14-Equação da Reta

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Reta 
 
 Condições de Alinhamento de Três Pontos: 
Dados três pontos 𝐴 = (𝑥𝐴 , 𝑦𝐴), 𝐵 = (𝑥𝐵 , 𝑦𝐵) e 𝐶 = (𝑥𝐶 , 𝑦𝐶), representados 
geometricamente abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os três pontos estão alinhados se, e somente se, |
𝒙𝑨 𝒚𝑨 𝟏
𝒙𝑩 𝒚𝑩 𝟏
𝒙𝑪 𝒚𝑪 𝟏
| = 𝟎 
 
Exemplo: 
Verifique se os pontos 𝐴 = (−1,3), 𝐵 = (5,2) e 𝐶 = (0,4) estão alinhados: 
 
|
−1 3 1
5 2 1
0 4 1
|
−1 3
5 2
0 4
= −1.2.1 + 3.1.0 + 1.5.4 − 1.2.0 − (−1).1.4 − 3.5.1 = 
= −2 + 0 + 20 − 0 + 4 − 15 = 37 ≠ 0 ∴ os pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 não estão alinhados. 
 
Fundamentos do Cálculo Integral e Diferencial 
 
 Equação da Reta Profª Lilian Brazile 
 
 
 
 
 
 
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 Equação Geral de uma Reta: 
Dados três pontos 𝐴 = (𝑥𝐴 , 𝑦𝐴), 𝐵 = (𝑥𝐵 , 𝑦𝐵) e 𝑋 = (𝑥, 𝑦), sendo 𝑋 um ponto genérico 
da reta que passa por 𝐴 e 𝐵, representados geometricamente abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como os pontos 𝐴, 𝐵 e 𝑋 estão alinhados, temos: 
|
𝑥 𝑦 1
𝑥𝐵 𝑦𝐵 1
𝑥𝐶 𝑦𝐶 1
| = 0 
𝑥𝐴𝑦𝐵 + 𝑦𝐴𝑥 + 𝑥𝐵𝑦 − 𝑦𝐵𝑥 − 𝑥𝐴𝑦 − 𝑦𝐴𝑥𝐵 = 0 
𝑥(𝑦𝐴 − 𝑦𝐵) + 𝑦(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴) + 𝑥𝐴𝑦𝐵 − 𝑥𝐵𝑦𝐴 = 0 
Logo, a equação geral da reta é dada por: 
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎 
 
Exemplo: 
Escreva a equação geral da reta que passa pelos pontos 𝐴 = (3, −2) e 𝐵 = (0,1). 
|
𝑥 𝑦 1
3 −2 1
0 1 1
|
𝑥 𝑦
3 −2
0 1
= 0 
𝑥. (−2). 1 + 𝑦. 1.0 + 1.3.1 − 1. (−2). 0 − 𝑥. 1.1 − 𝑦. 3.1 = 0 
−2𝑥 + 3 − 𝑥 − 3𝑦 = 0 
−3𝑥 − 3𝑦 + 3 = 0 
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 Equação Reduzida de uma Reta: 
Isolando a variável 𝑦, na equação geral da reta, encontramos a equação reduzida da 
reta: 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 
𝑏𝑦 = −𝑎𝑥 − 𝑐 
𝑦 =
−𝑎𝑥 − 𝑐
𝑏
 
𝑦 = −
𝑎
𝑏
𝑥 −
𝑐
𝑏
 
𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏 
 
Onde 𝑚 é o coeficiente angular da reta e 𝑛 é o coeficiente linear da reta. O coeficiente 
angular é dado por 𝑚 = 𝑡𝑔 𝛼, onde 𝛼 é o ângulo de inclinação da reta, ou seja, o ângulo 
entre a reta e o eixo 𝑥 e, o coeficiente linear indica onde o eixo y é “cortado”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
o Se 𝑚 > 0 ⟹ 𝛼 < 90° ⟹ reta crescente; 
o Se 𝑚 < 0 ⟹ 𝛼 > 90° ⟹ reta decrescente; 
o Se 𝑚 = 0 ⟹ 𝛼 = 0° ⟹ reta paralela ao eixo 𝑦; 
o Se não existir o 𝑚 ⟹ 𝛼 = 90° ⟹ reta paralela ao eixo 𝑥; 
 
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Exemplo: 
Escreva a equação reduzida da reta −3𝑥 − 3𝑦 + 3 = 0. 
−3𝑥 − 3𝑦 + 3 = 0 
−3𝑦 = 3𝑥 − 3 
𝑦 =
3𝑥 − 3
−3
 
𝑦 =
−3𝑥 + 3
3
 
𝑦 = −𝑥 + 1 
Onde o coeficiente angular 𝑚 = −1 e, o coeficiente linear 𝑛 = 1. 
 
 Equação Fundamental de uma Reta: 
É determinada pela expressão 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚 · (𝑥 − 𝑥0) , logo 𝑚 =
 𝑦−𝑦0 
𝑥−𝑥0
. 
 
Exemplos: 
 
1) Determinar a equação da geral e reduzida da reta 𝑟 que passa pelo ponto 
 𝐴 = (−1,4) e tem coeficiente angular igual a 2. 
 
 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚 · (𝑥 − 𝑥0) 
𝑦 − 4 = 2 · (𝑥 − (−1)) 
𝑦 − 4 = 2 · (𝑥 + 1) 
𝑦 = 2𝑥 + 2 + 4 
𝑟: 𝑦 = 2𝑥 + 6 equação reduzida da reta 
𝑟: 2𝑥 − 𝑦 + 6 = 0 equação geral da reta 
 
 
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2) Determinar o coeficiente angular da reta que passa pelo ponto 𝐴 =
(−3,2) e 𝐵 = (−3, −1). 
 
𝑚 =
 𝑦 − 𝑦0 
𝑥 − 𝑥0
 
𝑚 =
 −1 − 2 
3 − 3
= −
3
−6
 
𝑚 =
 1 
 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
 
 
1) Verifique se os pontos abaixo estão alinhados: 
 
a) 𝐴 = (1,3), 𝐵 = (2,1) e 𝐶 = (3,4) 
b) 𝐴 = (4,5), 𝐵 = (−4,4) e 𝐶 = (0, −1) 
c) 𝐴 = (−8, −1), 𝐵 = (−4, −6) e 𝐶 = (−1,4) 
d) 𝐴 = (2,0), 𝐵 = (1,1) e 𝐶 = (−2,6) 
e) 𝐴 = (0,2), 𝐵 = (0,1) e 𝐶 = (0,3) 
f) 𝐴 = (−2,6), 𝐵 = (2,0) e 𝐶 = (1,1) 
 
 
2) Escreva a equação geral e reduzida da reta 𝑟 que passa pelos pontos 𝐴 e 𝐵 e, indique o 
coeficiente angular e linear, em cada caso: 
 
a) 𝐴 = (−2,1) e 𝐵 = (−1,2) 
b) 𝐴 = (0, −2) e 𝐵 = (−7,5) 
c) 𝐴 = (3, −1) e 𝐵 = (1,6) 
d) 𝐴 = (−2, −4) e 𝐵 = (−1, −1) 
e) 𝐴 = (−3,0) e 𝐵 = (2,3) 
f) 𝐴 = (−5,7) e 𝐵 = (2, −3) 
g) 𝐴 = (−1,0) e 𝐵 = (0,2) 
h) 𝐴 = (3,0) e 𝐵 = (0,5) 
i) 𝐴 = (7,0) e 𝐵 = (0,6) 
j) 𝐴 = (2,0) e 𝐵 = (0, −1) 
k) 𝐴 = (−3,0) e 𝐵 = (0,3) 
l) 𝐴 = (−5,0) e 𝐵 = (0, −3)