Lista 11 Função Composta e inversa

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FFMM1 – Professor: Leandro Albino 
Licenciatura – M1 
Função Composta e Inversa 
 
1. Sejam as funções 
nf ,
 para 
n {0,1, 2, 3, ...},
 tais que: 
0
1
f (x)
1 x


 e 
n 0 n 1f (x) f (f (x)),
 para 
n 1.
 
Calcule 
2016f (2016).
 
 
2. Seja 
a
 um número real positivo e considere as funções afins 
f(x) ax 3a 
 e 
g(x) 9 2x, 
 
definidas para todo número real 
x.
 
a) Encontre o número de soluções inteiras da inequação 
f(x)g(x) 0.
 
b) Encontre o valor de 
a
 tal que 
f(g(x)) g(f(x))
 para todo número real 
x.
 
 
3. Considere as funções f e g, definidas por 
f(x) x 1 
 e 𝑔(x) = 2sen(x) com x real. 
 
a) Esboce os gráficos de f e g. 
b) Obtenha as expressões de 
f g
 e 
g f
 em função de x, e esboce o gráfico dessas duas 
funções compostas. 
 
4. Fixado um sistema de coordenadas cartesianas xOy, considere as funções reais de 
variável real 
  2y f x x b x c    
 e 
 y g x k x 4,   
 em que as constantes b, c, k são 
números reais. 
Sabendo que o gráfico de f é dado pela parábola de vértice V = (1,1), determine todos os 
possíveis valores reais que k poderá assumir de maneira que a equação definida pela 
composição 
(g f)(x) 0
 tenha raiz real. 
 
5. Determine 
1f (x)
, função inversa de 
 
1
f : 3
3
 
    
 
, sabendo que 
x
f(2x 1)
3x 6
 

 para 
todo 𝑥 ∈ 𝑅 − {2} 
 
6. Analise se 𝑓:ℝ → ℝ, f(x) = {
3 + 𝑥2, 𝑥 ≥ 0
3 − 𝑥2, 𝑥 < 0
 é bijetora e, em caso afirmativo, encontre 𝑓−1. 
 
7. Seja 𝑓:ℝ → ℝ bijetora e impar. Mostre que a função inversa 𝑓−1: ℝ → ℝ também e impar. 
 
8. Sejam f : [0,6] 

 IR a função quadrática definida 
por f (x) = x2 - 6 x + 5 e g : [-5, 5] 

 IR a função, cujo 
gráfico está esboçado ao lado. Sabendo-se que g o f 
denota a composição da função g com a função f, 
resolva a equação (g o f) (x) = 0, na variável x. 
 
 
 
 
 
 
 
9. Seja a função f: R

 R, definida por f(x) = 3x + 4a2, onde a ∈ IR 
Encontre os possíveis valores de a de modo que seja satisfeita a desigualdade f-1(8) ≥ 0. 
 
10. A função 
f
 está definida da seguinte maneira: para cada inteiro ímpar 
n,
 
 
 x n 1 , se n 1 x n
f(x)
n 1 x, se n x n 1
     
 
    
 
 
a) Esboce o gráfico de 
f
 para 
0 x 6. 
 
b) Encontre os valores de 
x,
 
0 x 6, 
 tais que 
1
f(x) .
5

 
 
11. Seja 𝑓(𝑥) = |𝑥| − 1, ∀𝑥 ∈ ℝ, e considere também a função composta 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑓(𝑥)), 
∀𝑥 ∈ ℝ. 
 
a) Esboce o gráfico da função f, indicando seus pontos de interseção com os eixos 
coordenados. 
b) Esboce o gráfico da função g, indicando seus pontos de interseção com os eixos 
coordenados. 
c) Determine os valores de x para os quais g(x) = 5. 
 
Gabarito: 
Resposta da questão 1: −
1
2015
 
 
Resposta da questão 2: a) 
7
 b) 𝑎 =
1
2
 
 
Resposta da questão 3: 
 a) 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 4: −4 ≤ 𝑘 < 0 
 
Resposta da questão 5: 𝑓−1 =
9𝑥+1
3𝑥−1
 
 
Resposta da questão 6:
1 x 3 , para x 3f (x)
3 x , para x <3

  
 
 
 
 
Resposta da questão 8: x = 0 ou x = 2 ou x = 4 ou x = 6. 
 
Resposta da questão 9: -
2
≤ a ≤
2
 
 
Resposta da questão 10: 
 a) 
 
 
 
b) 
1
x
5

 ou 
9
x
5

 ou 
11
x
5

 ou 
19
x
5

 ou 
21
x
5

 ou 
29
x .
5

 
 
Resposta da questão 11: 
 a) 
 
 
b) 
 
 
c)
 1- x 
 - 1 = 5 
 1- x 
 = 6 
convém) (não 5x61x 
7x7x61x


 
 
a) Os pontos de intersecção são (1; 0), (– 1; 0) e (0; – 1). 
b) Os pontos de intersecção são (2; 0), (0; 0) e (– 2; 0) 
c) S = {– 7; 7}