RELATÓRIO 3 TEOREMAS, PONTE DE WHEATSTONE

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS - UFAM 
FACULDADE DE TECNOLOGIA – FT 
DEPARTAMENTO DE ELETRICIDADE 
CURSO – ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO 3 – LABORATÓRIO DE ELETRICIDADE GERAL (FTE-008) 
TEOREMA DE THÉVENIN, TEOREMA DE NORTON, TEOREMA DA 
SUPERPOSIÇÃO E PONTES DE WHEATSTONE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MANAUS (AMAZONAS) 
2016/1 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS - UFAM 
FACULDADE DE TECNOLOGIA - FT 
DEPARTAMENTO DE ELETRICIDADE - DE 
CURSO – ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 
 
 
 
 
RELATÓRIO 3 – LABORATÓRIO DE ELETRICIDADE GERAL (FTE- 008) 
TEOREMA DE THÉVENIN, TEOREMA DE NORTON, TEOREMA DA 
SUPERPOSIÇÃO E PONTES DE WHEATSTONE 
 
 
 
 
ADRIANA PEREIRA DE SOUZA (21453636) 
IAGO BRUNO PACHECO FERREIRA (21453635) 
IGOR MORAES BEZERRA CALIXTO (21456321) 
VANESSA DE SOUZA LIMA (21453637) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MANAUS (AMAZONAS) 
2016/1 
Relatório 3, de Laboratório de 
Eletricidade Geral, orientada pelo 
professor Iury Bessa, com o 
intuito de obter conhecimentos a 
respeito de um dos ramos de 
estudo da Eletricidade Geral, 
válida para a parcial 1. 
Relatório 3 – Teorema de Thévenin, Teorema de Norton, Teorema da Superposição e 
Pontes de Wheatstone. 
 
1.0. Resumo: 
 A atividade prática realizada envolveu a construção de circuitos elétricos com associações 
variadas de resistores, a verificação experimental do Teorema de Thévenin, do Teorema de 
Norton, do Teorema da Superposição e dos princípios da ponte de Wheatstone. Através de 
análise de circuito elétrico, verificar experimentalmente a validade prática dos Teoremas de 
Thévenin, de Norton e da Superposição. Além disso, verificar os princípios da Ponte de 
Wheastone. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
1. Estudo dos Teoremas de Thévenin, Norton, Superposição e pontes de Wheatstone......1 
1.1.Introdução.............................................................................................................................1 
1.2.Procedimento Experimental.................................................................................................6 
 1.2.1.Materiais Necessários..................................................................................................6 
1.3.Resultados e Discussão........................................................................................................7 
 1.3.1. Teorema de Thévenin................................................................................................7 
 1.3.2. Teorema de Norton....................................................................................................8 
 1.3.3. Teorema da Superposição........................................................................................11 
 1.3.4.Pontes de Wheatstone...............................................................................................14 
1.4.Conclusão...........................................................................................................................17 
1.5.Anexos................................................................................................................................18 
 1.5.1. Teorema de Thévenin...............................................................................................18 
 1.5.2. Teorema de Norton...................................................................................................25 
 1.5.3. Teorema da Superposição........................................................................................29 
 1.5.4. Pontes de Wheatstone..............................................................................................32 
1.6.Referências.........................................................................................................................37 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
1.1. Introdução: 
 Na prática, as vezes pode acontecer de um determinado elemento em um circuito ser 
váriável (normalmente, denominado carga), enquanto outros elementos são fixos. Por exemplo, 
uma tomada de uma residência onde se pode conectar diferentes aparelhos, constituindo em 
uma carga variável. Cada vez que o elemento váriavel for mudado, todo o circuito tem de ser 
analisado por completo novamente. Para evitar esse tipo de problema, o teorema de Thévenin 
fornece uma técnica pela qual a parte fixa do circuito é substítuída por um circuito equvalente. 
 De acordo com esse teorema o circuito linear, como na figura a) pode ser substituído pelo 
circuito da figura b). O circuito à esquerda dos terminais a-b na fig. b) é conhecido como 
circuito equivalente de Thévenin; ele foi desenvolvido em 1883 por M. Leon Thévenin (1857-
1926), engenheiro de telégrafo francês. 
 
Substituição de um circuito. 
 O teorema de Thévenin afirma que um circuito linear de dois terminais pode ser substituído 
por um circuito equivalente formado por uma fonte de tensão VTh em série com um resistor RTh, 
onde VTh é a tensão de circuito aberto nos terminais e RTh, a resistência de entrada ou 
equivalente nos terminais quando as fontes independentes forem desativadas. 
Teoremas são proposições que, para serem admitidas, necessitam de demonstrações. 
Com o teorema de Norton não é diferente, que são utilizados para cálculos de grandezas 
referidas a circuitos elétricos, é ligado ao teorema de Thevenin, assim possui a mesma 
aplicabilidade. A diferença fundamental é que o circuito equivalente de Norton é constituído 
por uma fonte de corrente IN (corrente de Norton) em paralelo com uma resistência RN 
(resistência de Norton). 
2 
 
 Teorema de Norton nos diz que podemos substituir todo o circuito, com exceção ao bipolo 
em questão, por circuito equivalente contendo uma fonte de corrente em paralelo com um 
resistor, simplificando, todo circuito composto por elementos lineares pode ser substituído por 
um gerador de corrente IN em paralelo com uma resistência RN, constituindo o gerador 
equivalente de Norton. (CAPUANO, ) 
 
 
 
 
 
 A corrente que atravessa, ou a tensão entre os terminais de um elemento de um circuito 
linear bilateral é igual à soma algébrica das correntes ou das tensões produzidas 
independentemente por cada uma das fontes. (BOYLESTAD, 1998) 
 O teorema da superposição pode ser utilizado como um método para resolver problemas 
que envolvam circuitos com duas ou mais fontes que não estejam em série nem em paralelo. 
Ao contrário dos outros métodos, o teorema da superposição dispensa o uso de determinantes 
para determinar o valor das incógnitas (corrente ou tensão) no lugar disso, o efeito de cada fonte 
é levado em conta separadamente, então o valor das grandezas procuradas é obtida pela soma 
algébrica desses efeitos individuais, reduzindo assim o número de circuitos a ser analisando. 
Em geral: 
 
 
 
 Levando em conta separadamente os efeitos de cada fonte são necessários que estas sejam 
removidas e substituídas sem afetar o resultado final. Quando aplicamos este teorema, 
desejamos remover uma fonte de tensão, devemos então igualar a ddp entre os terminais desta 
fonte a zero ( a fonte deve ser “curto-circuito”); se a corrente tiver que ser removida, seus 
terminais deverão ficar isolados entre si (circuito aberto). (BOYLESTAD, 1998) 
3 
 
 
 
 
 
Figura 1: Anulando uma fonte de tensão e fonte de corrente 
 O princípio da ponte de Wheatstone começou com os estudos de Charles Wheatstone. 
Ele era um cientistatalentoso, versátil, que inventou a concertina, experimentou com a 
fotografia estereoscópica, inventou o estereoscópio e teve uma participação importante no 
desenvolvimento das comunicações com o telégrafo da época. 
 Ele não reivindicou ter inventado o circuito que mais tarde veio a receber o seu nome, 
mas foi certamente um dos primeiros a explorar o circuito para fazer medidas de resistências. 
 A conhecida “Ponte de Wheatstone” é uma combinação de resistores que não pode ser 
transformado em um resistor equivalente, como é o caso das associações comuns em série, 
paralelo ou mista. A resolução do circuito deve ser feita, entre outras possibilidades, pelas 
aplicações das leis de Kirchhoff para correntes e tensão. No entanto, é um circuito, que permite 
uma precisa medida da resistência ôhmica dos resistores. Abaixo, uma montagem básica de 
uma ponte de Wheatstone: 
Figura 2: Montagem de uma ponte de Wheatstone 
 A ponte é equilibrada mediante o ajuste dos valores de resistência em R3 e R4 de modo 
que não flua corrente através do galvanômetro. Quando essa situação é conseguida, os 
potenciais elétricos em A e B tornam-se iguais (VA = VB) ou seja, a tensão UAB = 0 volts. 
4 
 
 
 Assim, como consequência, as diferenças de potenciais entre os terminais de R1 e R3 são 
iguais e, do mesmo modo, serão iguais entre si as diferenças de potenciais entre os terminais de 
R2 (no caso, Rx, a resistência incógnita) e R4. Observe a distribuição de correntes abaixo: 
Figura 3: Equilíbrio de uma ponte de Wheatstone. 
A intensidade de corrente através de Rx é igual à aquela através de R1 (i2 = i1), assim 
como aquela através de R4 é igual à através de R3 (i4 = i3). 
Assim, como já vimos que as d.d.p. sobre R1 e R3 são iguais, escrevemos: i1.R1 = i3.R3. 
Do mesmo modo, como as d.d.p. entre Rx e R4 são iguais, escrevemos: i1.Rx=i3.R4. 
Dividindo-se essas duas expressões, membro a membro, tem-se: 
Rx/R1 = R4/R3 ou, para finalizar: 
Rx = R1.(R4/R3) 
𝑹𝒙 = 𝑹𝟏×
𝑹𝟒
𝑹𝟑
 
A partir dela, podemos tirar várias conclusões: 
1) Que qualquer cálculo feito no circuito, quando não há corrente no ramo BC, é 
independente das correntes que passam por ele. Isso quer dizer que, teoricamente, pode-
se fazer uma ponte com quaisquer resistores e qualquer valor de tensão de bateria; 
2) Que, se conhecermos o valor de três resistores do circuito, poderemos calcular 
diretamente, através da fórmula, o valor do quarto resistor; 
3) Que, se substituímos o resistor do ramo BC por um amperímetro (ou 
miliamperímetro), pode verificar se há ou não corrente nesse ramo. 
4) Se um dos resistores da ponte for substituído por um resistor variável, podemos 
ajustar o valor do mesmo, até que a corrente no ramo central da ponte seja igual a zero. 
5 
 
Dessa forma, um outro ramo da ponte pode ser reservado para a colocação de resistores 
de valor desconhecido, e, pelo ajuste do resistor variável, juntamente com a observação 
do amperímetro, terão sua resistência determinada. 
 Os objetivos da prática foram, portanto: Identificar experimentalmente os Teoremas de 
Thévenin, Norton e da Superposição, além de verificar os princípios da Ponte de Wheatstone. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
1.2. Procedimento Experimental: 
1.2.1. Materiais Necessários. 
 Para que a atividade experimental fosse desenvolvida, foram necessários alguns 
componentes básicos de operação. Dentre eles, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Materiais 
Protoboard. 
Fonte de tensão. 
Jamper, cabos de conexão. 
Resistores (100Ω, 110 Ω ,150Ω,220 Ω , 
390Ω,432Ω, 1000 Ω e 2200 Ω) 
Alicates de bico e de corte 
Multímetro 
7 
 
1.3.Resultados e Discussão. 
1.3.1. Teorema de Thévenin. 
1) No circuito montado houve diferenças quanto aos valores das resistências e voltagem 
 
Figura 1. Circuito ideal Figura 2. Circuito obtido na prática 
As diferenças dos resistores são devido à suas tolerâncias, no caso dos circuitos montados, 
obteve-se valores diferentes do ideal. 
-No resistor 220 (vermelho-vermelho-marrom-ouro) tem uma tolerância de (+-5) 
-No resistor 110 (marrom-marrom-marrom-dourado) tem uma tolerância de (+-5) 
-No resistor 390 (laranja-branco-marrom-dourado) tem uma tolerância de (+-5) 
-No resistor 432 (amarelo-laranja-marrom-dourado)tem uma tolerância de (+-5) 
Já na voltagem a sua variação é devido ao manuseio na fonte de tensão. 
A corrente e a tensão obtidas no resistor 432 são: 
 
2) A tensão ETh obtida entre os pontos A e B é: 
 
 
 
8 
 
3) A resistência RTh entre os mesmos pontos é: 
 
 
4) Ajustando a fonte e a década conforme os valores obtidos de ETh e RTh , teve-se: 
 
5) A corrente e a tensão no resistor de 432Ω 
 
1.3.2. Teorema de Norton. 
A prática foi dividida em 4 partes, a primeira parte consiste na montagem e conexões, 
que foram feitas conforme a figura abaixo. Em seguida foi medida a corrente e a tensão no 
resistor 470Ω. 
 
 
 
 
 
 
I1 
I2 
B 
A 
432 Ω 
 
 22
0Ω
 
2
2
0Ω
 
1
1
0Ω
 
390Ω 
9 
 
 
 
Na parte 2 retirou-se o resistor de 470Ω, e foi substituído por um curto-circuito, assim 
começando a aplicar a primeira lei de Norton, retirando o resistor e substituindo por um jamper, 
portanto definindo a corrente IN, corrente que circulará por esse curto-circuito, ou seja, 
semelhante a corrente que passaria no resistor, o I2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Voltou-se a abrir os pontos A e B na parte 3, e substituiu-se a fonte por um curto-circuito. 
Em seguindo foi medida resistência equivalente de Norton (RN) nos mesmo pontos anteriores, 
notando que essa resistência é a mesma de Théveninn, pois esses dois teoremas são 
correspondentes. 
 
 
 
 
R I V 
470Ω 9,51 mA 4,09V 
IN 32,36mA 
B 
A 
I1 I2 
2
2
0Ω
 
1
1
0Ω
 
1
1
0Ω
 
390Ω 
390Ω 
2
2
0Ω
 
10 
 
 
 
 
Na etapa 4, ajustou-se a fonte para uma saída igual a zero volts. Depois foi montado o 
circuito com a década ajustada para o valor de RN, medido anteriormente, no valor de 178,7 R. 
O cálculo da resistência de Norton é feito do mesmo modo que a resistência de Thèvenin. Isto 
é: A resistência de Norton é a resistência equivalente entre os pontos A e B quando todas as 
fontes de tensão são curto-circuitadas ou substituídas pelas respectivas resistências internas. 
 
 
 
 
 
 
Ajustou-se a tensão da fonte de maneira que o multímetro mostrasse o valor da corrente 
de Norton, medido anteriormente, com o valor de 32,36 mA. 
Por fim, esse é o circuito equivalente de Norton, com sua devida resistência (RN) e 
corrente (IN), e mediu-se a corrente e a tensão que passa pelo resistor 432Ω. 
 
 
 
 
 
 
 
RN 178,7Ω 
R I V 
432Ω 32,46mA 13,90V 
432 Ω 
432 Ω 
178,7 Ω 
11 
 
 
Notou-se que a tensão no resistor medida é correspondente a corrente de Norton, pois 
todo composto por elementos lineares pode ser substituído por um gerador de corrente IN em 
paralelo com uma resistência RN, formando o circuito equivalente de Norton, como foi feito na 
prática. 
O equivalente de Norton, nada mais é do que a corrente de Norton (IN) e a resistência 
de Norton (RN) em paralelos com o resistor referencial. Como foi feito na pratica, a corrente 
medida, que foi colocada no circuito medindo ate seu valor calculado, e a resistência utilizando 
o potenciômetro para chegar ao valor daresistência de Norton e o resistor de interesse. 
Um fato interessante observado é que o equivalente de Norton pode ser obtido a partir 
do equivalente de Thévenin (e vice-versa) por meio de princípio da equivalência entre fontes 
de tensão e de corrente reais. 
Chegando a esse ponto podemos concluir que os resultados obtidos na pratica satisfazem 
aos resultados obtidos na teoria, embora que os mesmo não sejam todos iguais podemos notar 
que entre elas a uma proximidade. Isso se dá ao facto de que os aparelhos que nós usamos nem 
sempre nos dão um valor real normalmente tem sempre um pequeno erro de leitura ou mesmo 
no momento de medição tal fato de que os valores tendem há fugir um pouco uma da outra. 
1.3.3. Teorema da Superposição. 
1) Na placa protoboard, montou-se o circuito abaixo e em seguida mediu-se a corrente no 
resistor de 1KΩ. 
 
2) Substitui-se a fonte de 12V por um curto-circuito levando em conta somente os efeitos da 
fonte de 3V, sendo observada a corrente no resistor de 1KΩ. 
I (A) 0,3 
12 
 
 
 
3) Colocou-se novamente a fonte de 12V no circuito, porém substitui-se a fonte de 3V por um 
curto-circuito, considerando agora somente o efeito isolado da fonte de 12V . Assim a corrente 
que passa pelo resistor de 1KΩ foi-se obtida. 
 
 
Aplicando o teorema da superposição pode-se obter o valor mais exato da corrente que passa 
pelo resistor de 1KΩ juntamente com as correntes I1 e I2 para cada uma das fontes 
independentemente. 
Analisando o circuito acima, nota-se que o circuito possui duas tensões, pelo método da 
superposição é necessário que se faça um curto-circuito na fonte de 12V, igualando a diferença 
de potencial (ddp) entre os terminais desta fonte a zero, obtendo-se o circuito: 
 
Logo em seguida obteve-se a resistência equivalente do circuito, onde: 
Req= R1//R2+ R3 =1.157,5 Ω 
IT1= V/ Req = 3V/1.157,5 Ω =2,59 x 10-3A 
Utilizando a regra do divisor de corrente, obtemos: 
I1= R2x IT1/ R1 + R2 = 1,78x10
-3A = 1,78mA 
Considerando somente o efeito da fonte de 12V e aplicado um curto-circuito na fonte de 3V, 
calculou-se a corrente no resistor de 1KΩ. 
I1 1,78mA 
I2 1,47mA 
13 
 
 
 
Req= R1 + R2//R3= 2.519,73Ω 
IT2= V/ Req = 12V/2.519,73Ω = 4,76x10-3A 
Utilizando a regra do divisor de corrente, 
I2= R3x IT1/ R3 + R2 = 1,52x10
-3ª= 1,52mA 
Como a corrente produzida pelas duas fontes têm o mesmo sentido, a intensidade da corrente é 
dada pela soma da intensidade das duas correntes. 
I=I1+I2 = 1,78mA+ 1,52mA = 3,3mA 
Comparando os resultados obtidos analiticamente e medidos, observe-se que, a corrente 
resultante (I) e a corrente (I2) que passam pelo resistor 1KΩ não são as mesmas. A corrente I2 
obteve uma diferença extremamente próxima do valor teórico, uma vez que o multímetro 
oscilava bastante no momento da medição. A corrente resultante calculada não obteve o mesmo 
valor que a corrente resultante medida. O motivo dessa diferença pode estar associado ao fato 
de que, o analista ao medir a corrente resultante mediu a corrente I2 em sentido oposto ao da 
corrente I1, pois possivelmente a fonte de 3V estaria ligada em sentido oposto ao do circuito do 
experimente, um possível erro grosseiro. Logo, a corrente resultante foi dada pela diferença 
das duas correntes e não pelo somatório das correntes. 
 
 
 
14 
 
 
mA 
Resultados medidos Resultados calculados 
 
I 
 
0,3 
 
 
3,3 
 
I1 
 
1,78 
 
 
1,78 
 
I2 
 
1,47 
 
1,52 
 
 
1.3.4. Ponte de Wheatstone. 
1) Foi montado o circuito da figura abaixo. Ajustou-se o potenciômetro para o equilíbrio da 
ponte. 
 
 
Observação: Para fins de segurança, utilizamos um voltímetro que foi conectado após a 
montagem completa do circuito, numa escala apropriada, sendo sucessivamente abaixada para 
melhor sensibilidade e precisão da ponte. 
 Neste momento, teve-se o cuidado de ajustar a fonte de tensão para um valor próximo de 
zero pois o princípio de medir uma resistência desconhecida pela Ponte de Wheatstone 
somente é válida quando a tensão e por consequência a corrente são nulas. 
 
390 Ω 806Ω 
15 
 
2) Foi medido e anotado no quadro abaixo as tensões dos resistores e do potenciômetro. 
R 100Ω 150 Ω 390 Ω Rpot. 
V 0,491 0,882 0,449 0,924 
 
 Sabendo que para o circuito estar equilibrado, a corrente I, que passa pelo galvanômetro, 
deve ser igual a zero e para tanto a tensão VAB deve ser nula. 
 Nessas condições, temos que a corrente I1 percorre R1 e R2 e a corrente I2 que percorre R3 e 
R4, pois não há deriva dessas correntes para o fio central. 
 Logo, infere-se que as tensões VR1 é igual à tensão VR3, representada por VR1=VR3, e a 
tensão VR2 é igual à tensão VR4, formulada por VR2=VR4. 
 A partir desta teoria, chegamos aos valores experimentais VR1= 0,491 V e VR3 = 0,449 V, 
obtendo-se uma diferença pequena com os valores não tão distantes e VR2=0,882 Ω e VR4 = 
0,924 Ω, obtendo, então, pequenas variações das tensões obtidas. 
Sabendo que a tensão calculada V100Ω=V390Ω e que V150Ω=Vpotenciômetro, pois a corrente e a tensão 
que fluem no microamperímetro são nulas, chegamos aos valores calculados a seguir: 
Tensão do resistor de 100Ω: V100Ω=
𝑅1
𝑅1+𝑅2
 * (Vfonte)=
100𝛺
100𝛺+150 𝛺
 * (1,5V) = 0,6 V 
Tensão do resistor de 150 Ω: V100Ω=
𝑅2
𝑅1+𝑅2
 * (Vfonte)=
150𝛺
100𝛺+150 𝛺
 * (1,5V) = 0,9 V 
Tensão do resistor de 390 Ω: V100Ω=
𝑅3
𝑅3+𝑅𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖ô𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
 * (Vfonte)=
390𝛺
390𝛺+585 𝛺
 * (1,5V) = 0,6 
V 
Tensão do resistor do potenciômetro: V100Ω=
𝑅𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖ô𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
𝑅3+𝑅𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖ô𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
 * (Vfonte)=
100𝛺
100𝛺+150 𝛺
 * 
(1,5V) = 0,9 V 
 
Abaixo, temos um quadro comparativo entre os valores medidos e os valores calculados, com 
seu respectivo erro experimental ou desvio: 
Resistor Valor Medido (V) Valor Calculado (V) Erro Experimental 
R1= 100Ω 0,491 V 0,600 V E.E.= 
𝑉𝑀−𝑉𝐶
𝑉𝐶
 *100 = 18,17% 
R2 = 150 Ω 0,882 V 0,900 V E.E.= 
𝑉𝑀−𝑉𝐶
𝑉𝐶
 *100 = 2,00% 
R3 = 390Ω 0,449 V 0,600 V E.E.= 
𝑉𝑀−𝑉𝐶
𝑉𝐶
 *100 = 25,17% 
Rpot = 585 Ω 0,924 V 0,900 V E.E.= 
𝑉𝑀−𝑉𝐶
𝑉𝐶
 *100 = 2,66% 
Observa-se, portanto, que os resistores R1 e R3 apresentaram grande distorção entre os valores 
calculados e os valores medidos. 
16 
 
 
3) Foi montado o circuito da figura abaixo para a medida das resistências: 
 
Neste momento, foi retirado o resistor de 390 Ω , sendo curto-circuitado para a medição das 
resistências desconhecidas. 
4) Conectou-se entre os pontos A e B cinco resistores de valores desconhecidos. Ajustou-se o 
equilíbrio da ponte para cada resistor e anotou-se o valor ajustado da Rpot. no quadro abaixo, 
sendo observado também a resistência pelo ohmímetro: 
 Rdec; Rx Rohm V 
R1 950Ω 633,33 Ω 218,3 Ω 0,256 V 
R2 949Ω 632,67 Ω 430 Ω 0,427 V 
R3 950Ω 633,33 Ω 0,98 Ω 0,696 V 
R4 937Ω 624,67 Ω 109 Ω 0,141 V 
R5 950Ω 633,33 Ω 137 Ω 0,1758 V 
 
A partir da fórmula conhecida, Rx=(R1/R2)*Rdéc., obtemos o valor das resistências 
desconhecidas, sendo obtidos valores anômalos dos valores dados pelo ohmímetro, sendo 
possíveis causas o fato de não conseguirmos estabelecer tensão nula entre os terminais A e B e 
erros de operação. 
Rx – Resistor R1 = 
R1 
R2
 . Rdéc. Rx= 
100Ω 
150Ω
 . (950Ω) = 633,33 Ω 
Rx – Resistor R2 = 
R1 
R2
 . Rdéc. Rx= 
100Ω 
150Ω
 . (949Ω) = 632,67 Ω 
Rx – Resistor R3 = 
R1 
R2
 . Rdéc. Rx= 
100Ω 
150Ω
 . (950Ω) = 633,33 Ω 
Rx – Resistor R4 = 
R1 
R2. Rdéc. Rx= 
100Ω 
150Ω
 . (937 Ω) = 624,67 Ω 
Rx – Resistor R5 = 
R1 
R2
 . Rdéc. Rx= 
100Ω 
150Ω
 . (950Ω) = 633,33 Ω 
Rpot. 
17 
 
1.4.Conclusão. 
 As práticas realizadas visaram determinar experimentalmente a esquematização prática dos 
princípios que norteiam o Teorema de Thévenin, o Teorema de Norton e o Teorema da 
Superposição, além de avaliar o funcionamento da ponte de Wheatstone. Todos os 
experimentos foram realizados em um circuito em associação mista de resistores, cujo intuito 
foi verificar as aplicações práticas da teoria proposta pelos teoremas, além de avaliar se, de fato, 
a ponte de Wheatstone, serve para quantificar precisamente uma resistência de um resistor 
desconhecido. Boa parte dos dados calculados e medidos seguiram uma linha próxima, com 
alguns valores anômalos obtidos também. Percebeu-se que a operação correta dos 
equipamentos é fundamental para a obtenção de valores que confirmem a teoria proposta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
 
1.5.Anexos. 
1.5.1. Teorema d Thévenin. 
1) Compare os valores de V e I, obtidos no item 1 e no item 5 da experiência. O que 
você conclui? 
Que os valores das tensões e das correntes do resistor de 432Ω são similares. 
2) Calcule o gerador equivalente de Thévenin, entre os pontos A e B para o circuito 
da figura abaixo e compare com os valores obtidos experimentalmente. 
 
 
R1= 220Ω; R2= 390Ω; R3= 110Ω; R4= 432Ω 
Para determinar o gerador equivalente de Thévenin, devemos retirar o resistor R4, deixando os 
pontos A e B em aberto. A tensão ETh será entre a tensão entre os pontos A e B. O circuito 
nessas condições é: 
 
 
Para calcular a corrente na malha aplicamos as leis de Kirchhoff: 
10-220I1-390 I1-110 I1=0 
10-720 I1=0 
I1=10 / 720 
I1= 13,88 mA 
I1(obtido experimentalmente) = 8,85 mA 
19 
 
Houve uma diferença significativa 
A tensão entre os pontos A e B é: 
ETh= VR2 
ETh= 390.13,88.10^-3 
ETh= 5,41 V 
 
ETh(obtido experimentalmente) = 5,35 V 
Houve uma aproximação dos resultados. 
 
A resistência RTh será obtida considerando a fonte curto-circuitada 
 
 
RTh = (R1+R3) .R2 / R1+R2 +R3 
RTh= (220+110).390 / 220+390+110 
RTh= 128700 / 720 
RTh= 178,75Ω 
 
RTh(obtido experimentalmente) = 178,8Ω 
Houve similaridade entre os dois resultados. 
 
Podemos agora representar o gerador equivalente de Thévenin com os valores obtidos, 
20 
 
 
 
3) Determine a tensão e a corrente no resistor de 432Ω, utilizando o gerador equivalente 
de Thévenin que você obteve na questão anterior. 
Para calcular a corrente e a tensão no resistor R4, devemos conectá-lo entre os pontos A e B do 
gerador equivalente de Thévenin, servindo como carga deste. 
 
Aplicando a lei de ohm, calculamos os parâmetros desejados: 
I= 5,41 / 178,75+432 
I= 5,41 / 610,75 
I= 8,86 mA 
I(obtido experimentalmente) = 8,79 mA 
Os valores das correntes obtidos são bem próximos. 
V= 432.8,86.10^-3 
V= 3,83 V 
V(obtido experimentalmente) = 3,76 V 
Os valores das voltagens foram obtidos bem próximos. 
4) Sem utilizar o gerador equivalente de Thévenin, calcule a tensão e a corrente no resistor 
de 432Ω, do circuito da figura 
21 
 
 
Associando os resistores em paralelo 432Ω e 390Ω temos: 
 
Req= (R2.R4) / R2+R4 
Req=(390.432) / 390+432 
Req=168480/822 
Req=205Ω 
 
Para achar a corrente total do circuito juntamos todos resistores, 
Req= 220+205+110 
Req= 535 Ω 
 
Utilizando a lei de ohm achamos a corrente total do circuito, 
V= R.I 
10= 535.I 
22 
 
I= 10 / 535 
I= 18,69 mA 
Podemos agora encontrar as tensões em cada resistor voltando a este circuito, 
 
 
 
VR1= R1.I 
VR1=229.18,69.10^-3 
VR1= 4,11 V 
 
VR2= R2.I 
VR2= 205.18,69.10^-3 
VR2= 3,83 V 
 
VR3= R3.I 
VR3=110.18,69.10^-3 
VR3=2,05 V 
Voltando ao circuito inicial, podemos achar a tensão e a corrente no Resistor, quando os 
resistores 390Ω e 432Ω estão em paralelo a tensão é a mesma que achamos no resistor 205Ω, 
portanto a tensão no resistor 432Ω é: 
 
23 
 
VR4= 3,83 V 
Ou seja, é aproximadamente a que obtivemos experimentalmente: VR4= 3,76 V 
Então a corrente no resistor R4 será: 
I=V / R 
I= 3,83 / 432 
I= 8, 86 mA 
Ou seja, a corrente é aproximadamente a que obtivemos experimentalmente: I=8,79 mA 
5) Determine a corrente e a tensão no resistor de 300Ω no circuito da figura abaixo , 
utilizando o teorema de Thévenin. 
 
R1= 120Ω; R2= 240Ω; R3= 360Ω; R4= 20Ω; R5= 300Ω 
Para determinar o gerador equivalente de Thévenin, devemos retirar o resistor R5, deixando os 
pontos A e B em aberto. A tensão ETh será entre a tensão entre os pontos A e B. O circuito 
nessas condições é: 
 
Para calcular a corrente na malha aplicaremos as leis de kirchhoff: 
3,6-120I1-240 I1-360 I1-1=0 
2,6-720 I1=0 
I1= 2,6 / 720 
I1= 3,61 mA 
A tensão entre os pontos A e B é: ETh= E2+VR3 = 1+360.3,61.10
-3 
24 
 
ETh= E2+VR3 = 1+360.3,61.10
-3 
ETh= 2,3 V 
A resistência RTh será obtida considerando a fonte curto-circuitada 
 
RTh= (R1+R2) .R3 / R1+R2+R3 
RTh= (120+240).360 / 720 
RTh=129600 / 720 
RTh= 180Ω 
Podemos agora representar o gerador equivalente de Thévenin com os valores obtidos, 
 
Para calcular a corrente e a tensão no resistor R4, devemos conectá-lo entre os pontos A e B do 
gerador equivalente de Thévenin, servindo como carga deste. 
 
Aplicando a lei de ohm, calculamos os parâmetros desejados. 
I = V / R V= 300* 4* 79*10-3 
I = 2,3 / 180+300 V=1,43 V 
I = 4,79 mA 
25 
 
1.5.2. Teorema de Norton. 
1) Compare os valores de V e I obtidos no item 1 e no item 6 da experiência. O que você 
conclui? 
Concluímos que são tensões diferentes pois no item 1, é apenas o circuito como um todo, 
mas no item 6, notamos que o circuito equivalente de Norton resultando em um circuito, 
com o RN paralelo a fonte, e a IN. 
2) Calcule o gerador equivalente de Norton entre os pontos A e B para o circuito abaixo 
e compare com os valores obtidos experimentalmente 
 
 
 
 
 
 
Coloca-se o resistor em aberto e a fonte de tensão em curto para calcular o Req: 
 
 
 
 
 
Req=220 Ω + 110 Ω 
Req=330 Ω 
A partir do teorema de Kirchhof calcula-se a corrente: 
720I1 – 390I2=10 
-390I1 + 390I2=0 
RN=330 Ω //390 Ω 
RN=178,7 Ω 
I1 = 25,64 mA 
I2 = 25,64 mA 
432 Ω 
 
 22
0Ω
 
2
2
0Ω
 
1
1
0Ω
 
390Ω 
2
2
0Ω
 
1
1
0Ω
 
390Ω 
26 
 
 
Os valores obtidos não batem, assim, ocorreu algum erro de medição. 
3) Determine a tensão e a corrente no resistor de 470R utilizando o gerador equivalente 
de Norton que você obteve na questão anterior. 
 
V= IN . Req 
V=126,40 Ω . 25,64mA 
V=3,24V 
 
 
 
 
 
4) Determine a corrente e a tensão no resistor de 300 Ω no circuito da figura abaixo, 
utilizando o teorema de Norton. 
 
 
 
 
 
 
 
25,64mA 
432R 
I=3,24/432 
I=7,5mA 
432 Ω 
178,7 Ω 
27 
 
 
 
 
 
 
Colocam-se as fontes em curto e o local do resistor de interesse em aberto, para calcular o RN: 
RN = ((240 Ω + 120 Ω)//360 Ω) + 20 Ω 
RN = 200 Ω 
 
 
 
 
 
 
Agora para calcular a corrente IN, coloca-se a carga em curto e calcula por meio da lei de 
Kirchhof: 
720I1 – 360I2 = 3,6 
-360I1 + 360I2 = 1Circuito equivalente de Norton: 
 
 
 
 
Para a tensão: 
I1 = 12,778mA 
I2 = 10mA 
28 
 
V = IN.Req = 10mA. (200.300)/(200+300) = 1,2 V 
Para corrente no resistor 300 Ω: 
I=1,2V/300 Ω = 4mA 
5) Determine a tensão e a corrente no resistor de 1,5K Ω no circuito da figura abaixo, 
utilizando o teorema de Norton. 
 
 
 
 
 
 
 Colocam-se as fontes em curto e o local do resistor de interesse em aberto, para 
calcular o RN: 
RN = ((820Ω + 180Ω)// 1K Ω) 
RN = 2KΩ 
 
 
 
 
 
 
Agora para calcular a corrente IN, coloca-se a carga em curto e calcula por meio da lei de 
Kirchhoff: 
1KΩI2 = 6V 
820I1 + 180I1 = 12V 
I1 = 14,63mA 
29 
 
I2 = 6mA 
IN = 6mA + 14,63mA 
IN =20,63mA 
Circuito equivalente de Norton: 
 
 
 
 
 
Para a tensão: 
V = IN . Req = 20,3mA . 857,14Ω 
V = 17,4V 
Para corrente no resistor 1,5KΩ: 
I = 17,4V/1,5KΩ 
I = 11,6mA 
 
1.5.3. Teorema da Superposição. 
1)Com os valores obtidos nos itens 2 e 3, aplique o teorema da superposição e compare o 
valor obtido com o medido no item 1. 
Para se achar a corrente I1, calcula-se primeiro o resistor equivalente o circuito: 
Req= R1//R2+ R3 =1.157,5 Ω 
Depois se calcula a corrente que sai da tensão de 3V. 
IT1= V/ Req = 3V/1.157,5 Ω =2,59 x 10-3A 
Utilizando a regra do divisor de corrente, 
30 
 
I1= R2x IT1/ R1 + R2 = 1,78x10
-3A = 1,78mA 
Para calcular a corrente I2 usamos o mesmo processo porém consideramos o efeito da fonte de 
12V. 
Req= R1 + R2//R3= 2.519,73Ω 
IT2= V/ Req = 12V/2.519,73Ω = 4,76x10-3A 
Utilizando a regra do divisor de corrente, 
I2= R3x IT1/ R3 + R2 = 1,52x10
-3ª= 1,52mA 
A corrente resultante que passa pelo resistor de 1KΩ é dada por, 
I=I1+I2 = 1,78mA+ 1,52mA = 3,3mA 
Os valores obtidos na medição no laboratório foram: 
I1= = 1,78mA I2= 1,47mA I=0,3mA 
Os valores das correntes 1 e 2 tiveram variações bem pequenas, já a corrente resultante obteve 
uma variação bem elevada, bem diferente da que se esperava. 
2)Calcule a corrente I, utilizando o teorema da superposição, comparando-a com a 
medida no item 1. 
Resposta: Na questão anterior obtemos I1= 1,78mA e I2= 1,52mA pelo teorema da 
superposição. A corrente resultante que passa pelo resistor de 1KΩ é dada pelo somatório das 
correntes I1 e I2. 
I=I1+I2 = 1,78mA+ 1,52mA = 3,3mA 
A corrente resultante medida experimentalmente foi de 0,3mA. Ocorrendo uma diferença entre 
a corrente resultante teórica. 
3) Determine o valor da corrente indicada pelo miliamperímetro da figura abaixo usando 
o teorema da superposição. 
31 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: Para encontrar a corrente que o miliamperímetro indica, primeiramente foi-se feito 
um curto-circuito na fonte de tensão de 3,6V. Levando em conta somente os efeitos da tensão 
de 7,2V. 
Obtemos a resistência equivalente do sistema: 
Req= (R3+R4//R5+R6)+ R1+ R2 = 144Ω 
Aplicando a Lei de Ohm 
IT1= V(G1)/ Req = 7,2V/144Ω =0,05A 
Pelo divisor de corrente, temos: 
I1= (320Ω/320Ω+ 80Ω)x0,05A= 0,04A 
Levando em conta somente os efeitos da tensão de 3,6V. E aplicando curto-circuito na fonte de 
7,2V. Obtemos a resistência equivalente. 
Req = 35.55Ω 
Aplicando a Lei de Ohm : IT2= V(G2)/ Req=3,6V/35,55 Ω= 0,1A 
Usando o divisor de corrente, temos: I2= (80Ω/80Ω+80Ω)x 0,1A= 0,5A 
A corrente resultante é dada por: I= I1 + I2=0,04A+0,5A = 0,54A 
Somatório de I1 e I2 , pois as correntes I1 e I2 estão no mesmo sentido. 
 
32 
 
4) Utilizando o teorema da superposição, determine a corrente I, indicada na figura 
abaixo. 
 
 
 
 
Resposta: Aplicando o teorema da superposição, temos que a resistência equivalente do 
circuito, quando damos um curto-circuito na fonte de tensão de 8V e levamos em conta apenas 
os efeitos da tensão de 6V é de 256,40Ω. 
Aplicando a lei de Ohm para saber a corrente que sai da tensão de 6V,temos: 
IT1= V(G1)/ Req = 6V/256,40Ω =0,023A 
Pelo divisor de corrente, temos: 
I1= (1,5x10
3 Ω/1,5x103Ω+ 1x103Ω)x0,023A= 0,0138A 
Levando em conta somente os efeitos da tensão de 8V e aplicando curto-circuito na fonte de 
6V. Obtemos a resistência equivalente. 
Req = 4x10
-4Ω ( resolvendo circuito que está em série e em paralelo) 
Aplicando a Lei de Ohm 
IT2= V(G2)/ Req=8V/4x10
-4 Ω= 2x10-4 A 
Usando o divisor de corrente, temos: 
I2= (666,66Ω/666,66Ω+1x103Ω)x 2x10-4 A =8 x 10-5 A 
A corrente resultante é dada por: I= I1 + I2= 0,0138A + 8 x 10
-5 A= 0,01388A 
Somatório de I1 e I2 , pois as correntes I1 e I2 estão no mesmo sentido. 
1.5.4. Ponte de Wheatstone. 
1. Calcule o valor de Rpot para obter o equilíbrio da ponte para o circuito da figura 
abaixo. 
33 
 
 
Cálculo: R3= 
R1 
R2
 . Rp 390 Ω = 
100𝛺 
150 Ω
. (Rp) Rp= 585 Ω 
Resposta: Logo, o valor obtido de resistência para o potenciômetro é de 585 Ω. 
 
2. Com o valor obtido na questão anterior, calcule as tensões em cada resistor e no 
potenciômetro. Compare com os valores obtidos no item 2. 
Resposta: Os dados obtidos do item 2 foram: 
R 100Ω 150 Ω 390 Ω Rpot. 
V 0,491 0,882 0,449 0,924 
 
Os cálculos são gerados a partir do Rpot.= 585Ω 
Sabendo que a tensão calculada V100Ω=V390Ω e que V150Ω=Vpotenciômetro, pois a corrente e a tensão 
que fluem no microamperímetro são nulas, chegamos aos valores abaixo: 
Tensão do resistor de 100Ω: V100Ω=
𝑅1
𝑅1+𝑅2
 * (Vfonte)=
100𝛺
100𝛺+150 𝛺
 * (1,5V) = 0,6 V 
Tensão do resistor de 150 Ω: V100Ω=
𝑅2
𝑅1+𝑅2
 * (Vfonte)=
150𝛺
100𝛺+150 𝛺
 * (1,5V) = 0,9 V 
Tensão do resistor de 390 Ω: V100Ω=
𝑅3
𝑅3+𝑅𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖ô𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
 * (Vfonte)=
390𝛺
390𝛺+585 𝛺
 * (1,5V) = 0,6 
V 
Tensão do resistor do potenciômetro: V100Ω=
𝑅𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖ô𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
𝑅3+𝑅𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖ô𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
 * (Vfonte)=
100𝛺
100𝛺+150 𝛺
 * 
(1,5V) = 0,9 V 
 
 
 
Abaixo, temos um quadro comparativo entre os valores medidos e os valores calculados, com 
seu respectivo erro experimental ou desvio: 
Resistor Valor Medido (V) Valor Calculado (V) Erro Experimental 
390 Ω 
34 
 
R1= 100Ω 0,491 V 0,600 V E.E.= 
𝑉𝑀−𝑉𝐶
𝑉𝐶
 *100 = 18,17% 
R2 = 150 Ω 0,882 V 0,900 V E.E.= 
𝑉𝑀−𝑉𝐶
𝑉𝐶
 *100 = 2,00% 
R3 = 390Ω 0,449 V 0,600 V E.E.= 
𝑉𝑀−𝑉𝐶
𝑉𝐶
 *100 = 25,17% 
Rpot = 585 Ω 0,924 V 0,900 V E.E.= 
𝑉𝑀−𝑉𝐶
𝑉𝐶
 *100 = 2,66% 
Observa-se, portanto, que os resistores R1 e R3 apresentaram grande distorção entre os valores 
calculados e os valores medidos. 
 
3. Determine o valor de Rx para cada caso no item 4, anotando os resultados no quadro 
abaixo: 
 Rdec; Rx Rohm V 
R1 950Ω 633,33 Ω 218,3 Ω 0,256 V 
R2 949Ω 632,67 Ω 430 Ω 0,427 V 
R3 950Ω 633,33 Ω 0,98 Ω 0,696 V 
R4 937Ω 624,67 Ω 109 Ω 0,141 V 
R5 950Ω 633,33 Ω 137 Ω 0,1758 V 
 
Cálculo: 
Rx – Resistor R1 = 
R1 
R2
 . Rdéc. Rx= 
100Ω 
150Ω
 . (950Ω) = 633,33 Ω 
Rx – Resistor R2 = 
R1 
R2
 . Rdéc. Rx= 
100Ω 
150Ω
 . (949Ω) = 632,67 Ω 
Rx – Resistor R3 = 
R1 
R2
 . Rdéc. Rx= 
100Ω 
150Ω
 . (950Ω) = 633,33 Ω 
Rx – Resistor R4 = 
R1 
R2
 . Rdéc. Rx= 
100Ω 
150Ω
 . (937 Ω) = 624,67 Ω 
Rx – Resistor R5 = 
R1 
R2
 . Rdéc. Rx= 
100Ω 
150Ω
 . (950Ω) = 633,33 Ω 
 
 
4. Compare os valores obtidos no exercício anterior com os valores medidos com o 
ohmímetro constante no quadro. 
Resposta: Os resultados apresentaram grande distorção. Talvez,porque o princípio da Ponte de 
Wheatstone não foi totalmente respeitado pelo fato de a tensão não ser nula, como deveria. 
 Rdec; Rx Rohm 
R1 950Ω 633,33 Ω 218,3 Ω 
35 
 
R2 949Ω 632,67 Ω 430 Ω 
R3 950Ω 633,33 Ω 0,98 Ω 
R4 937Ω 624,67 Ω 109 Ω 
R5 950Ω 633,33 Ω 137 Ω 
 
5. Por que utilizamos, na ponte de Wheatstone, um microamperímetro e não um 
miliamperímetro? 
Resposta: Utilizamos, na Ponte de Wheatstone, um microamperímetro e não um 
milicamperímetro para aumentar a precisão da medida de resistência do resistor desconhecido. 
 
6. Calcular Rx para a figura abaixo, sabendo que a ponte está no equilíbrio e o cursor do 
potenciômetro está no ponto médio. 
 
 
Cálculo: 
𝑅1
𝑅3
 = 
𝑅2
𝑅𝑥
 
20𝛺
10𝛺
 = 
100𝛺
𝑅𝑥
 
Rx= 50 Ω 
 
 
 
7. Estando a ponte no equilíbrio, determine Rx, VAB, VDC,VR3 e I1 para a figura abaixo. 
36 
 
 
 
Cálculo: 
𝑅1
𝑅3
 = 
𝑅2
𝑅𝑥
 
1500 𝛺
750 𝛺
 = 
300 𝛺
𝑅𝑥
 Rx = 150 Ω 
VAB = 0 V 
VR3 = 
𝑅3
𝑅1+𝑅3
*V = 
750 𝛺
1500 𝛺+750 𝛺
* (10V) = 3,33 V 
VDC = 
I = 
𝑉3
𝑅3
 = 
3,33 𝑉
750 𝛺
 = 4,44 mA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
1.6.Referências Bibliográficas. 
1) BOYLESTESTAD, ROBERT L. 1998. Introdução a análise de circuitos.8ª. Rio de Janeiro . 
Editora Prentice-Hall do Brasil. 
2) CAPUANO, Francisco Gabriel; MARINO, Maria Aparecida Mendes. Laboratório de 
Eletricidade e Eletrônica. 24a ed. São Paulo. Érica, 2008. ISBN 978-85-7194-016-1. 
3) IRWIN, J. David. Análise de circuitos em engenharia. 4ª ed. [S.I.]: Makron, 2000. 
4) EDMINISTER, J.A. Circuitos elétricos. 2ª ed. [S.I.]: Ed. Makron, 1991. 
5) ORSINI, Luiz de Queiroz; CONSONNI, Denise. Curso de circuitos elétricos: volume 1. 2. 
ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2002. 286 p. ISBN 85-212-0308-X. 
6) HAYT, William Hart; KEMMERLY, Jack E.; DURBIN, Steven M. Análise de circuitos em 
engenharia. 8. ed. Porto Alegre, RS: AMGH Ed., 2014. xix, 843 p. ISBN 9788580553833. 
7) ALEXANDER, Charles K; SADIKU, Matthew N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 
Porto Alegre, RS: Bookman, 2003. (reimpressão 2006) 857 p.1 CD-ROM em bolso ISBN 85-
363-0249-6 
8) DORF, Richard C.; SVOBODA, James A. Introdução aos circuitos elétricos. Rio de Janeiro, 
RJ: LTC-Livros Técnicos e Científicos, c2008. xxii, 795 p. ISBN 978-85-216-1582-8. 
9)JOHNSON, David E.; HILBURN, John L.; JOHNSON, Johnny R. Fundamentos de análise 
de circuitos elétricos. 4. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC-Livros Técnicos e Científicos, c2000. 539 
p. ISBN 8521612389.