Apresentação Seminário Cálculo Numérico

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IEC082 – Cálculo Numérico - Seminário de Pesquisa
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS - EDO
Mistura de Soluções
Datação de fósseis por carbono-14
Lei de Resfriamento de Newton
Equipe 
Gabriela Baptista da Silva - 21457433
Igor Moraes Bezerra Calixto - 21456321
Lucas Rondon Fonseca Silva - 21354348
DEFINIÇÃO – EQUAÇÃO DIFERENCIAL 
ORDINÁRIA
 São equações que contém derivadas ou diferenciais de uma ou mais
variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes.
 Exemplos:
COMO RESOLVER UMA EDO?
Na solução de EDO, dois caminhos podem ser seguidos.
O resultado que leva a solução exata do problema (método analítico) ou uma
solução aproximada( método numérico).
Do ponto de vista analítico, resolver uma EDO do tipo y’ = f ( x, y ) é
encontrar uma função y = F ( x ) que satisfaça a equação dada.
Por exemplo, dada a equação diferencial y’ = f ( x, y ) = 2 x + 3, sua solução
é obtida por:
Na verdade, temos uma família de soluções (para cada C  R tem-se uma
solução particular).
y = 

( 2x + 3) dx = x 2 + 3x + C .

Representação Gráfica do problema
Representações de soluções particulares, para alguns 
valores de C, da função
y= x 2 + 3 x + C.
C = 0
C = 2
C = 4
x
y
CLASSIFICAÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
1) Equações Diferenciais Ordinárias – Se a função desconhecida depende 
de uma única variável independente. Neste caso, aparecem apenas 
derivadas simples.
2) Equações Diferenciais Parciais – Se a função desconhecida depende de 
várias variáveis independentes. Neste caso, aparecem as derivadas 
parciais.
3) Sistema de equações diferenciais – Se existem duas ou mais funções que 
devem ser determinadas, precisamos de um sistema de equações. 
Ordem das Equações Diferenciais
Ordem -- a ordem de uma ED é a ordem da mais alta derivada que aparece 
na equação.
Exemplo: 
Geralmente a equação F(y, y’, y”, ..., y(n)) = 0 é uma equação diferencial 
de ordem n. 
Uma EDO dada para a maior derivada, obtendo-se 
12
2
3
3
4
4
 y
dt
dy
dt
yd
dt
yd
dt
yd
4'"2''' tyyyey t  ),...,",',,( 1 nn yyyytfy
EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE PRIMEIRA ORDEM
A forma geral das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem é
dy/dx = f (x,y) (1)
Qualquer função diferencial y = (t) que satisfaça essa equação para todo 
t em um dado intervalo é dita uma solução desta equação. 
Exemplo: y` = 2y + 3e t
Cálculo da taxa de crescimento de uma cultura de bactérias.
Previsão de resultados de uma reação química.
APLICAÇÕES – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Cálculo da expansão de uma mancha de óleo no mar.
APLICAÇÕES – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Medições de variações constantes da corrente elétrica.
Descrição do comportamento das partículas atômicas.
Determinar o ponto entre duas fontes luminosas no qual a iluminação seja máxima.
APLICAÇÕES – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Distância máxima a ser percorrida por um foguete.
Fluxo máximo de tráfego em uma ponte.
Maximizar o lucro na fabricação de um certo produto.
USO DE PROGRAMAS EM EDO
Um computador pode ser uma ferramenta extremamente útil no estudo de
equações diferenciais. Algoritmos já estão sendo usados há muito tempo para
solucioná-las. Entre eles podemos citar: o método de Euler e Runge-Kutta.
Existem excelentes pacotes numéricos gerais que solucionam uma gama de
problemas matemáticos com versões para PC, estações.
Entre eles temos: o Maple, o Mathematica e o Matlab.
COMO USAR O MATLAB PARA 
RESOLVER PROBLEMAS DE EDO?
O Matlab é um software que abrange uma ampla gama de assuntos
relacionados ao aprendizado e ao uso de recursos matemáticos com fins
em si mesmos ou que sirvam de ferramentas de trabalho para químicos,
engenheiros, físicos, acadêmicos e outros que necessitem de
conhecimentos na área de exatas.
Além disso, constitui um ambiente informático para a computação de
expressões algébricas ou simbólicas, permitindo o desenho de gráficos em
duas ou três dimensões.
RESOLUÇÃO DE MÉTODOS 
NUMÉRICOS
Hipóteses
Expresse as hipóteses em
termos de equações
diferenciais
Formulação
Matemática
Compare as 
predições do modelo 
com os fatos 
conhecidos
Exponha as predições
do modelo
(por exemplo, graficamente)
Obtenha as 
Soluções
Se necessário altere as 
hipóteses ou aumente a 
resolução do modelo Resolva as EDs
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS – MISTURA DE SOLUÇÕES
A mistura de uma solução salina com concentração definida dá origem a uma
equação diferencial de primeira ordem para a quantidade de sal contida em
um recipiente.
Problema: Suponha que um sal (CaCO3) contendo 0,5 quilos (Kg) de sal por 
litro(L) entre em um tanque cheio com 450 L de água, contendo 2,5 quilos(Kg) 
de sal. Se o CaCO3 entrar a 22,5 L/minuto, a mistura é mantida uniforme por 
agitação e a mistura flui no mesmo sentido. Encontre a massa de sal no tanque 
após :
a)15 minutos. b) 20 minutos. c)25 minutos.
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS – MISTURA DE SOLUÇÕES
Se A(t) denotar a quantidade de sal (medida em quilogramas) no tanque no instante t, a taxa segundo 
a qual A(t) varia será uma taxa líquida:
(I). A taxa de entrada do sal é: 
Re=(Vazão)*(Entrada de sal no tanque)=(22.5L/min)*(0,5Kg/L)= 11,25 Kg/min
(II). A taxa de saída do sal é: 
Rs=A(t)/V *(Vazão) = (A(T))/(450 L)*(22,5 L/min) =0,05 A(t) Kg/min
(III).A concentração de sal no tanque e o fluxo de saída;
C=A(t)/V=A(t)/450L
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS – MISTURA DE SOLUÇÕES
se RR
dt
dA











sal de 
saída de taxa
sal de 
entrada de taxa
(IV) Cálculo: dA/dt=?
dA/dt = (Taxa de entrada do sal) –( Taxa de Saída do sal)
dA/dt = Re – Rs= 11,25 Kg/min - 0,05 A(t) Kg/min
dA/dt + 0,05 A(t)=11,25
A= e^(-1/20)*t (int e^t/20*11,25dt + C)
A=e^(-1/20)*t(20*e^(t/20)*11,25 + C)
A=e^(-1/20)*t(225*e^(t/20)+C)
A(t)= 225 + C*e^(-1/20)*t ( Função atribuída para o problema)
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS – MISTURA DE SOLUÇÕES
(V) Calcular valor de C;
A(0)=2,5 Kg; Para A(0)=2,5 Kg, temos:
2,5= 225 + C*(e^(-0/20))
2,5=225 + C
C= -222,5
Logo, a solução fica:
A=225 – 222,5*(e^(-t/20))
(VII). Calcular valor de A para t=15 minutos.
A(15)=225 – 222,5*(e^(-15/20))
A(15)=225 – 222,5*(0,4724032869)
A(15)=225 – 105,1097313 = 119,8902687 Kg
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS – MISTURA DE SOLUÇÕES
B) Resolução
(I) Calcular valor de A para t=20 minutos;
A(t)=225-222,5*(e^(-t/20))
A(20)=225 -222,5*(e^(-1))
A(20) = 225 – 222,5*(0,3679175865)
A(20) = 225 – 81,68166299 = 143, 138337 Kg
C) Resolução:
(I) Calcular valor de A para t=25 minutos;
A(t)=225-222,5*(e^(-t/20))
A(20)=225 -222,5*(e^(-1,2))
A(20) = 225 – 222,5*(0,3012316892)
A(20) = 225 – 67,02405084 = 157,9759492 Kg
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS – MISTURA DE SOLUÇÕES
Em Física, meia-vida é uma medida de estabilidade de uma substância radioativa.
A meia-vida é simplesmente o tempo gasto para a metade dos átomos de uma
quantidade inicial A se desintegrar ou se transformar em átomos de outro elemento.
Quanto maior a meia-vida de uma substância, mais estável ela é.
Por volta de 1950, o químico Willard Libby inventou um método para determinar a
idade de fósseis utilizando o carbono radioativo.
A teoria da cronologia do carbono se baseia no fato de que o isótopo do carbono 14
é produzido na atmosfera pela ação de radiações cósmicas no nitrogênio.
A razão entre a quantidade de C-14 para carbono ordinário na atmosfera parece ser
uma constante e, como consequência, a proporção de quantidade na atmosfera.
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS – DATAÇÃO DE FÓSSIL 
POR CARBONO-14
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS – DATAÇÃO DE FÓSSIL 
POR CARBONO -14Problema: Em um pedaço de madeira, é encontrado 1/500 da quantidade 
original de carbono-14. Sabe-se que a meia-vida é de 5600 anos, ou seja, que em 
5600 anos metade do carbono-14 presente transforma-se em carbono-12. 
Determine a idade deste pedaço de madeira. 
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS – DATAÇÃO DE FÓSSIL 
POR CARBONO -14
Resolução:
(I) Expressar a variação da quantidade de carbono-14 pelo número de anos através da EDO abaixo:
Dy/dt= K*y e y(0)=y0
(II). Calcular a função geral do problema:
Dy/y= Kdt
Lny+lnc= kt
e^(lnCy)=e^(Kt)
C*y=E^(Kt)
Y(t) = (1/C)*e^(Kt)= C*e^(Kt)
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS – DATAÇÃO DE FÓSSIL 
POR CARBONO -14
(III) Estimar valor de C, quando y(0)=y0
Y(0)=C*e^(k*0)
C= y(0), Logo: y(0)= y0*e^(kt)
(IV) . Sabendo que a meia-vida é de 5600 anos, podemos calcular K:
T=5600 anos , logo: y1=y0/2
Y=y0*e^(Kt)
Y0/2=y0*e^(k5600)
K=(-ln2/5600)
(V). Agora, calcular o número de anos para y0/500. Fórmula: y=y0*e^(Kt)
y0/500=y0*e^((-ln2/5600)*t)
1/500=e^((-ln2/5600)*t)
-ln 500= -(ln 2/5600)*t
T=50208,39199 anos de decomposição da madeira.
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS – DATAÇÃO DE FÓSSIL 
POR CARBONO -14
A taxa segundo a qual a temperatura de um corpo varia é proporcional à diferença
entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o rodeia (temperatura
ambiente).
T(t): Temperatura de um corpo no instante t,
Tm: Temperatura do meio que o rodeia e ...
dT/dt: Taxa de variação da temperatura do corpo.
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS – LEI DE RESFRIAMENTO 
DE NEWTON
)( mm TTk
dt
dT
ouTα T
dt
dT

Problema: O café está a 80ºC logo depois de coado e, um minuto depois, passa para 
75ºC, em uma cozinha à 25ºC. Determine a temperatura do café em função do tempo e 
o tempo que leva para o café chegar a 60ºC.
Resolução: 
dT/dt=K(T-Tm) dT/dt=k(T-25)
T(0)=To T(0)=80ºC
(I). Aplicar a integral em ambos os lados da EDO para encontrar a função que resolva o problema:
Int dT/(T-25) = int Kdt
T(t) = 25 + c*e^(kt)
(II) Substituir T(0)=80ºC para encontrar o valor de c;
T(0)=25 +c*e^(kt)
80 = 25 + c*e^(k*0)
c=80 -25= 55
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS – LEI DE RESFRIAMENTO 
DE NEWTON
(III). Para T(1)=75ºC, temos:
T(t)=25 + 55*e^(kt)
T(1)= 25 +55*e^(k*1)
75-25=55*e^(k)
50=55*e^(k) , logo k=ln(50/55)
(IV) Determinar a o tempo em que a temperatura do café chega a 60ºC.
T(t)=25+55*e^(-0,0953101798t)
60=25+55*e^(-0,0953101798t)
35=55*e^(-0,0953101798t) 
ln(35/55)=ln(e^(-0,0953101798t)) 
-0,4519851237=-0,0953101798 t
Tempo t=4,742254444 minutos
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS – LEI DE RESFRIAMENTO DE 
NEWTON
BzB
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1) SILVA; E.C. Equações Diferenciais Ordinárias em Alguns contextos 
históricos e Reais. 
2) ARAÚJO;J.E. Equações Ordinárias e Aplicações, 2011. Centro de 
Ciências Tecnológicas.
3) SOUZA,F.P.D; ASSIS, A.M.D.M. Ensino de Matemática com o Maple
para graduação em Química.