Aula 4 - Transformações Lineares

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
 Escola de Engenharia de Lorena – EEL 
ALCV
Transformações Lineares (TL)
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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ROTEIRO
Transformações Lineares (TL) – I 
Conceito
Definições
Matriz Canônica
Transformações Afins
Núcleo e Imagem de uma TL
Aplicações
Ref: Pole, David; Álgebra linear , 1ª Edição, Thompson.
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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ROTEIRO
Transformações Lineares (TL) – I 
Conceito
Definições
Matriz Canônica
Transformações Afins
Núcleo e Imagem de uma TL
Aplicações
Ref: Pole, David; Álgebra linear , 1ª Edição, Thompson.
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2011
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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Conceito
Uma transformação de um conjunto não vazio V em um conjunto não vazio W é uma correspondência T que, a cada elemento x de V, associa um único elemento w = T(x) de W: denota-se T: V => W. 
O conjunto de elementos w para o qual existe um x tal que T(x) = w chama-se IMAGEM de T. 
O conjunto V chama-se DOMÍNIO e o conjunto W chama-se CONTRA-DOMÍNIO de T. 
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Conceito
Uma função T (ou aplicação) é denominada TRANSFORMAÇÃO LINEAR de 
 se: 
Se U = V então a transformação linear é chamada de Operador Linear
T(x) = f(x)
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Aplicações
Problemas Abordados:
1 – Conheço o Domínio. Determinar a Imagem.
2- Conheço a Imagem. Determinar o Domínio
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3 – Matriz representativa de uma Transformação Linear (TL).
4- Não conheço a TL. Determinar Imagem.
Aplicações
Problemas Abordados:
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Aplicações
Problemas Abordados:
A matriz T define a TL:
Escalonamento
Rotação
Translação
Cizalhamento
5 –Transformação Linear (AFINS).
6- Aplicação de TL: MUDANÇA DE BASE.
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Exemplo – 1.1 
Determine a imagem do vetor associada à TL , sendo: 
 Dado:
Note que:
L(u)
L(u)
L(u)
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Exemplo – 1.2 
Logo:
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Exemplo – 2.1 
Verifique se o vetor pertence à IMAGEM de , sendo:
 Dado:
Note que:
u =?
L(u)
L(u)
u =?
L(u)
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Exemplo – 2.2 
Desde que:
O problema quer que se faça a verificação:
Note que o sistema é Possível e Determinado, logo v pertence à imagem de L. 
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Exemplo – 3.1 
Considere a função f como sendo uma TRANSFORMAÇÃO LINEAR:
Determine a MATRIZ representativa desta TL.
IN: 3
OUT: 2
IN: 3
OUT: 2
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Exemplo – 3.2 
Considere a função f como sendo uma TRANSFORMAÇÃO LINEAR:
A MATRIZ representativa desta TL pode ser escrita como:
IN: 3
OUT: 2
IN: 3
OUT: 2
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Exemplo – 3.3 
Note que a representação MATRICIAL desta TL é escrita de forma análoga à função:
Sendo: . Note que:
Ou seja:
Como era de se esperar !
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Exemplo – 4.1 
Seja uma TL tal que:
Determine: = ?
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Exemplo – 4.2 
A representação matricial desta TL pode ser escrita como:
Logo:
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Exemplo – 4.3 
Note que este problema poderia ser resolvido utilizando o conceito de TL:
O qual pode ser escrito:
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Transformações Lineares (TL) – I 
Conceito
Definições
Matriz Canônica
Transformações Afins
Núcleo e Imagem de uma TL
Aplicações
Ref: Pole, David; Álgebra linear , 1ª Edição, Thompson.
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Matriz Canônica
Teorema: Seja uma TL. Então existe uma ÚNICA matriz A(m x n) tal que: 
Exemplo: Considere a TL:
Determine a matriz canônica.
“Se for possível representar a TL na forma indicada ao lado, diz-se que A é a matriz canônica da TL”
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Exemplo 1.1
O primeiro passo para resolver este exercício é determinar a ORDEM da matriz A:
Uma vez definida a ordem da matriz A (3x3), determinam-se os VERSORES associados à matriz canônica. Considere, por exemplo, a direção “x”:
Ok, é possível realizar a multiplicação!
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Exemplo 1.2
Analogamente, para as direções “y” e “z”, tem-se:
Portanto, a MATRIZ CANÔNICA será dada por:
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Transformações Lineares (TL) – I 
Conceito
Definições
Matriz Canônica
Transformações Afins
Núcleo e Imagem de uma TL
Aplicações
Ref: Pole, David; Álgebra linear , 1ª Edição, Thompson.
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Transformações Afins (T)
 Estão associadas ao ESCALONAMENTO, ROTAÇÃO, TRANSLAÇÃO ou CISALHAMENTO de um conjunto de pontos;
 Uma imagem f , definida no sistema de coordenadas (w,z), gera uma nova imagem g, no espaço de coordenadas (x,y), a partir de uma transformação L:
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Transformações Afins (T)
 Pode-se escrever esta transformação na forma matricial como sendo:
A matriz T define a TL:
Escalonamento
Rotação
Translação
Cizalhamento
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Exemplo 1
 Transformação IDENTIDADE:
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Exemplo 2
 Transformação de ESCALONAMENTO:
x= 3 w
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Exemplo 3
 Transformação de ROTAÇÃO:
Rotação: 45 deg
Observe que a ROTAÇÃO é em torno da ORIGEM do sistema de eixos wOz
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Exemplo 4
 Transformação de CIZALHAMENTO HORIZONTAL:
x = 100 + 2*100
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Exemplo 5
 Transformação de CIZALHAMENTO VERTICAL:
y = 2*100 + 100
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Exemplo 6
 Transformação de TRANSLAÇÃO:
y = 100 + 10
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Transformações Conformes
 Transformações LINEARES CONFORMES são transformações AFINS com PRESERVAÇÃO de FORMAS e ÂNGULOS;
Essencialmente, consiste de fatores de: ESCALA, TRANSLAÇÃO e ÂNGULO DE ROTAÇÃO.
FATORES:
ESCALA: s
TRANSLAÇÃO:
ROTAÇÃO: 
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Transformações Conformes
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TL no PLANO
O conceito de TL aplicada à mudança de coordenadas foi apresentado no estudo de cônicas. Neste tópico, este conceito é formalizado utilizando-se as definições de Transformações Lineares (TL). 
Considere a figura abaixo. Determine a equação da reta r.
Na base (xOy)’;
Na base (xOy)’’;
Na base (xOy);
Determine A nas bases supracitadas.
O’
O
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APLICAÇÕES – 2.2 
Equação da reta r:
Na base (xOy)’;
Na base (xOy)’’;
Na base (xOy);
Determine A nas bases supracitadas.
Note que a reta passa pelos pontos O’(0,0) e P(-2,2). Logo:
Analogamente ao estudo de cônicas, esta é a EQUAÇÃO CANÔNICA DA RETA !
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APLICAÇÕES – 2.3 
Equação da reta r:
Na base (xOy)’;
Na base (xOy)’’;
Na base (xOy);
Determine A nas bases supracitadas.
A base (xOy)’’ está relacionada com a base (xOy)’ conforme segue:
Sendo: , tem-se:
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APLICAÇÕES – 2.4 
A TL que estabelece a correspondência entre as bases (xOy)’’ e a base (xOy)’ é definida conforme segue:
Desde que:
Tem-se, na forma matricial:
Utilizando-se o conceito de TL:
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APLICAÇÕES – 2.5 
Equação da reta r:
Na base (xOy)’;
Na base (xOy)’’;
Na base (xOy);
Determine A nas bases supracitadas.
A base (xOy)’’ está relacionada com a base (xOy) conforme segue:
Sendo: , tem-se:
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APLICAÇÕES – 2.6 
A TL que estabelece a correspondência entre as bases (xOy) e a base é (xOy)’’ definida conforme segue:
Desde que:
Tem-se, na forma matricial:
Utilizando-se o conceito de TL:
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APLICAÇÕES – 2.7 
A TL que estabelece a correspondência entre as bases (xOy) e a base é (xOy)’ pode ser escrita de FORMA DIRETA? Aluno
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APLICAÇÕES – 2.8 
Equação da reta r:
Na base (xOy)’;
Na base (xOy)’’;
Na base (xOy);
Determine A nas bases supracitadas.
Note que, na base (xOy): 
A(x=0,y=6), pois:
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APLICAÇÕES – 2.8
Aluno, tente resolver ! 
Equação da reta r:
Na base (xOy)’;
Na base (xOy)’’;
Na base (xOy);
Determine A nas bases supracitadas.
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APLICAÇÕES – 2.9
Respostas! 
Equação da reta r:
Na base (xOy)’;
Na base (xOy)’’;
Na base (xOy);
Determine A nas bases supracitadas.
Sintetizando:
	Base (xOy)	: A(0,6)
	Base (xOy)’	: A(1,-1)
	Base (xOy)’’	: A(-1,1)
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TRABALHOS
1-Resolução de Equação 3º grau
2-Demonstração do Método de Kramer
3-Aplicação de Matriz de Mudança de coordenadas:
Cilíndrica <> Cartesiana
4-Aplicação de Matriz de Coordenadas:
Esférica <> Cartesiana
5-Aplicação de Matriz de Coordenadas:
Esférica <> Cilíndrica
6-Números de Fibonacci e o conceito de Autovalores/Autovetores
7-Aplicação de Tranformações Lineares :
Elipse
Hipérbole
Parábola
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