Vamos considerar a SG S1 de raio r < R
E = 0 (Não tem Carga Interna)
Portanto, uma carga dentro da esfera não sofreria a ação de qualquer Força Eletrostática resultante sobre ela
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Distribuição Esférica de Carga:
- Distrib. Volum. de cargas  (varia com o raio r da SG)
- Fora da Casca r > R (O E é Igual para Carga Pontual)
- Dentro da Casca r  R o E vai depender da carga q’ dentro da SG
- Se a carga for uniforme  q (dentro de R) será proporcional a q’
Ou seja:
 
Campo no Interior de 
uma Esfera Uniforme de Carga