Exercício 31.1. 1. Determine os autovalores e bases para os autoespaços correspondentes da matriz ( 3 0 8 −1 ). 2. Determine os autovalores e ...
1. Determine os autovalores e bases para os autoespaços correspondentes da matriz
(
3 0
8 −1
).
2. Determine os autovalores e bases para os autoespaços correspondentes da matriz
(
3 2
4 1
).
3. Considere a matriz A=
⎛
⎝ 4 0 1
−2 1 0
−2 0 1
⎞
⎠.
a. Determine os autovalores e bases para os autoespaços correspondentes da matriz A.
b. Determine as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor.
4. Considere a matriz A=
⎛
⎝ 2 −1 −1
1 0 −1
−1 1 2
⎞
⎠.
a. Determine os autovalores e bases para os autoespaços correspondentes da matriz A.
b. Determine as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor.
5. Determine os valores de a, b, c, d, e e f , de modo que v1 = (1,1,1),v2 = (1,0,−1) e v3 = (1,−1,0) sejam autovetores da matriz A=
⎛
⎝ 1 1 1
a b c
d e f
⎞
⎠, e dê os autovalores associados a v1, v2 e v3.
1. Determine os autovalores e bases para os autoespaços correspondentes da matriz (3 0 8 -1).
2. Determine os autovalores e bases para os autoespaços correspondentes da matriz (3 2 4 1).
3. Considere a matriz A= (4 0 1 -2 1 0 -2 0 1). a. Determine os autovalores e bases para os autoespaços correspondentes da matriz A. b. Determine as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor.
4. Considere a matriz A= (2 -1 -1 1 0 -1 -1 1 2). a. Determine os autovalores e bases para os autoespaços correspondentes da matriz A. b. Determine as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor.
5. Determine os valores de a, b, c, d, e e f , de modo que v1 = (1,1,1),v2 = (1,0,-1) e v3 = (1,-1,0) sejam autovetores da matriz A= (1 1 1 a b c d e f), e dê os autovalores associados a v1, v2 e v3.
Para encontrar os autovalores de uma matriz, devemos encontrar as raízes do seu polinômio característico.
A multiplicidade geométrica de um autovalor é a dimensão do autoespaço associado a ele.
O polinômio característico de uma matriz de ordem n tem grau n.
O coeficiente do termo de mais alto grau do polinômio característico de uma matriz é sempre igual a 1.
Essa pergunta também está no material:
💡 1 Resposta
Ed 
Para a matriz (3 0 8 -1): 1. Para encontrar os autovalores, devemos encontrar as raízes do seu polinômio característico. O polinômio característico é dado por: det(A - λI) = |3-λ 0 8 -1 | |0 -1-λ 0 0 | |8 0 -1-λ 0 | |-1 0 0 -1-λ| = (3-λ) [(λ+1)^2 - 64] + 8 [λ(λ+1)] - (-1-λ) [8(3-λ)] = λ^3 - λ^2 - 33λ - 35 Resolvendo a equação λ^3 - λ^2 - 33λ - 35 = 0, encontramos os autovalores λ1 = -5, λ2 = 3 e λ3 = 1. 2. Para encontrar as bases dos autoespaços correspondentes, devemos resolver o sistema homogêneo (A - λI)x = 0 para cada autovalor. Para λ1 = -5, temos: (A - λ1I)x = |8 0 8 -1| |0 4 0 0 | |8 0 4 0 | |-1 0 0 4 | => |8 0 8 -1| |0 4 0 0 | |0 0 -4 1 | |0 0 1 0 | => x1 = (1, 0, 0, 0), x2 = (0, 0, -1/4, 1), x3 = (-1/2, 0, 0, 0) Portanto, a base do autoespaço correspondente a λ1 é { (1, 0, 0, 0), (0, 0, -1/4, 1), (-1/2, 0, 0, 0) }. Para λ2 = 3, temos: (A - λ2I)x = |0 0 8 -1| |0 -2 0 0 | |8 0 -4 0 | |-1 0 0 -2| => |0 0 8 -1| |0 -2 0 0 | |0 0 -4 1 | |0 0 1 -5| => x1 = (1, 0, 0, 0), x2 = (0, 0, -1/4, 1), x3 = (-1/2, 0, 0, 0) Portanto, a base do autoespaço correspondente a λ2 é { (1, 0, 0, 0), (0, 0, -1/4, 1), (-1/2, 0, 0, 0) }. Para λ3 = 1, temos: (A - λ3I)x = |2 0 8 -1| |0 0 0 0 | |8 0 -2 0 | |-1 0 0 0 | => |2 0 8 -1| |0 0 0 0 | |0 0 -6 1 | |0 0 1 1 | => x1 = (1, 0, 0, 0), x2 = (0, 1, -1/6, 0), x3 = (-4, 0, -1, 0) Portanto, a base do autoespaço correspondente a λ3 é { (1, 0, 0, 0), (0, 1, -1/6, 0), (-4, 0, -1, 0) }.
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