RESMAT Exercicios Resolvidos Unidade 5

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FUNDAÇÃO EDUCACIONAL DE FERNANDÓPOLIS – FEF 
FACULDADES INTEGRADAS DE FERNANDÓPOLIS – FIFE 
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
DISCIPLINA DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 
Prof. Me. Edson Florentino de Souza 
 
 
EP 5.1. Nos itens a seguir, obter os eixos principais e os momentos principais de inércia para as seções transversais 
esbeltas de espessura constante. 
 
A) B) 
 
 
 
 
 
 
 
EP 5.2. Na viga representada pelas figuras a seguir, a carga de 20 kN aplicada na extremidade do balanço atua num plano 
vertical que passa pelo CG da seção (eixo y). Desprezando o peso próprio da viga, pede-se obter os valores das 
tensões normais máximas de tração e compressão. 
 
 
 
EP 5.3. A figura a seguir apresenta um pilar de seção assimétrica submetido a uma carga de compressão excêntrica. Pede-
se obter as tensões máximas de tração e de compressão atuantes na seção transversal do pilar. 
UNIDADE 5 – Flexão Assimétrica – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
DADOS/INFORMAÇÕES ADICIONAIS 
Características geométricas da seção transversal em relação aos eixos centrais de inércia: 
A = 1200 cm²; Ix = 290000 cm4; Iy = 200000 cm4 e Ixy = - 60000 cm4 
 
EP 5.4. A figura a seguir apresenta um pilar de seção assimétrica submetido a uma carga de tração excêntrica. Pede-se 
obter as tensões máximas de tração e de compressão atuantes na seção transversal do pilar. 
 
 
EP 5.5. Um perfil de chapa dobrada (seção esbelta) está submetido a uma 
carga de compressão excêntrica aplicada em uma chapa soldada em 
uma de suas extremidades; conforme indica a figura. Pede-se obter as 
tensões máximas de tração e de compressão atuantes na seção 
transversal do perfil. 
 
 
 
 
 
EP 5.1. A) 
 
 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS EM RELAÇÃO AOS EIXOS CENTRAIS (x e y) 
 
 
Elemento inclinado: 
 
 
 
4 4
x
4
y
4
xy
0,5 15³
I 140,625cm I Isen² 140,625 0,6² 50,625cm
12
I I cos² 140,625 0,8² 90cm
I I cos sen 140,625 0,8 0,6 67,5cm

       
    
      
 
 
i x´ (cm) y´ (cm) A (cm²) A.x´ (cm³) A.y´ (cm³) tx (cm) ty (cm) 
① 0,00 6,00 6,00 0,00 36,00 5,88 0,62 
② 6,00 8,00 6,00 36,00 48,00 -0,12 -1,38 
③ 10,50 6,00 7,50 78,75 45,00 -4,62 0,62 
SOMA A=19,50 cm² 114,75 129,00 -- -- 
'
i i
cg
A .x 114,75
x 5,88cm
A 19,5
  


; '
i i
cg
A .y 129
y 6,62cm
A 19,5
  


 
i Ix´ (cm4) A.tx² (cm4) Iy´ (cm4) A.ty² (cm4) Ixy´ (cm4) A.txty (cm4) 
① 
312 0,5
0
12

 207,77 30,5 12
72
12


 2,27 0,00 21,73 
② 30,5 12
72
12


 0,08 312 0,5
0
12

 11,50 0,00 0,96 
③ 50,625 159,76 90,00 2,84 67,50 -21,30 
SOMA Ix = 490,24 cm4 Iy = 178,62 cm4 Ixy = 68,88 cm4 
 
 
Elemento h(cm) v(cm) L (cm) cos =h/L sen =v/L 
③ 12 9 15 0,8 0,6 
SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS 
 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS EM RELAÇÃO AOS EIXOS PRINCIPAIS 
 
 
MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA: 
 
 
42
1x y x y1 2
xy
42
2
I 504,79cmI I I II
I
I 2 2 I 164,07cm
  
    
  
 
 
 EIXOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA: 
 
 
xy o
1
1 y
I 68,88
arctg arctg 11,93
I I 504,79 178,62
   
          
 
 
 
 
 
 
 
EP 5.1. B) 
 
 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS EM RELAÇÃO AOS EIXOS CENTRAIS (x e y) 
 
Elemento inclinado: 
 
 
 
4 4
x
4
y
4
xy
0,4 5³
I 4,167cm I Isen² 4,167 0,5² 3,125cm
12
I I cos² 4,167 0,866² 1,042cm
I I cos sen 4,167 0,5 0,866 1,804cm

       
    
         
 
 
i x´ (cm) y´ (cm) A (cm²) A.x´ (cm³) A.y´ (cm³) tx (cm) ty (cm) 
① 0,00 9,75 4,60 0,00 44,85 2,625 -1,912 
② 4,00 4,00 3,20 12,80 12,80 -1,375 3,838 
③ 8,00 2,00 1,60 12,80 3,20 -5,375 5,838 
④ 2,165 14,25 2,00 4,33 28,50 0,460 -6,412 
SOMA 11,40 29,93 89,35 -- -- 
'
i i
cg
A .x 29,93
x 2,625cm
A 11,40
  


; '
i i
cg
A .y 89,35
y 7,838cm
A 11,40
  


 
i Ix´ (cm4) A.tx² (cm4) Iy´ (cm4) A.ty² (cm4) Ixy´ (cm4) A.txty (cm4) 
① 311,5 0,4
0
12

 31,707 50,696 16,821 0,000 -23,095 
② 17,067 6,046 38 0,4
0
12

 47,130 0,000 -16,881 
③ 
34 0,4
0
12

 46,217 2,133 54,526 0,000 -50,200 
④ 3,125 0,424 1,042 82,235 -1,804 -5,905 
SOMA Ix = 104,587 cm4 Iy = 254,583 cm4 Ixy = -97,885 cm4 
 
 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS EM RELAÇÃO AOS EIXOS PRINCIPAIS 
 
 
MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA: 
 
 
42
1x y x y1 2
xy
42
2
I 302,898cmI I I II
I
I 2 2 I 56,272cm
  
    
  
 
 
Elemento h(cm) v(cm) L (cm) cos =h/L sen =v/L 
④ 2,500 4,330 5,000 0,500 0,866 
 EIXOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA: 
 
 
xy o
1
1 y
I 97,885
arctg arctg 63,7
I I 302,898 254,583
   
           
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EP 5.2. 
 
 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS EM RELAÇÃO AOS EIXOS CENTRAIS (x e y) 
 
 
i x´ (cm) y´ (cm) A (cm²) A.x´ (cm³) A.y´ (cm³) tx (cm) ty (cm) 
① 5,00 7,50 150,00 750,00 1125,00 27,50 17,50 
② 20,00 20,00 400,00 8000,00 8000,00 12,50 5,00 
③ 45,00 30,00 400,00 18000,00 12000,00 -12,50 -5,00 
④ 60,00 42,50 150,00 9000,00 6375,00 -27,50 -17,50 
SOMA 1100,00 35750,00 27500,00 -- -- 
'
i i
cg
A .x 35750
x 32,5cm
A 1100
  


; '
i i
cg
A .y 27500
y 25cm
A 1100
  


 
i Ix´ (cm4) A.tx² (cm4) Iy´ (cm4) A.ty² (cm4) Ixy´ (cm4) A.txty (cm4) 
① 1250,00 113437,50 2812,50 45937,50 0,00 72187,50 
② 53333,33 62500,00 3333,33 10000,00 0,00 25000,00 
③ 53333,33 62500,00 3333,33 10000,00 0,00 25000,00 
④ 1250,00 113437,50 2812,50 45937,50 0,00 72187,50 
SOMA Ix = 461041,67 cm4 Iy = 124166,67 cm4 Ixy = 194375,00 cm4 
 
 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS EM RELAÇÃO AOS EIXOS PRINCIPAIS 
 
 
MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA: 
 
 
42
1x y x y1 2
xy
42
2
I 549806,1cmI I I II
I
I 2 2 I 35402,24cm
  
    
  
 
 
 EIXOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA: 
 
 
xy o
1
1 y
I
arctg 24,54
I I
 
     
 
 
 
 
 ESFORÇOS SOLICITANTES 
 
 
Obs: Como a carga atua num plano vertical que passa pelo CG (eixo y), esse momento fletor corresponde a um 
momento Mx. 
 
   
   
x
y
o o
1 1
o o
1 1
M 2000kN.cm
M 0
N 0
cos 24,54 sen 24,54cos senMu Mx 2000 1819,28 kNcm
sen cosMv My 0 830,80 kNcmsen 24,54 cos 24,54



 
                                  
 
 
 
 TENSÕES NORMAIS 
 
u v
1 2
M v M u N 1819,28v 830,8u
I I A 549806,1 35402,24
      
 
 
POSIÇÃO DA LN: 
(Flexão Oblíqua Simples – LN passa pelo CG, inclinada de  em relação ao eixo u. 
 
  ov 2
u 1
830,8M I 35402,24
arctg . arctg . 81,97
M I 1819,28 549806,1
  
       
   
 
 
PONTOS EXTREMOS: 
PONTO T: 
x 0
y 32,5cm
 
 
 
 
   
   
o o
1 1
o o
1 1
cos 24,54 sen 24,54cos senu x 0 13,5cm
sen cosv y 32,5 29,56cmsen 24,54 cos 24,54
                                  
 
 
 
PONTO C: 
x 0
y 32,5cm
 
 
  
 
   
   
o o
1 1
o o
1 1
cos 24,54 sen 24,54cos senu x 0 13,5cm
sen cosv y 32,5 29,56cmsen 24,54 cos 24,54
                                   
 
 
TENSÕES NORMAIS MÁXIMAS: 
   
   
2
máx ,t máx ,t
2
máx ,c máx ,c
1819,28 29,56 830,8 13,5
0,415 kN cm
549806,1 35402,24
1819,28 29,56830,8 13,5
0,415 kN cm
549806,1 35402,24

     

      
 
 
 
 
 
EP 5.3. 
 
 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS EM RELAÇÃO AOS EIXOS PRINCIPAIS 
 
 
MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA: 
 
 
42
1x y x y1 2
xy
42
2
I 320000cmI I I II
I
I 2 2 I 170000cm
  
    
  
 
 
 EIXOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA: 
 
 
xy o
1
1 y
I
arctg 26,57
I I
 
      
 
 
 ESFORÇOS SOLICITANTES 
 
   
   
x
y
o o
1 1
o o
1 1
M 500 35 17500kN.cm
M 0
N 500kN
cos 26,57 sen 26,57cos senMu Mx 17500
sen cos
(tração na fibra superior)
(a carga é aplica
Mv My 0sen 26,57 cos 26,5
da no ei o
7
x y)
    

 
                              
 
15634kN.cm
7827,6kN.cm
 
  
  
 
 
 TENSÕES NORMAIS 
u v
1 2
M v M u N 15634v 7827,6u 500
I I A 320000 170000 1200
        
 
POSIÇÃO DA LN: 
(Flexão Oblíqua Composta – LN passa não passa pelo CG e intercepta os eixos u e v). 
2
LN LN
v
IN 500 170000
u u 9,05cm
A M 1200 7827,6

        

 
1
LN LN
u
IN 500 320000
v v 8,53cm
A M 1200 15634

        

 
PONTOS EXTREMOS: 
PONTO T: 
x 0
y 35cm
 
 
  
 
   
   
o o
1 1
o o
1 1
cos 26,57 sen 26,57cos senu x 0 15,66cm
sen cosv y 35 31,30cmsen 26,57 cos 26,57
                                        
 
 
 
PONTO C: 
x 0
y 35cm
 
 
 
 
   
   
o o
1 1
o o
1 1
cos 26,57 sen 26,57cos senu x 0 15,66cm
sen cosv y 35 31,30cmsen 26,57 cos 26,57
                                     
 
 
TENSÕES NORMAIS MÁXIMAS: 
   
   
2
máx ,t máx ,t
2
máx ,c máx ,c
15634 31,3 7827,6 15,66 500
1,84kN cm
320000 170000 1200
15634 31,3 7827,6 15,66 500
2,67 kN cm
320000 170000 1200
 
       
        
 
 
 
 
 
EP 5.4. 
 
 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS EM RELAÇÃO AOS EIXOS CENTRAIS (x e y) 
 
i x´ (cm) y´ (cm) A (cm²) A.x´ (cm³) A.y´ (cm³) tx (cm) ty (cm) 
① 6,00 6,00 144,00 864,00 864,00 12,60 10,60 
② 21,00 15,00 252,00 5292,00 3780,00 -2,40 1,60 
③ 27,00 30,00 144,00 3888,00 4320,00 -8,40 -13,40 
SOMA A=540 cm² 10044,00 8964,00 -- -- 
'
i i
cg
A .x 10044
x 18,6cm
A 540
  


; '
i i
cg
A .y 8964
y 16,6cm
A 540
  


 
i Ix´ (cm4) A.tx² (cm4) Iy´ (cm4) A.ty² (cm4) Ixy´ (cm4) A.txty (cm4) 
① 1728,00 22861,44 1728,00 16179,84 0,00 19232,64 
② 37044,00 1451,52 756,00 645,12 0,00 -967,68 
③ 432,00 10160,64 6912,00 25856,64 0,00 16208,64 
SOMA Ix = 73677,60 cm4 Iy = 52077,60 cm4 Ixy = 34473,60 cm4 
 
 
 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS EM RELAÇÃO AOS EIXOS PRINCIPAIS 
 
 
MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA: 
 
 
42
1x y x y1 2
xy
42
2
I 99003,34cmI I I II
I
I 2 2 I 26751,86cm
  
    
  
 
 
 EIXOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA: 
 
 
xy o
1
1 y
I
arctg 36,3
I I
 
     
 
 
 
 ESFORÇOS SOLICITANTES 
 
 
 
   
 
x
y
o o
1 1
o
1 1
(tração na fibra inferior)
(tração na fibr
M 204,18 18,6 12 1347,59kN.cm
M 204,18 16,6 12 939,23kN.cm0
N 204,18kN
cos 36,3 sen 36,3cos senMu Mx
sen cosMv M
a e
y sen
squerda)
36,3 cos 3
   
   

     
              o
1347,59 1642,09kN.cm
939,23 40,91kN.cm6,3
 
        
     
 
 
 
 TENSÕES NORMAIS 
u v
1 2
M v M u N 1642,09v 40,91u 204,18
I I A 99003,34 26751,86 540
       
 
POSIÇÃO DA LN: 
(Flexão Oblíqua Composta – LN passa não passa pelo CG e intercepta os eixos u e v). 
2
LN LN
v
1
LN LN
u
IN 204,18 26751,86
u u 247,24cm
A M 540 40,91
IN 204,18 99003,34
v v 22,8cm
A M 540 1642,09
       

        
 
PONTOS EXTREMOS: 
PONTO T: 
x 16,6cm
y 18,6cm
 
 
 
 
   
   
o o
1 1
o o
1 1
cos 36,3 sen 36,3cos senu x 16,6 2,37cm
sen cosv y 18,6 24,82cmsen 36,3 cos 36,3
                                 
 
 
 
PONTO C: (Pela LN observa-se que a seção é praticamente inteiramente tracionada, sendo desprezível a tensão de 
compressão) 
TENSÕES NORMAIS MÁXIMAS:     2
máx,t máx,t
1642,09 24,82 40,91 2,37 204,18
0,786 kN cm
99003,34 26751,86 540
      
 
EP 5.5. 
 
 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS EM RELAÇÃO AOS EIXOS CENTRAIS (x e y) 
 
Elemento inclinado: 
 
 
 
4 4
x
4
y
4
xy
0,8 10³
I 66,67cm I Isen² 66,67 0,6² 24cm
12
I I cos² 66,67 0,8² 42,67cm
I I cos sen 66,67 0,6 0,8 32cm

       
    
      
 
 
i x´ (cm) y´ (cm) A (cm²) A.x´ (cm³) A.y´ (cm³) tx (cm) ty (cm) 
① 3,00 8,00 4,80 14,40 38,40 8,67 -4,67 
② 6,00 4,00 6,40 38,40 25,60 5,67 -0,67 
③ 12,00 0,00 9,60 115,20 0,00 -0,33 3,33 
④ 21,00 4,00 8,00 168,00 32,00 -9,33 -0,67 
SOMA A=28,80cm² 336,00 96,00 -- -- 
'
i i
cg
A .x 336
x 11,67cm
A 28,8
  


; '
i i
cg
A .y 96
y 3,33cm
A 28,8
  


 
i Ix´ (cm4) A.tx² (cm4) Iy´ (cm4) A.ty² (cm4) Ixy´ (cm4) A.txty (cm4) 
① 14,40 360,53 36 0,8
0
12

 104,53 0,00 -194,13 
② 
38 0,8
0
12

 205,51 34,13 2,84 0,00 -24,18 
③ 115,20 1,07 
312 0,8
0
12

 106,67 0,00 -10,67 
④ 24,00 696,89 42,67 3,56 32,00 49,78 
SOMA Ix = 1417,60 cm4 Iy = 294,40 cm4 Ixy = -147,20 cm4 
 
 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS EM RELAÇÃO AOS EIXOS PRINCIPAIS 
 
 
MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA: 
 
 
42
1x y x y1 2
xy
42
2
I 1436,57cmI I I II
I
I 2 2 I 275,43cm
  
    
  
 
 
 
Elemento h(cm) v(cm) L (cm) cos =h/L sen =v/L 
④ 8 6 10 0,8 0,6 
 EIXOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA: 
 
xy o
1
1 y
I
arctg 7,34
I I
 
      
 
 
 
 ESFORÇOS SOLICITANTES 
 
 
 
   
 
x
y
o o
1 1
o
1 1
(tração na fibra superior)
(tração na fibra 
M 2,34 17,31 11,67 67,81kN.cm
M 2,34 3,53 3,33 16,06kN.cm
N 2,34kN
cos 7,34 sen 7,34cos senMu Mx
sen cosMv My sen 7,34 cos 7
direita)
   
   
 
      
               o
67,81 65,20kN.cm
16,06 24,60kN.cm,34
 
         
      
 
 
 
 TENSÕES NORMAIS 
u v
1 2
M v M u N 65,20v 24,60u 2,34
I I A 1436,57 275,43 28,8
        
 
 
POSIÇÃO DA LN: 
(Flexão Oblíqua Composta – LN passa não passa pelo CG e intercepta os eixos u e v). 
 
 
2
LN LN
v
1
LN LN
u
2,34IN 275,43
u u 0,91cm
A M 28,8 24,60
2,34IN 1436,57
v v 1,79cm
A M 28,8 65,20

        


        

 
PONTOS EXTREMOS: 
PONTO T: 
x 4,67cm
y 12,33cm
  
 
  
 
   
   
o o
1 1
o o
1 1
cos 7,34 sen 7,34cos senu x 4,67 6,20cm
sen cosv y 12,33 11,64cmsen 7,34 cos 7,34
                                         
 
 
 
PONTO C: 
x 3,33cm
y 5,67cm
 
 
 
 
   
   
o o
1 1
o o
1 1
cos 7,34 sen 7,34cos senu x 3,33 4,03cm
sen cosv y 5,67 5,19cmsen 7,34 cos 7,34
                                    
 
 
TENSÕES NORMAIS MÁXIMAS: 
   
   
2
máx ,t máx ,t
2
máx ,c máx ,c
65,20 11,64 24,60 6,20 2,34
1,00 kN cm
1436,57 275,43 28,8
65,20 5,19 24,60 4,03 2,34
0,68 kN cm
1436,57 275,43 28,8
 
       
        