Lista Algebra Atividade 14

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Pontif´ıcia Universidade Cato´lica do Parana´
A´lgebra Linear - Atividade 14 - Professor Mozart
1. Determinar o nu´cleo da transformac¸a˜o e uma base para o nu´cleo, sendo T : R4 → R2 dada
por:
L


x
y
z
w

 = [ x+ yz + w
]
N (T ) = {(r,−r, s,−s) , r, s ∈ R}
Uma base pode ser {(1,−1, 0, 0) , (0, 0, 1,−1)}
2. Sendo T : R3 → R3 dada por:
L
 a1a2
a3
 =
 1 0 11 1 2
2 1 3
 a1a2
a3

a) T e´ sobrejetora?
Na˜o
b) Encontre uma base para a Im(T) e determine a dim Im(T)
Uma base para a Im(T ) pode ser {(1, 1, 2) , (0, 1, 1)}
c) Encontre N(T)
N(T ) = {(−r,−r, r) , r ∈ R}
d) L e´ injetora?
Na˜o, pois N(T ) 6= 0
e) Podemos chamar esta transformac¸a˜o de operador linear ou na˜o? Justifique.
Sim, pois e´ uma TL de R3 em R3
3. Sendo T : R4 → R3 dada por T (a1, a2, a3, a4) = (a1 + a2, a3 + a4, a1 + a3). Encontre uma
base para a imagem de T.
Uma base para a Im(T ) pode ser {(1, 0, 1) , (1, 0, 0) , (0, 1, 1)}
4. Quais das transformac¸o˜es a seguir sa˜o lineares?
a) T (x, y) = (x+ y, x− y)
Na˜o, pois αT (u) 6= T (αu)
2
b) T
 xy
z
 = [ x+ 1
y − z
]
Na˜o, pois T (0) 6= 0
c) T
 xy
z
 = [ 1 2 3
-1 2 4
] xy
z

E´ uma T.L.
5. Seja T : M22 → R definida por: T
([
a b
c d
])
= a+ d, T e´ uma transformac¸a˜o Linear?
E´ uma T.L.
6. Seja T : M22 → M22 definida por: T
([
a b
c d
])
=
[
b c− d
c+ d 2a
]
, T e´ uma trans-
formac¸a˜o Linear?
E´ uma T.L.