Aula 3 - Autovalores Cônicas

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
 Escola de Engenharia de Lorena – EEL 
ALCV
APLICAÇÃO AV
CÔNICAS
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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2012
Álgebra Linear
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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ROTEIRO
APLICAÇÃO DE AUTOVALORES E AUTOVETORES: CÔNICAS
Forma Quadrática
Conceito de Transformação Linear
Estudo de Cônicas
Determinação da equação de cônicas
Reconhecimento
Exercícios
Ref: Steinbruch e Winterle, Álgebra Linear – Cap 6, McGraw-Hill
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Álgebra Linear
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ROTEIRO
APLICAÇÃO DE AUTOVALORES E AUTOVETORES: CÔNICAS
Forma Quadrática
Conceito de Transformação Linear
Estudo de Cônicas
Determinação da equação de cônicas
Reconhecimento
Exercícios
Ref: Steinbruch e Winterle, Álgebra Linear – Cap 6, McGraw-Hill
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Álgebra Linear
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Forma Quadrática – 1 
Seja a FORMA QUADRÁTICA em 3 variáveis (x, y, z):
Esta equação pode ser representada pelo produto de 3 matrizes:
sendo:
 e
Matriz SIMÉTRICA
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Forma Quadrática – 2 
Analogamente, pode-se obter a FORMA QUADRÁTICA em 2 variáveis (x, y):
Esta equação pode ser representada pelo produto de 3 matrizes:
sendo:
 e
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ROTEIRO
APLICAÇÃO DE AUTOVALORES E AUTOVETORES: CÔNICAS
Forma Quadrática
Conceito de Transformação Linear
Estudo de Cônicas
Determinação da equação de cônicas
Reconhecimento
Exercícios
Ref: Steinbruch e Winterle, Álgebra Linear – Cap 6, McGraw-Hill
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Álgebra Linear
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Transformação Linear 
Observe que, fazendo a substituição de variáveis
em 
 
Tem-se :
Ou seja:
D: Matriz DIAGONAL
Elementos de D: Autovalores de A
Note que foram eliminados os termos CRUZADOS
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Exemplo – 1.1 
Seja a FORMA QUADRÁTICA em 3 variáveis (x, y, z):
Esta equação pode ser representada pelo produto de 3 matrizes:
sendo:
 e
Matriz SIMÉTRICA
Matriz SIMÉTRICA
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Exemplo – 1.2 
A fim de determinar a matriz diagonal D, temos que calcular os autovetores e autovalores da matriz A:
Autovetores NORMALIZADOS:
Note que a NORMALIZAÇÃO assegura que:
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Exemplo – 1.3 
Portanto, S pode ser escrito conforme segue:
Forma CANÔNICA
Forma CANÔNICA
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Exemplo – 1.4 
OBSERVAÇÕES:
Observe que S escrito em função de x,y e z, apresenta termos “cruzados”;
Quando S é escrito em função de , os termos cruzados são eliminados;
Denomina-se “forma canônica” a representação de S SEM os referidos termos cruzados.
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Exemplo – 2.1 
Considere a forma quadrática:
Determine a forma canônica de S.
Matrizes envolvidas no problema:
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Exemplo – 2.2 
Autovalores da matriz A:
Autovetores da matriz A:
Forma CANÔNICA de S:
Forma CANÔNICA:
Basta conhecer os AUTOVALORES de A
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Exemplo – 2.3 
Considere um vetor de S, qual seja: u = (1 2). Desde que : 
Tem-se que:
Agora, façamos o cálculo de S, utilizando-se a expressão de S como função de x’ e y’, ou seja, desde que:
sendo:
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Exemplo – 2.4 
Logo :
Portanto:
Substituindo-se na expressão de S= S(x’,y’):
=(x’ y’)T
Inversa da MATRIZ DOS AUTOVETORES
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Exemplo – 2.5 
Observações
Ou seja, a MATRIZ DE AUTOVETORES tem como função neste exercício de MATRIZ DE MUDANÇA DE “BASE”. De fato, existe uma relação entre as “coordenadas” x e y e o sistema baseado nas coordenadas x’ e y’;
Outro aspecto interessante a ser citado diz respeito aos valores de S obtidos nos dois “sistemas de coordenadas”. Note que o valor encontrado para S foi 40, INDEPENDENTEMENTE de se utilizar o sistema baseado em (x,y) ou (x’,y’);
As conclusões supramencionadas nos permitem afirmar que:
Um vetor representado em diferentes bases apresenta o MESMO módulo;
A conversão de um sistema de coordenadas em outro é função direta da MATRIZ DE AUTOVETORES. Para se realizar esta conversão é necessário que a matriz dos autovetores NÃO SEJA SINGULAR (precisa admitir a existência de sua inversa).
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ROTEIRO
APLICAÇÃO DE AUTOVALORES E AUTOVETORES: CÔNICAS
Forma Quadrática
Conceito de Transformação Linear
Estudo de Cônicas
Determinação da equação de cônicas
Reconhecimento
Exercícios
Ref: Steinbruch e Winterle, Álgebra Linear – Cap 6, McGraw-Hill
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Análise de Cônicas – 1 
Neste tópico são aplicadas as técnicas ilustradas anteriormente com a finalidade de se determinar a equação canônica de uma cônica;
A metodologia será apresentada na forma de resolução de exercício;
Considere a equação quadrática abaixo:
Observe que se trata de uma função quadrática (maior expoente polinomial 2), e que a mesma apresenta “termos cruzados”;
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Análise de Cônicas – 2
Essencialmente, o algoritmo de análise a ser adotado segue os mesmos moldes já apresentados no curso de GEOMETRIA ANALÍTICA (Assunto: Cônicas), ou seja:
Colocar a equação quádrica na forma matricial;
Determinar os autovalores e autovetores da matriz A;
Eliminar os termos cruzados (“Rotação de Eixos”)
Transformação Linear (ver slide 6):
Translação de eixos. 
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Análise de Cônicas – 3
Colocar a equação quadrática na FORMA MATRICIAL;
Sendo:
Tem-se:
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Análise de Cônicas – 4
Determinar AUTOVALORES e AUTOVETORES da matriz A:
Sendo: 
Tem-se:
Logo, os autovetores NORMALIZADOS serão:
Autovalores
Matriz dos Autovetores
Autovalores
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Análise de Cônicas – 5
Eliminar TERMOS CRUZADOS: “Rotação de Eixos”:
Fazendo a TRANSFORMAÇÃO LINEAR: , teremos:
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Análise de Cônicas – 6
TRANSLAÇÃO de eixos:
A equação obtida anteriormente não apresenta termos cruzados, entretanto, é 
necessário verificar se os eixos da cônica foram transladados. Esta análise é feita por
manipulação algébrica:
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Análise de Cônicas – 7
Logo, a equação da cônica é dada por:
sendo:
É instrutivo ressaltar que esta solução está associada aos AUTOVALORES da matriz A:
Equação CANÔNICA
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Análise de Cônicas – 8
Note que a equação da cônica é função dos AUTOVALORES da matriz A:
Os AUTOVETORES estão associados aos VERSORES do sistema de coordenadas “canônico” da referida cônica:
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Álgebra LinearMAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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APLICAÇÃO DE AUTOVALORES E AUTOVETORES: CÔNICAS
Forma Quadrática
Conceito de Transformação Linear
Estudo de Cônicas
Determinação da equação de cônicas
Reconhecimento
Exercícios
Ref: Steinbruch e Winterle, Álgebra Linear – Cap 6, McGraw-Hill
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Reconhecimento de Cônicas
De forma geral, toda função quadrática pode ser representada pelo produto matricial:
sendo:
A equação característica de A é dada por:
Note que e 
São AUTOVALORES de A
Matriz SIMÉTRICA
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Reconhecimento de Cônicas
Comparando-se as expressões acima, pode-se constatar que:
É instrutivo notar que: . 
Sendo uma equação de 2º grau, teremos mais de uma solução. Essencialmente, a análise destas raízes é o próprio reconhecimento de uma cônica, ou seja, somente a partir destes resultados que será possível dizer se a cônica é uma elipse, parábola ou hipérbole. 
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Reconhecimento de Cônicas
Análise das Raízes:
 
Autovalores diferentes de zero e mesmo sinal
Sinais NEGATIVOS: Não tem solução
Sinais POSITIVOS : Elipse 
;
 Autovalores diferentes de zero e sinais opostos
 Hipérbole com eixo de simetria em X ou Y
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Reconhecimento de Cônicas
Análise das Raízes:
 
Um dos Autovalores vale zero
Cônica sem centro: Parábola
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APLICAÇÃO DE AUTOVALORES E AUTOVETORES: CÔNICAS
Forma Quadrática
Conceito de Transformação Linear
Estudo de Cônicas
Determinação da equação de cônicas
Reconhecimento
Exercícios
Ref: Steinbruch e Winterle, Álgebra Linear – Cap 6, McGraw-Hill
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Álgebra Linear
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Ex. 1
Determinar a equação canônica da cônica abaixo:
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Álgebra Linear
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Ex. 2
Determinar a equação canônica da cônica abaixo:
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Série
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Série (fazer gráficos)
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