Calculo 1 - Lista de exercicios N1 (GABARITO)

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Gabarito Lista 1 - Cálculo 1 – 2016.2 
1) a) 
0)1(1  fx
 
2)1(lim
1
)1)(1(
lim
1
01
lim
)()(
lim
11
2
1











x
x
xx
x
x
ax
afxf
m
xxxax
 
)1(2)( 00  xyxxmyy
 
1)0(0  fx
 
0limlim
)1(1
lim
0
2
0
2
0




x
x
x
x
x
m
xxx
 
01)( 00  yxxmyy
 
1)( 2  aafax
 
aax
ax
axax
ax
ax
ax
ax
m
axaxaxax
2)(lim
))((
limlim
)1(1
lim
2222











 
)(2)1()( 200 axaayxxmyy 
 
b) 
xxxf 53)( 2 
 
4
7
2
1
2
1






 fx
 
2
6
7
3lim
2
1
2
1
6
7
3
lim
2
1
4
7
53
lim
2
1
4
7
53
lim
)()(
lim
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1







































x
x
xx
x
xx
x
xx
ax
afxf
m
xxxxax
 







2
1
2
4
7
)( 00 xyxxmyy
 
aaafax 53)( 2 
 
 
  565)(3lim
5)(3)(
lim
)(5))((3
lim
)(5)(3
lim
)53(53
lim
2222














aax
ax
axax
ax
axaxax
ax
axax
ax
aaxx
m
axaxaxaxax
 
))(56()53()( 200 axaaayxxmyy 
 
 
2) 
91442  yx
 ok 
6)4(lim
2
)4)(2(
lim
2
82
lim
2
912
lim
22
2
2
2
2











x
x
xx
x
xx
x
xx
m
xxxx
 
)2(69)( 00  xyxxmyy
 
 
3) a) 
xhx
h
hxh
h
xhxhx
h
xhx
h
xfhxf
xf
hhhhh
8)48(lim
48
lim
414841
lim
)41()(41
lim
)()(
lim)´(
0
2
0
222
0
22
00










 
 
b) 













 )12).(1)(2(
1)(212
lim
)12).(1)(2(
1)(212
lim
12
1
1)(2
1
lim
)()(
lim)´(
0000 xhxh
hxx
h
xhx
hxx
h
xhx
h
xfhxf
xf
hhhh
 


























 )1)(212()12).(1)(2(
)1)(2(12
lim
1)(212
1)(212
)12).(1)(2(
1)(212
lim
00 hxxxhxh
hxx
hxx
hxx
xhxh
hxx
hh
 























 )1)(212()12).(1)(2(
2
lim
)1)(212()12).(1)(2(
2
lim
00 hxxxhxhxxxhxh
h
hh
 
12)12(2
2
)1212()12).(12(
2






xxxxxx
 
 
4) 
1)1( f
 














 )1)(1(
12
lim
1
1
12
lim
1
1
1
2
lim
)()(
lim
2
2
1
2
2
1
2
1 xx
xx
x
x
xx
x
x
x
ax
afxf
m
xxxax
 
0
1
)1(
lim
)1)(1(
)1(
lim
)1)(1(
12
lim
212
2
12
2
1










 x
x
xx
x
xx
xx
xxx
 
Obs.: 
0m
 pelo fato de que o ponto 
)1,1(
 do gráfico de 
f
 é um ponto de 
máximo. Neste caso a reta tangente ao gráfico de 
f
 em 
)1,1(
 é horizontal. 
01)( 00  yxxmyy
 
 
5) Neste caso o ponto 
)4,1(Q
 não pertence ao gráfico de 
f
. 
Seja 
 )(, afaP
 o ponto de tangência. 
Logo a reta tangente passa por 
 )(, afaP
 e 
)4,1(Q
. 
Neste caso 
 21
34
1
1
441
1
4
1
1
)1(
4)(













a
a
a
a
a
a
a
a
af
m
. 
Mas 












 ax
ax
xa
ax
ax
ax
afxf
m
axaxax
)1)(1(
)1(1
lim1
1
1
1
lim
)()(
lim
 
2)1(
1
)1)(1(
1
lim
)1)(1)((
)(
lim
)1)(1)((
lim












 aaxaxax
ax
axax
xa
axaxax
 
Logo, 
  2
1
24134
)1(
1
1
34
22






aaa
aa
a
 


















 2,
2
1
2
1
,
2
1
f
 pertence ao gráfico de 
f
 e 
4
4
1
1
)1(
1
2






a
m
 







2
1
42)( 00 xyxxmyy
 
        






x
y
        








x
y
6) a) 










 44
4444
lim
)()(
lim)´(
2
0
2
2
0
2
0
2
0
2
0
0
0
00 xx
xx
xx
xx
xx
xfxf
xf
xxxx
 
 
 
  
 









 







 


 44
lim
44
lim
44
44
lim
2
0
2
0
2
0
2
0
00
2
0
2
0
2
0
2
000 xx
xx
xxxx
xxxx
xxxx
xx
xxxxxx
 
442
2
2
0
0
2
0
0




x
x
x
x
 
3
5
)5´(50  fx
 
)5(
3
5
3  xy
 
 
 
b) 
     
  
















0
0
00
0
0
0
0
0
0
22
2424
lim
2
4
2
4
lim
)()(
lim)´(
000 xx
xx
xxxx
xx
x
x
x
x
xx
xfxf
xf
xxxxxx
 
    
        20000
0
0
0
0000
2
2
22
2
lim
22
2
lim
22
842842
lim
000 











 xxxxxxx
xx
xx
xx
xxxxxxxx
xxxxxx
 
2
1
4
2
)0´(00 

 fx
 
xy
2
1
2 
 
 
c) 
 














00
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0000
limlim
11
lim
)()(
lim)´(
xxxx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xfxf
xf
xxxxxxxx
 
 200
11
lim
0 xxxxx





 
4
2
1
´
2
1
0 





 fx
 







2
1
42 xy
 
 
 
 
7) Seja 
 )(, afaP
 um ponto de tangência da reta procurada com o gráfico da função 
xxxf 3)( 3 
. 
 Seja 
 axafafyt  )´()(:
 a equação dessa reta. 
Calculemos 
)´(af
: 













 ax
axax
ax
aaxx
ax
aaxx
ax
afxf
af
axaxaxax
33
lim
33
lim
)3(3
lim
)()(
lim)´(
333333 
33
)(3))((
lim 2
22




a
ax
axaxaxax
ax
 
Mas a reta t é paralela à reta dada no problema, isto é, tem o mesmo coeficiente angular. 
1336)´( 2  aaaf
 
Logo existem dois pontos de tangência: 
 4,11 P
 e 
 4,12P
. 
As retas são: 
 164  xy
 e 
 164  xy
 
2 retas 
 
8) Seja 
C
 o centro da circunferência e 
 2,aaP 
 o ponto de tangência da circunferência com a parábola. 
 Seja t a reta tangente à parábola em 
P
e r a reta perpendicular a t e que passa por P e C. 
a
ax
ax
ax
afxf
afm
axax
t 2lim
)()(
lim)´(
22








 
a
mr
2
1

 e 
)(
2
1
: 2 ax
a
ayr 
 
Se 
  OYrC 
então encontramos a coordenada y de C fazendo x=0 em r: 







2
1
,0
2
1
2
1 222 aCayay
 
23
1
4
1
1
2
1
)(1),( 2
2
222 





 aaaaaCPd
 







4
5
,0C
 
 
9) Sejam 
)1,( 2aaQ 
 e t a equação da reta tangente à parábola no ponto 
Q
. 
a
ax
ax
ax
afxf
afxxf
axax
2
)1(1
lim
)()(
lim)´(1)(
22
2 







 
)(21: 2 axaayt 
 e fazendo 
0y
 em t temos: 
a
a
xaaxaxaa
2
1
12)(21
2
22 
 







 
 0,
2
1
}{
2
a
a
ROXtR
 
Desta forma o lado do triângulo mede 
a
a
a
a 1
2
1
2
22 



 
 1,0}{ 2
 em 0


aSOYtS
tx 
     
2
22
22
222
22
222 1
1
2
11
1
2
1
0
1
),(
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
SRd








 









 



 
2
3
441
1
1
4
1 2
22
 aa
aa
 
Logo 









4
1
,
2
3
P
 e 









4
1
,
2
3
Q