Matrizes (sebenta)

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Engenharia e Gestão Industrial 
Engenharia Biomédica 
 
 
 
Textos de Apoio de 
Cálculo I 
 
 
 
Módulo 03 
Matrizes 
Resolução e Discussão de Sistemas 
por Condensação 
 
 
Ano letivo 2014/2015 
 
 Docentes da Unidade Curricular 
 
 Isabel Cristina Lopes 
 (cristinalopes@eu.ipp.pt) 
 
Luís Miguel Ferreira 
 (miguelferreira@eu.ipp.pt) 
 
Textos elaborados por: Isabel Cristina Lopes, Maria Paula Nunes, Aldina Correia. 
Tem algum que diga 
“Fique bom, mas 
devagarinho!”, para o 
meu prof de 
Matemática? 
POSTAIS 
 
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Textos de Apoio de Cálculo I Matrizes. Resolução e Discussão de Sistemas por Condensação. 2/48 
 
Sumário 
1. MATRIZES E CÁLCULO MATRICIAL ............................................................................. 3 
1.1. Conceito de Matriz ............................................................................................................... 3 
1.2. Operações com Matrizes ..................................................................................................... 5 
1.2.1. Adição de Matrizes ..................................................................................................................... 5 
1.2.2. Multiplicação de Matrizes por um escalar ............................................................................. 6 
1.2.3. Multiplicação de Matrizes ......................................................................................................... 7 
1.2.4. Transposição de Matrizes ......................................................................................................... 10 
1.3. Matrizes quadradas: Potenciação e inversão .................................................................. 11 
1.3.1. Algumas Características das Matrizes Quadradas ............................................................ 11 
1.3.2. Potência de uma Matriz Quadrada ...................................................................................... 13 
1.3.3. Inversão de Matrizes Quadradas ........................................................................................... 13 
1.4. Característica e condensação de matrizes...................................................................... 16 
1.4.1. Dependência e Independência Linear. Característica de uma Matriz ........................ 16 
1.4.2. Operações Elementares - Operações de Jacobi ............................................................. 18 
1.4.3. Condensação de uma Matriz ................................................................................................ 20 
1.4.4. Cálculo da Inversa de uma Matriz por Condensação ..................................................... 23 
1.4.5. Cálculo da inversa de uma matriz ........................................................................................ 27 
2. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ......................................................................... 32 
2.1. Nomenclaturas e Notações ............................................................................................... 32 
2.1.1. Notação Matricial ..................................................................................................................... 33 
2.2. Classificação de sistemas .................................................................................................. 34 
2.2.1. Sistemas Homogéneos ............................................................................................................. 34 
2.2.2. Características e Sistemas ....................................................................................................... 35 
2.3. Método de Gauss-Jordan .................................................................................................. 38 
2.4. Resolução de sistemas por condensação ........................................................................ 40 
2.5. Discussão de Sistemas ........................................................................................................ 47 
 
 
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1. Matrizes e Cálculo Matricial 
 
1.1. Conceito de Matriz 
 
Definição 1: Matriz 
Designa-se por matriz m por n um quadro do tipo 
11 12 1 1 1
21 22 2 1 2
( , )
1 2 1
n n
n n
m n mxn
m m mn mn
a a a a
a a a a
A A A
a a a a



 
 
 
  
 
 
  
 
em que 
( 1,2,..., ; 1,2,..., )ija i m j n 
 são mxn elementos (chamados escalares e 
pertencentes a um corpo 
Κ
) dispostos em m linhas e n colunas. 
Em particular
Κ
pode ser e, nesse caso, a matriz diz-se matriz de números reais, ou 
 e, nesse caso, a matriz diz-se matriz complexa. 
 
Notas 1: 
1. As matrizes denotam-se usualmente por letras maiúsculas 
( , , , )A B C
 e os seus 
elementos, pertencentes ao corpo 
Κ
, pelas respetivas letras minúsculas. 
2. Os índices que afetam os elementos 
a
 de uma matriz 
A
 indicam a sua posição na 
matriz: 
a. O 1º índice (usualmente 
i
) indica a linha 
b. O 2º índice (usualmente 
j
) indica a coluna 
Assim, o elemento 
ija
 de uma matriz A do tipo m por n é o elemento que se encontra 
na linha 
( 1,2,..., )i i m
e coluna 
( 1,2,..., )j j n
 de A. 
3. Uma matriz m x n pode, ainda, representar-se por: 
 i 1,2,...,m
1,2,...,
ij
j n
A a 

    
4. O par 
( , )m n
 é a dimensão, tamanho ou forma da matriz. 
5. As m-uplas horizontais são as linhas da matriz: 
11 12 1 21 22 2 1 2( ... ), ( ... ), . . . , ( ... )n n m m mna a a a a a a a a
 
 
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6. As n-uplas verticais são as suas colunas. 
111 12
221 22
1 2
 , , . . . ,
n
n
mnm m
aa a
aa a
aa a
    
    
    
    
      
     
 
 
Definição 2: Tipos de Matrizes 
Matriz Retangular: É uma matriz do tipo 
m n
, com 
m n
 
Matriz Quadrada ou matriz de ordem n: É uma matriz do tipo
n n
. 
Matrizes Vetores: São matrizes com uma só fila. Distinguem-se assim: 
Matriz – Linha: É uma matriz vetor do tipo 
1 n
 
 11 12 1 11 12 1( ... ) ... n nA a a a a a a 
 
Matriz – Coluna: É uma matriz vetor do tipo 
1m
 
11 11
21 21
1 1
= 
m m
b b
b b
B
b b
   
   
   
   
         
 
Matriz Nula: É uma matriz do tipo 
m n
 onde todos os seus elementos são nulos. Esta 
matriz representa-se usualmente pela letra “
O
”, assim: 
 
 i 1,2,...,m
1,2,...,
 [ ] : 0, ,ij ij
j n
O o o i j

  
 
Elementos Homólogos: Em matrizes do mesmo tipo, elementos homólogos são os que 
têm índices iguais, ou seja, os elementos que ocupam o 
mesmo lugar na matriz correspondente. 
Matrizes Iguais: Seja 
M
o conjunto das matrizes do tipo 
m n
 sobre o corpo 
Κ
. 
Duas matrizes 
,A B M
são iguais se e só se houver igualdade de 
elementos homólogos, isto é, se: 
  , ,ij ij ij ijA a B b M A B a b i j              
 
Matrizes Simétricas: Seja 
M
o conjunto das matrizes do tipo 
m n
 sobre o corpo 
Κ
. 
Duas matrizes 
,A B M
são simétricas (uma da outra) se e só se 
os elementos homólogos forem simétricos, isto é: 
  , ,ij ij ij ijA a B b M B A b a i j                
 
 
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Exemplo 1: 
Dada a matriz 
2 2 0 4
7 3 3 5
8 1 1 4
A
 
  
 
   
 
a) Indique o tipo desta matriz. 
b) Indique na matriz os seguintes elementos: 
11 21 23 24 34, , , ,a a a a a
. 
Resolução: 
a) A matriz 
A
tem 3 linhas e 4 colunas, logo é uma matriz do tipo
3 4
. 
b) 
11 2a 
(pois é o elemento que está na 1ª linha e 1ª coluna) 
21 7a 
(pois é o elemento que está na 2ª linha e 1ª coluna) 
23 3a 
(pois é o elemento que está na 2ª linha e 3ª coluna) 
24 5a 
(pois é o elemento que está na 2ª linha e 4ª coluna) 
34 4a  
(pois é o elemento que está na 3ª linha e 4ª coluna) 
 
1.2. Operações com Matrizes 
1.2.1. Adição de Matrizes 
 
Definição 3: Adição de Matrizes 
Sejam 
A
e 
B
duas matrizes do mesmo tipo, isto é, com o mesmo número de linhas e 
colunas, por exemplo, matrizes 
m n
: 
11 12 1
21 22 2
1 2
 
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 
 
  
 
 e 
11 12 1
21 22 2
1 2
 
n
n
m m mn
b b b
b b b
B
b b b
 
 
 
 
  
 
 
A soma de 
A
 e 
B
, que se escreve 
A B
, é a matriz que se obtém somando os 
elementos homólogos: 
11 11 12 12 1 1
21 21 22 22 2 2
1 1 2 2
 
n n
n n
m m m m mn mn
a b a b a b
a b a b a b
A B
a b a b a b
   
 
    
 
     
 
Ou seja, se 
ijA a   
e 
ijB b   
têm a mesma dimensão, a soma é uma matriz 
ijA B C c     
 tal que: 
( 1,2,..., ; 1,2,..., )ij ij ijc a b i m j n   
. 
 
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Notas 2: 
1. Não se define a adição para matrizes não equidimensionais, isto é, duas matrizes só 
podem ser somadas se e só se forem do mesmo tipo. 
2. A diferença 
A B
, de duas matrizes do mesmo tipo é uma matriz 
C
 tal que: 
( 1,2,..., ; 1,2,..., )ij ij ijC c a b i m j n          
 
isto é, subtraem-se duas matrizes subtraindo os elementos homólogos. 
A diferença de duas matrizes pode ainda ser vista como a soma da primeira com a 
matriz simétrica da segunda: 
( )A B A B   
 
 
Propriedades da Adição de Matrizes 
Seja 
M
o conjunto das matrizes do tipo 
m n
 sobre o corpo 
Κ
. Então, para 
quaisquer matrizes 
, ,A B C M
, verificam-se as seguintes propriedades: 
I. Propriedade Comutativa: 
A B B A  
 
II. Propriedade Associativa: 
( ) = ( )A B C A B C   
 
III. Existência de Elemento Neutro: 
A O A 
 
IV. Existência de Elemento Oposto ou Simétrico: 
 A A O  
 
 
1.2.2. Multiplicação de Matrizes por um escalar 
Definição 4: Multiplicação de uma matriz por um escalar 
Seja 
k
 um escalar 
 k ou
 e 
A
 uma matriz do tipo 
m n
:
11 12 1
21 22 2
1 2
 
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 
 
  
 
 
O produto do escalar 
k
 pela matriz 
A
, que se escreve 
kA
, é a matriz que se obtém 
multiplicando por 
k
 todos os elementos de 
A
: 
11 12 1
21 22 2
1 2
. . .
. . .
 
. . .
n
n
m m mn
k a k a k a
k a k a k a
kA
k a k a k a
 
 
 
 
  
 
. 
 
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Ou seja, produto de uma matriz 
ijA a   
 do tipo 
m n
, por um escalar 
k
 é uma 
matriz 
ijkA C c    
 tal que: 
. ( 1,2,..., ; 1,2,..., )ij ijc k a i m j n  
. 
 
 
Propriedades da Multiplicação de Matrizes por um escalar 
Seja 
M
o conjunto das matrizes do tipo 
m n
 sobre o corpo 
Κ
. Então, para 
quaisquer matrizes 
,A B M
, e quaisquer escalares 
1 2,k k Κ
, verificam-se as 
seguintes propriedades: 
I. 
1 1 1.( ) . .k A B k A k B  
 
II. 
1 2 1 2( ). .k k A k A k A  
 
III. 
1 2 1 2 2 1( . ). .( . ) .( . )k k A k k A k k A 
 
IV. 
1. 0.A A e A O 
 
Notas 3: 
1. 
 1 .B B  
 
2. 
2 ; 3 ,A A A A A A A    
 
3. Não se fala, usualmente, em divisão de uma matriz por um escalar, não nulo, 
uma vez que esta pode ser expressa pela multiplicação da matriz pelo inverso 
do escalar, isto é: 
1
: . , 0
A
A k A k
k k
  
 
1.2.3. Multiplicação de Matrizes 
Definição 5: Multiplicação de matrizes 
Considerem-se duas matrizes, 
A
 e 
B
, sobre o mesmo corpo 
Κ
, onde o número de 
colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda, isto é, a matriz 
A
 é do 
tipo 
m n
 e a matriz 
B
 é do tipo
n p
. 
O produto das matrizes A e B é uma matriz 
.C A B
 do tipo 
 m p
onde 
 
n
k=1
 a . ( 1,2,..., ; 1,2,..., )ij ik kjc b i m j p  
 
 
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Nota 4: 
A lei de formação da matriz C a partir das duas matrizes, 
A
 e 
B
, é conhecida por 
multiplicação de linhas por colunas, e o elemento genérico 
ijc
 da matriz 
C
 é a soma 
dos produtos que se obtêm multiplicando os elementos da linha 
i
 de 
( )ikA a
 pelos 
elementos correspondentes da coluna 
j
de 
( )kjB b
. Em esquema: 
 
 
 
b
b
b
b
nj
j3
j2
j1



















 
 aaaa in3i2i1i

















 
 
 cij

















 
 
Nota 5: 
O produto 
.A B
 não é definido se 
A
 é uma matriz 
m p
 e 
B
 uma matriz 
q n
 com 
p q
. Se 
p q
 o produto é possível e o resultado é uma matriz 
m n
, devendo reter-
se a mnemónica 
 .( ) ( )m p p n m n   
 
 
Exemplo 2: 
1. 
 
1
1
2 1 3 4 0 . 0
2
5
 
 
 
 
 
 
  
, trata-se do produto de uma matriz 
1 5
 por uma matriz 
5 1
, 
logo o resultado é uma matriz 
1 1
, isto é um escalar. 
x 
x 
x 
x 
A= 
ai1 .b1j 
ai2 .b2j 
ai3 .b3j 
ain .bnj 
+ 
ai1 .b1j + ai2 .b2j + ... + ain .bnj = cij 
B= 
A x B = C = 
linha 
i 
coluna 
j 
linha 
i 
coluna 
j 
 
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Assim 
 
1
1
2 1 3 4 0 . 2.1 1.(-1) 3.0 4.2 0.5 2 1 0 8 0 90
2
5
 
 
 
            
 
 
  
 
2. 













 51
40
. 
31
21
 

















113
142
 
3.5(-1).4)1.(30).1(
2.51.42.(-1)1.0
 
3. 













 31
21
. 
51
40

















136
124
 
5.3(-1).2)1.(51).1(
4.30.24.(-1)0.1
 
4. 













 322
101
. 
51
40
 









3.51).1()2.(50).1(2.51).1(
3.41.0)2.(40.02.41.0









14109
12885. 
 
51
40
.
322
101













 não é possível efetuar. 
 
Propriedades da Multiplicação de Matrizes 
Supondo definidas as somas e os produtos apresentados, tem-se: 
I. Propriedade Associativa: 
( . ). .( . )A B C A B C
 
II. Propriedade Distributiva à Esquerda: 
.( ) . .A B C A B AC  
 
III. Propriedade Distributiva à Direita: 
( ). . .B C A B A C A  
 
IV. Existência de Elemento Absorvente (à esquerda e à direita): 
. .O A O e AO O 
 
 
Nota 6: 
a) Não se pode deixar de realçar o facto da multiplicação de matrizes não ser 
comutativa, isto é, de um modo geral tem-se: 
. .A B B A
 
b) Podemos ter ainda o caso em que os produtos 
.A B
e 
.B A
 estão ambos 
definidos mas as matrizes produto são de tipos diferentes, por exemplo, se 
A
 é 
do tipo 
( , )m n
e 
B
do tipo 
( , )n m
, então 
.A B
 é do tipo 
( , )m m
 enquanto 
.B A
 é 
do tipo 
( , )n n
. 
c) Há, no entanto, casos particulares em que se verifica a igualdade e, neste 
caso, as matrizes 
A
 e 
B
dizem-se permutáveis ou comutáveis. 
 
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Definição 6: Matrizes permutáveis ou comutáveis 
Duas matrizes, 
A
 e 
B
, da mesma ordem, dizem-se comutáveis ou permutáveis se se 
verifica a igualdade: 
. .A B B A
. 
 
1.2.4. Transposição de Matrizes 
 
Definição 7: Transposição de Matrizes 
A transposição é uma operação que a cada matriz 
A
 do tipo 
m n
 sobre um 
corpo
Κ
, faz corresponder uma outra matriz, dispondo ordenadamente as linhas em 
colunas (e, portanto as colunas em linhas), que se chama transposta de A e se 
representa por tA . A matriz tA é do tipo 
n m
. Assim, sendo 
ijA a   
 então 
't ijA a   
 tais que 
'ij jia a
. 
 
Exemplo 3: 
Sejam 
1 4
6 3
A
 
  
 
 e 
1 2 3
1 2 3
B
 
     
. 
As respetivas transpostas serão: 
1 6
4 3
tA
 
  
 
 e 
1 1
2 2
3 3
tB
 
  
 
  
 
 
Propriedades da Matriz Transposta 
Supondo definidas as somas e os produtos apresentados, tem-se: 
 
I. 
( )t tA A
 
II. 
 
t t tA B A B  
 
III. 
 . .
t t tA B B A
 
IV. 
 . .
t tk A k A
 
 
 
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1.3. Matrizes quadradas: Potenciação e inversão 
1.3.1. Algumas Características das Matrizes Quadradas 
Todas as operações até aqui definidas são válidas no caso das matrizes em questão 
serem quadradas. No entanto, as definições e operações apresentadas nesta 
secção são válidas apenas para este tipo de matrizes. 
Consideremos uma matriz quadrada 
A
de ordem n: 

















nn3n2n1n
n3333231
n2232221
n1131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A





 
 
Definição 8: Diagonais de uma Matriz Quadrada 
Chama-se diagonal principal da matriz 
A
 à diagonal formada pelos elementos onde 
os índices linha e coluna são iguais, isto é, à diagonal formada pelos elementos 
ija
 
tais que 
i j
 e designam-se, tais elementos, por elementos principais da matriz 
 11 22, , , nna a a
. 
A outra diagonal da matriz designa-se por diagonal não principal ou secundária e é 
formada pelos elementos 
 ija
tais que 
1i j n  
(onde 
n
 é a ordem da matriz). 
 
Definição 9: Tipos de Matrizes Quadradas 
Matriz Triangular: É uma matriz onde abaixo ou acima da diagonal principal todos 
os elementos são nulos. Distinguem-se assim: 
Matriz Triangular Inferior: É uma matriz 
ijA a   
 onde todos os 
elementos acima da diagonal 
principal são nulos, isto é, 
0ija 
 
se
i j
. 
Matriz Triangular Superior: É uma matriz 
ijA a   
 onde todos os 
elementos abaixo da diagonal 
principal são nulos, isto é, 
0ija 
 
se
i j
. 
 
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Matriz Diagonal: É uma matriz 
ijA a   
 onde todos os elementos, exceto os 
principais são nulos, isto é, 
0ija 
 se
i j
. 
Matriz Identidade: É uma matriz diagonal onde todos os elementos principais são 
unitários. Representa-se, usualmente, pela letra 
I
e os seus 
elementos pela letra grega “

”. Assim, 
ijI    
 onde 
1
0
ij
se i j
se i j


 

 
Estes símbolos são vulgarmente conhecidos por símbolos de 
Kronecker. 
nI
 designa a matriz identidade de ordem n. 
Matriz Escalar: É uma matriz diagonal onde todos os elementos principais são 
iguais, isto é, é uma matriz que pode ser escrita como 
.k I
onde 
k
é a constante que figura na diagonal principal. Assim, 
ijA a   
 
é uma matriz escalar se 
0
ij
k se i j
a
se i j

 

 
 
Com base na definição de matriz identidade podemos acrescentar uma 
propriedade à multiplicação de matrizes restringindo esta operação às matrizes 
quadradas. 
Teorema 1: 
A matriz identidade, de ordem 
n
, é o elemento neutro da multiplicação de matrizes 
quadradas de ordem 
n
, isto é, sendo 
A
 uma matriz 
n n
, temos que 
. .n nI A A I A 
 
Nota 7: 
Se 
A
for uma matriz retangular, do tipo 
m n
, podemos ainda escrever: 
. .m m n m n nI A A I A  
, 
mas a matriz identidade que multiplica à esquerda de A não é da mesma ordem da 
que multiplica à direita. 
 
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1.3.2. Potência de uma Matriz Quadrada 
Definição 10: Potenciação 
Chama-se potência de expoente 
,k k
, de uma matriz quadrada 
ijA a   
 ao 
produto de 
A
, por si mesma, 
k
 vezes, isto é 
. . .....k
k vezes
A A A A A
. 
Exemplo 4: 
Se 
1 2
4 3
A
 
  
 
, então 
2 3
9 8 41 42
, ,
16 17 84 83
A A
   
    
   
 
 
Nota 8: 
Basta este exemplo para verificarmos que sendo 
1 2
4 3
A
 
  
 
 então 2 2
2
2 2
1 2
4 3
A
 
  
 
, isto 
é, a potência de uma matriz não é, de um modo geral, a matriz formada pelas 
potências dos seus elementos. 
 Podemos então definir: 
 
Definição 11: Matriz Idempotente e Nilpotente 
Matriz Idempotente: É uma matriz quadrada 
ijA a   
 onde 2A A . 
Note-se que se 2A A então também se tem 
3 4 5 kA A A A A    
 
Matriz Nilpotente: É uma matriz quadrada 
ijA a   
onde 
0pA 
, para algum 
p
 inteiro positivo e 
0kA 
para 
k p
. 
 
1.3.3. Inversão de Matrizes Quadradas 
Definição 12: Matriz Inversa à direita e à esquerda 
Chama-se matriz inversa de uma matriz quadrada 
ijA a   
 à matriz que multiplicada 
por 
A
dá a matriz identidade. Se 
.B A I
, 
B
designa-se por inversa de 
A
 à esquerda 
e se 
.A B I
, 
B
designa-se por inversa à direita. 
 
 
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Teorema 2: 
A matriz inversa à esquerda de uma matriz quadrada A coincide com a matriz 
inversaà direita, isto é, se 
ijB b   
 e 
ijC c   
 são duas matrizes quadradas tais que 
 
.B A I
 e 
.AC I
 então 
B C
 
 
Definição 13: Matriz Inversa 
Seja 
ijA a   
uma matriz quadrada. Chama-se inversa de A a uma matriz, que se 
representa por 1A , tal que 
1 1. .A A A A I  
 
Neste caso, diz-se que A é invertível, regular ou não singular. 
 
Nota 9: 
 Se existir inversa, ela é única. 
 Nem todas as matrizes quadradas têm inversa; neste caso, dizem-se matrizes 
singulares. 
 
Propriedades da Matriz Inversa 
Sejam 
ijA a   
 e 
ijB b   
 duas matrizes quadradas e 
k
 um escalar. Tem-se então: 
I. 
 
1
1A A

 
 
II. 
 
1 1 1. .A B B A
  
 
III. 
 
1 11kA A
k
 
 
Proposição: 
I. 
   
1
1
t
tA A

 
 
II. 
   
1
1
k
kA A


 
III. 
   
t k
k tA A
 
IV. 
.k p k pA A A 
 
 
Com a igualdade estabelecida na proposição II têm-se, por definição, as potências 
inteiras negativas de uma matriz quadrada
A
, invertível: 
 1 
k
kA A 
. 
 
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Definição 14: Matriz Simétrica, Anti – Simétrica e Ortogonal 
Matriz Simétrica: É uma matriz que coincide com a sua transposta, isto é, 
tA A
. 
Matriz Antissimétrica: É uma matriz cuja transposta coincide com a sua simétrica, isto 
é, tA A  . 
Matriz Ortogonal: É uma matriz cuja inversa coincide com a sua transposta, isto 
é, 1 tA A  . Esta igualdade é equivalente a . .t tA A A A I  , ou 
ainda, a 
   
1
1
t
tA A A

  
. 
Exemplo 5: 
Considerando que 
, ,A B X
 são matrizes regulares e da mesma ordem, resolva as 
seguintes equações matriciais em ordem à matriz 
X
. 
a) 
AX B
 b) 
1 1( )AX XB I  
 c) 
1 1( (3 ) )T TA X B A B X   
 
Resolução: 
a) 
AX B
 b) 
1 1( )AX XB I  
 1 1
1
A AX A B
X A B
 

 
 
 
1 1 1
1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1
1
( )
( ) ( ) ( )
( )
AX B X I
A B X I
A B A B X A B I
X A B
X A B
  
 
     
  

  
  
    
  
  
 
c) 
1 1( (3 ) )T TA X B A B X   
 
 
1
3
1
3
1
3
2
3
1 12
3
12
3
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
T T
T T T
T
T
T T T
T
A X A B B X
A X A A B B X
A X X B B
A I X B
A I A I X A I B
X A I B


 

   
   
   
  
    
  
 
 
 
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1.4. Característica e condensação de matrizes 
1.4.1. Dependência e Independência Linear. Característica de uma 
Matriz 
 
Definição 15: Combinação Linear 
Chama-se combinação linear de n elementos, 
1 2, , ... , nx x x
 pertencentes a um 
mesmo conjunto, definido sobre um corpo K, (ex: matrizes do mesmo tipo, polinómios, 
etc), à soma: 
1 1 2 2 ... n nk x k x k x  
 
onde 
1 2, , ... , nk k k
 são escalares pertencentes a esse mesmo corpo K ( ou ). 
 
Exemplo 6: 
(1) Uma combinação linear dos polinómios 
2
1( ) 3 1P x x x  
 e 
2
2( ) 1P x x 
, é 
uma expressão da forma: 
2 2
1 1 2 2 1 2( ) ( ) ( 3 1) ( 1)k P x k P x k x x k x     
. 
Se pretendêssemos escrever um qualquer polinómio como combinação linear destes 
dois teríamos de calcular, se possível, o valor das constantes 
1k
 e 
2k
. Por exemplo, 
escrever 
2
3( ) 3 3P x x x  
 como combinação linear de 
 1P x
 e 
 2P x
, será resolver 
a equação 
  2 2 21 1 2 2 3 1 2( ) ( ) ( 3 1) ( 1) 3 3k P x k P x P x k x x k x x x         
 
o que conduz ao sistema: 
1 2
1
1 2
1
3 3
3
k k
k
k k
 

 
   
  
1
2
1
2
k
k
 


 
 
Assim, 
 3P x
 pode ser escrito como uma combinação linear de 
 1P x
 e 
 2P x
, uma 
vez que: 
     3 1 2 2P x P x P x  
 
 (2) A matriz 
1 2
1 0
A
 
   
é uma combinação linear das matrizes 
1 0
1 0
B
 
  
 
 
e 
1 1
0 0
C
 
  
 
 uma vez que: 
2.A B C 
 
 
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Definição 16: Elementos linearmente independentes e dependentes 
Diz-se que os elementos 
1 2, ,..., nX X X
, pertencentes a um mesmo conjunto, definido 
sobre um corpo K, são linearmente independentes se e só se a combinação linear: 
1 1 2 2. . ... .n nk X k X k X  
 
for nula unicamente para valores de 
1 2, ,..., nk k k
 todos nulos. 
Se 
1 1 2 2. . ... . 0n nk X k X k X   
, para valores de 
ik
 não todos nulos, os elementos, 
1 2, ,..., nX X X
 dizem-se linearmente dependentes. 
 
Exemplo 7: 
(1) Os polinómios 
2
1( ) 3 1P x x x  
, 
2
2( ) 1P x x 
 e 
2
3( ) 3 3P x x x  
 são 
linearmente dependentes uma vez que a combinação linear 
 1 1 2 2 3 3. ( ) . ( ) .k P x k P x k P x 
 
é nula, por exemplo, para 
1 3 1k k  
 e 
2 2k 
 pois: 
     1 2 32. 0P x P x P x   
 
(2) As matrizes 
1 0
1 0
B
 
  
 
 
e 
1 1
0 0
C
 
  
  
são linearmente independentes uma vez que: 
1 2. .k B k C O  
 
1 2 2
1
0 0 0
0 0 0 0 0
k k k
k
     
      
    
 
 
só se verifica se 
1 2 0k k 
. 
 
Definição 17: Característica de uma matriz 
Chama-se característica de uma matriz A, do tipo (m,n), e representa-se por r(A) ou 
car(A), ao número máximo de filas paralelas de A (linhas ou colunas) linearmente 
independentes. Tem-se sempre: car(A)  min{m,n}. 
Observação: Mostra-se que é indiferente o estudo da característica de uma matriz 
feito com base nas suas linhas ou nas suas colunas e que a característica de uma 
matriz é única. 
Exemplo 8: 
 (1) 
  1Car B 
, onde 
1 0
1 0
B
 
  
 
 , uma vez que: 
     1 21 0 1 0 0 0k k 
 verifica-se 
para 
1 2k k 
 enquanto que: 
   1 1 0 0 0k 
 só se verifica se 
1 0k 
. 
 
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(2) 
  3Car D 
, onde 
1 0 1
0 1 0
0 0 1
D
 
 
 
  
 , uma vez que: 
       1 2 31 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0k k k   
1
2
1 3
0
0
0
k
k
k k



  
 
Logo, 
1 2 3 0k k k  
. Assim, as três linhas são linearmente independentes. 
Teorema 3: 
São linearmente independentes as filas paralelas de uma matriz triangular, T, (inferior 
ou superior), de ordem n, cujos elementos principais são diferentes de zero. Tem-se, 
neste caso: 
 Car T n
. 
Teorema 4: 
Se T é uma matriz triangular (inferior ou superior), de ordem n, com algum elemento 
principal nulo, então as suas filas (linhas ou colunas) são linearmente dependentes. 
Neste caso tem-se: 
 Car T n
. 
1.4.2. Operações Elementares - Operações de Jacobi 
Definição 18: Operações de Jacobi 
Designam-se por operações elementares ou operações de Jacobi efetuadas sobreas filas (linhas ou colunas) de uma matriz, as seguintes operações: 
O1 – Troca da posição relativa de duas filas paralelas. 
O2 – Multiplicação de todos os elementos de uma qualquer fila por um escalar 
0k 
. 
O3 – Substituição dos elementos de uma qualquer fila pela sua soma com os 
elementos correspondentes de outra fila paralela, mesmo que previamente 
multiplicados por um escalar 
0k 
. 
 
Estas operações, quando efetuadas sobre as filas (linhas ou colunas) de uma matriz 
não alteram a sua dependência ou independência linear. Na verdade, mostra-se 
que: 
Teorema 5: 
As operações elementares efetuadas sobre as linhas ou colunas de uma qualquer 
matriz não alteram a sua característica. 
 
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Surge assim uma nova relação entre matrizes - equivalência de matrizes - baseada 
na aplicação das operações elementares às filas de uma matriz. Temos, então: 
 
Definição 19: Matrizes equivalentes 
Dadas as matrizes 
A
 e 
B
, do mesmo tipo, diz-se que a matriz 
B
 é equivalente à 
matriz 
A
, e representa-se por B  A, se for possível transformar 
A
 em 
B
 através de 
uma sucessão de operações elementares. 
 
Relativamente às operações elementares efetuadas para transformar uma dada 
matriz noutra equivalente, devemos estabelecer alguma notação que convém ter 
presente de modo a ser fácil identificar a operação efetuada. Assim: 
 
(1) Quando desejarmos permutar, por exemplo a 2ª com 3ª linha de uma 
matriz 
A
, escreveremos: 
 
32 LL 











1240
200
531
A
  











200
1240
531
A1
 
 
(2) Quando desejarmos multiplicar todos os elementos da 2ª linha, por 
exemplo, da matriz 
1A
, por 
4
1
, escreveremos: 
24
1
2 LL 
1
200
1240
531
A











  











200
310
531
A2
 
(3) Quando desejarmos substituir os elementos da 1ª linha, por exemplo, da 
matriz 
2A
, pela soma deles com os elementos correspondentes da 2ª 
linha previamente multiplicados por - 3, escreveremos: 
211 3)L(L L 











200
310
531
A2
  









 

200
310
401
A3
 
 
 
 
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Observações: 
- Nos casos (2) e (3) o símbolo “

” pode ser substituído pelo sinal “ = ” não 
tendo, este último, o seu significado convencional indicando apenas a 
substituição que se efetuou. 
- Quando as operações elementares são efetuadas sobre as colunas da 
matriz, a indicação das operações efetuadas deve ser feita substituindo a 
letra “L” pela letra “C”, continuando a sua indexação relativa ao número 
da coluna em causa. 
- Como a matriz 
3A
 é uma matriz triangular, por um teorema demonstrado 
na secção anterior (pág.30), temos que 
 3 3Car A 
. Como 
3A
 é 
equivalente a 
A
 podemos dizer que se tem: 
  3Car A 
. 
 
Com base nesta última observação, podemos verificar que o cálculo da 
característica de uma matriz fica bastante simplificado se, através das operações 
elementares, transformarmos a matriz dada numa matriz triangular equivalente, com 
o máximo de elementos principais não nulos. Nestas condições, o cálculo da 
característica da matriz é direto. 
 
1.4.3. Condensação de uma Matriz 
Entende-se por condensação de uma matriz a sua transformação, através de 
operações elementares, numa matriz equivalente que contenha uma submatriz 
triangular (usualmente superior) de maior ordem possível, com elementos principais 
não nulos. Por esta razão, fala-se, algumas vezes, por abuso de linguagem, em 
“triangularização” da matriz quando se efetua uma condensação. 
Descrição do método de condensação de uma matriz: 
 
A condensação de uma matriz A = [aij] do tipo m x n consiste num processo, 
por fases sucessivas, que passamos a descrever: 
 
1. Tomemos a11  0 (quando a11 = 0, trocamos a primeira linha (ou a primeira 
coluna) com outra de modo que o elemento que fica na posição (1,1) seja 
não nulo. Se todos os elementos da primeira coluna (linha) são nulos, ela é 
 
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passada para último lugar e repete-se o mesmo raciocínio com a segunda 
linha (ou coluna)). 
 
2. Fixado a11  0, procuremos escalares ki tais que ki. a11 + ai1 = 0 (i = 1,2,...,m) e 
somemos à linha i a primeira linha multiplicada por esse 
11
1i
i
a
a
k 
(isto é, 
efetuam-se as operações: Li  Li + ki.L1). Ficam nulos todos os elementos da 
primeira coluna abaixo de a11. Diz-se que se condensou a primeira coluna, 
sendo a11 o elemento redutor. (Notemos que os “melhores” elementos 
redutores são o “1” e o “-1” bastando, para anular o elemento ai1 da 
linha i , tomar ki = - ai1 ou ki = ai1 , respetivamente. 
 
3. Na matriz assim obtida, onde se anularam todos os elementos que na 
primeira coluna estão abaixo de a11, procede-se do mesmo modo, 
tomando para elemento redutor a22. E assim sucessivamente considerando 
elementos redutores até a r r. 
 
4. A condensação termina quando já não há mais colunas (r = n) ou, 
havendo mais colunas já não há mais linhas (r = m) ou as linhas de ordem 
r+1, r+2, ..., m são todos nulas. 
 
5. Designando por a’ij os elementos da matriz que se obtém condensando A 
temos: 
 






















 


00000
00000
'a'a'a00
'a'a'a'a0
'a'a'a'a'a
'A n r1r rr r
n 21r 2r 222
n 11r 1r 11211







 
Esta matriz contém uma submatriz triangular T de elementos principais não 
nulos, e que é de ordem máxima. Como a passagem da matriz A para a 
matriz A’ foi feita utilizando exclusivamente as operações de Jacobi, conclui-
se que a característica de A é igual à ordem da matriz T. 
Logo 
 Car A r
. 
 
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Exemplo 9: 
 Vamos calcular a característica da matriz 
 
1 2 3
2 6 1
1 2 17
A
 
 
 
   
 
o elemento redutor da condensação da primeira coluna é 1, que está 
assinalado com um círculo. Tem-se, então 
k2 = -2/1 = -2 e k3 = -1/1 = -1 
Assim 
 
2 2 1
3 3 1
2
1 2 3
2 6 1
1 2 17 L L L
L L L
 
 
 
 
 
   
~ 
1 2 3
0 2 7
0 4 14
 
 
 
   
 
O elemento redutor da condensação da segunda coluna é 2. 
Tem-se, então 
k3 = - (- 4/2) = 2 
Logo, obtém-se 
 
3 3 22
1 2 3 1 2 3
0 2 7 0 2 7
0 4 14 0 0 0
L L L 
    
   
   
       
 
Conclui-se que a característica da matriz A é igual a 2. 
 
Observações: 
 A condensação de matrizes, isto é, as operações elementares ou de Jacobi, 
serão utilizadas no cálculo da inversa de uma matriz, na resolução e discussão de 
sistemas de equações lineares e no cálculo de determinantes. No entanto, em cada 
um destes casos estas operações sofrerão algumas restriçõesespecíficas. 
Quando a condensação de uma matriz é efetuada para o cálculo da sua 
característica, não estando esta matriz associada a nenhum sistema ou problema 
particular, as operações elementares podem ser efetuadas sem qualquer tipo de 
restrições, isto é, podem efetuar-se, durante a mesma condensação, operações 
elementares sobre as linhas e sobre as colunas da matriz. 
 
 
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1.4.4. Cálculo da Inversa de uma Matriz por Condensação 
Antes de definirmos mais alguns conceitos vejamos o seguinte teorema, do qual 
omitimos a demonstração, onde se apresenta uma condição necessária e suficiente 
de existência da matriz A-1 de uma matriz A. 
 
Teorema 6: 
Uma matriz A, quadrada de ordem n, definida sobre um corpo K (IR ou C/ ), tem 
inversa A
-1
 se e só se a característica de A for n. 
 
O algoritmo para o cálculo da inversa de uma matriz por condensação tem como 
base a definição de matriz elementar (por linhas e por colunas) e os teoremas 
subsequentes. 
 
Definição 20: Matriz elementar 
Seja e uma operação elementar efetuada sobre as linhas de uma matriz e e (A) 
o resultado da aplicação desta operação a uma matriz A. A matriz E obtida 
aplicando a operação e à matriz identidade, E = e ( I ), é chamada matriz 
elementar correspondente à operação elementar e . 
Denotemos por f uma operação elementar efetuada sobre as colunas de uma matriz 
e f (A) o resultado da aplicação desta operação a uma matriz A. A matriz obtida 
aplicando a operação f à matriz identidade, 
F = f ( I ) 
é chamada matriz elementar correspondente à operação elementar f. 
 
Exemplo 10: 
(1) As matrizes quadradas elementares, de ordem 3, correspondentes às 
operações elementares por linhas: 
L2  L3 L2  - 6L2 L3  L3 – 4 L1 
são, respetivamente 
 
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










010
100
001
E1
 











100
060
001
E2
 












104
010
001
E3
 
(2) As matrizes quadradas elementares, de ordem 3, correspondentes às 
operações elementares por colunas: 
C3  C1 C2  - 2C2 C2  C2 – 5 C1 
são, respetivamente 











001
010
100
F1
 











100
020
001
F2
 









 

100
010
051
F3
 
 
O teorema seguinte mostra a relação fundamental entre as operações elementares 
por linhas e as matrizes elementares correspondentes. 
Teorema 7: 
Seja e uma operação elementar efetuada sobre linhas e E a matriz elementar 
correspondente, de ordem m, isto é, E = e ( Im ). Então, para qualquer matriz A do 
tipo m x n, tem-se e ( A ) = E.A. 
 
Assim, o resultado da aplicação de uma qualquer operação elementar sobre as 
linhas de uma matriz A pode ser obtido pré-multiplicando A (isto é, multiplicando A à 
esquerda) pela matriz elementar correspondente. 
 
Exemplo 11: 
Consideremos a matriz 











2
1
3
 
4-
0
2
A
e vamos efetuar a seguinte operação elementar 
sobre as suas linhas: L3  L3 + 2L1 
Temos então a matriz A1 , equivalente a A, dada por 











8
1
3
 
0
0
2
A1
 
 
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Por outro lado, a matriz elementar, de 3ª ordem, correspondente é 











102
010
001
E
. 
Efetuando o produto E.A temos 
 











102
010
001
A.E











2
1
3
 
4-
0
2
.
= 
=
















2*1)1(*03*2
2*0)1(*13*0
2*0)1(*03*1
 
(-4)*10*02*2
(-4)*00*12*0
(-4)*00*02*1
1A
8
1
3
 
0
0
2












 
 
O seguinte teorema mostra a relação fundamental entre as operações elementares 
por colunas e as matrizes elementares correspondentes. 
 
Teorema 8: 
Seja f uma operação elementar efetuada sobre colunas e F a matriz elementar 
correspondente, de ordem n, isto é, F = f ( Im ). Então, para qualquer matriz A do tipo 
m x n, tem-se f ( A ) = A.F. 
 
Assim, analogamente ao que acontece com as operações elementares por linhas, o 
resultado da aplicação de uma qualquer operação elementar sobre as colunas de 
uma matriz A pode ser obtido pós-multiplicando A (isto é, multiplicando A à direita) 
pela matriz elementar correspondente. 
 
Exemplo 12: 
Consideremos a matriz 











2
1
3
 
4-
0
2
A
e vamos efetuar a seguinte operação elementar 
sobre as suas colunas: C1  C1 + 2C2 
Temos então a matriz A2, equivalente a A, dada por 











2
1
3
 
0
2-
8
A2
 
Por outro lado, a matriz elementar, de 2ª ordem, correspondente é 







12
01
F
. 
 
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Efetuando o produto A.F temos: 
 
 
F.A











2
1
3
 
4-
0
2






12
01
.
= 
=
















1*20*(-4)
1*(-1)0*0
1*30*2
 
2*21*(-4)
2*-1)(1*0
2*31*2
2A
2
1
3
 
0
2-
8












 
 
Com base nos teoremas apresentados podemos rescrever a definição de matrizes 
equivalentes do seguinte modo: 
 
Definição 21: Matrizes equivalentes 
Duas matrizes A e B, do mesmo tipo, dizem-se equivalentes se existirem duas matrizes 
regulares P e Q tais que B = P.A.Q. (De notar que P será o produto de matrizes 
elementares relativas a operações por linhas: 
P = Ep. ... .E2.E1 
e Q o produto de matrizes elementares relativas a operações por colunas: 
Q = F1.F2. ... .Fq ) 
Teorema 9: 
Toda a matriz A do tipo m x n é equivalente a uma única matriz da forma 
 
 
onde Ir é a matriz identidade de ordem r. ( r é a característica de A) 
 
Surge, como consequência ou caso particular deste teorema o seguinte: 
 
Teorema 10: 
Seja 
A
 uma matriz quadrada de ordem n tal que 
 Car A n
, isto é, A é invertível. 
Então, 
A
 pode ser transformada, utilizando unicamente operações por linhas (ou 
operações por colunas), na matriz identidade de ordem n, isto é, 
A
 é equivalente, 
por linhas (ou por colunas), à matriz identidade. 
 
 






00
0Ir
 
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1.4.5. Cálculo da inversa de uma matriz 
Operando por Linhas – Eliminação Gaussiana 
Pode-se calcular a inversa de uma matriz quadrada de ordem n, ou mostrar que 
uma matriznão é invertível usando o algoritmo da eliminação Gaussiana: 
 
Método para calcular a inversa de uma matriz através de condensação por 
linhas 
 
1. Formamos uma matriz 
M
do tipo 
2n n
, 
 M A I
 isto é, 
A
 está na 
metade esquerda de 
M
e a matriz identidade na metade direita. 
 
2. Transformamos a matriz 
A
 numa matriz triangular com elementos 
principais não nulos, através unicamente de operações elementares sobre 
as linhas de 
M
(isto é, as operações efetuam-se às linhas de 
A
 e 
I
 
simultaneamente). Se o processo gerar uma linha nula na metade 
A
 de 
M
, está terminado o cálculo porque, neste caso, 
A
 não é invertível 
(
( ) Car A n
). De outra forma, a metade correspondente a 
A
 assumirá a 
forma triangular. 
 
3. Transformamos a seguir 
A
 na matriz identidade, continuando a operar 
sobre as linhas de 
M
(completas). Obtemos então uma matriz 
'M
, 
equivalente a 
M
, dada por 
 'M I B
, onde 
I
 substitui 
A
 na metade 
esquerda da matriz. 
 
4. Temos, então: 1A B  . 
 
Este algoritmo permite obter a matriz inversa de 
A
 porque efetuar uma sucessão de 
operações elementares nas linhas equivale a multiplicar pelas matrizes elementares 
2 1...nE E E
 à esquerda de 
A
 e de 
I
. Esquematizando: 
1
1 1 2 1 2 1 2 1 2 1~ ~ ~ ... ~ ... ... ~n nA I E A E I E E A E E I E E E A E E E I I A
                 
 
Quando obtivermos na 1ª metade a matriz 
I
, então na 2ª metade obteve-se a 
matriz 1A : 
 
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2 1
1 1
2 1
1
2 1
...
...
...
n
n
n
E E E A I
E E E AA IA
E E E I A
 


 
 
 
Exemplo 13: 
Suponhamos que se pretende calcular a inversa da matriz 











814
312
201
A
 
Primeiro formamos a matriz 
 M A I
 e reduzimos a matriz 
A
 a uma matriz triangular 
efetuando, exclusivamente, operações sobre as linhas de 
M
: 
 
13
122
L4L3L
L2LL100
010
001
 
814
312
201
M












23 LL3L
104
012
001
 
010
110
201












 
 














116
012
001
 
100
110
201
 
 
Assim, a metade esquerda de 
M
 está em forma triangular, com elementos principais 
não nulos, logo 
A
 é invertível (note-se que 
( ) 3Car A 
).Vamos então transformar a 
parte esquerda de 
M
 na matriz identidade, fazendo agora 
1 1 32L L L 
 e 
2 2 3L L L 
 
 33
22
LL
LL116
104
2211
 
100
010
001
















 













116
104
2211
 
100
010
001
 
A matriz identidade está na metade esquerda da matriz final, logo, a metade direita 
é 1A , isto é 
1
11 2 2
4 0 1
6 1 1
A
 
  
 
   
. 
Observação: Quando tiver dificuldade em encontrar a operação elementar 
adequada para anular um determinado elemento 
ija
 (na linha 
i
) de uma matriz 
usando como pivot o elemento 
jja
 (da linha 
j
), use a seguinte operação: 
ij
i i j
jj
a
L L L
a
  
 
  
 
M
  
 
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Operando por Colunas 
O algoritmo seguinte, tal como no caso das operações sobre linhas, ou nos dá a 
inversa de uma matriz quadrada de ordem n, ou mostra que a matriz não é invertível. 
 
Método para o cálculo da inversa de uma matriz através de condensação por 
colunas 
1. Formamos uma matriz 
M
do tipo 2n x n, 
A
M
I
 
 
  
 
 
, isto é, 
A
 está na metade 
superior de 
M
e a matriz identidade na metade inferior. 
 
2. Transformamos a matriz 
A
 numa matriz triangular com elementos principais 
não nulos, através unicamente de operações elementares sobre as 
colunas de 
M
 (isto é, as operações efetuam-se às colunas de 
A
 e I 
simultaneamente). Se o processo gerar uma coluna nula na metade 
A
 
de 
M
, está terminado o cálculo porque, neste caso, 
A
 não é invertível 
(
( ) Car A n
). De outra forma a metade correspondente a 
A
 assumirá 
a forma triangular. 
 
3. Transformamos a seguir 
A
 na matriz identidade, continuando a operar 
sobre as colunas de 
M
(completas). Obtemos então uma matriz 
'M
, 
equivalente a 
M
, dada por 
'
I
M
B
 
 
  
 
 
, onde I substitui 
A
 na metade 
superior da matriz. 
 
4. Temos, então: 1A B  . 
 
Exemplo 14: 
Calculemos inversa da matriz 
A
, já calculada por linhas: 











814
312
201
A
 
 
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Primeiro formamos a matriz 
A
M
I
 
 
  
 
 
e reduzimos a matriz 
A
 a uma matriz triangular 
efetuando, exclusivamente, operações sobre as colunas de M: 
 133
C2CC
 
100
010
001
814
312
201
M





















233 CCC
 
100
010
201
014
112
001











































 
100
110
201
114
012
001
 
Assim, a metade superior de M está em forma triangular, com elementos principais 
não nulos, logo 
A
 é invertível (note-se que 
( ) 3car A 
). Vamos então transformar a 
parte superior de M na matriz identidade, fazendo agora 
1 1 34C C C 
 e 
2 2 3C C C 
 
 
 211
C2CC
 
114
104
227
100
012
001























33
22
CC
CC
 
116
104
2211
100
010
001












































 
116
104
2211
100
010
001
 
A matriz identidade está na metade superior da matriz final, logo, a metade inferior é 
1A
, isto é 
1
11 2 2
4 0 1
6 1 1
A
 
  
 
   
. 
 O que coincide com o resultado obtido operando por linhas. 
 
IMPORTANTE: 
No cálculo da inversa de uma matriz por condensação não se deve operar 
simultaneamente por linhas e por colunas uma vez que a matriz assim obtida não é, 
de um modo geral a matriz inversa de A, porque uma operação elementar por linhas 
equivale à multiplicação à esquerda pela matriz elementar correspondente, 
enquanto que por colunas a multiplicação é à direita. 
  
   
 
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Exemplo 15: 
Consideremos ainda a matriz 











814
312
201
A
 
da qual já se calculou a inversa quer por linhas quer porcolunas. Depois de 
formarmos a matriz M 
 M A I
 vamos, de modo análogo, transformar a matriz A na 
matriz identidade operando simultaneamente sobre as linhas e colunas de M: 
 13
122
L4L3L
L2LL100
010
001
 
814
312
201
M












123 C2CC3C
104
012
001
 
010
110
201













 
 233 LLL
904
312
201
 
110
010
001
















22
33
LL
LL1216
312
201
 
100
010
001
















 
 













1216
312
201
 
100
010
001
 
A matriz obtida na parte direita de M não é a inversa de A, uma vez que sendo única 
já foi anteriormente calculada e é 1
11 2 2 1 0 2
4 0 1 2 1 3
6 1 1 6 1 12
A
   
       
   
         
 . 
 
 
  
 
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2. Sistemas de equações lineares 
2.1. Nomenclaturas e Notações 
Definição 22: 
Uma expressão 
1 1 2 2 ... n na x a x a x b   
 
onde 
1 2, ,..., ,na a a b
 são escalares conhecidos de um corpo K e 
1 2, ,..., nx x x
 são 
escalares a determinar no mesmo corpo, é uma equação linear ou do primeiro grau 
sobre K. 
A equação tem dois membros; no primeiro membro os escalares a determinar 
1 2, ,..., nx x x
 são as incógnitas e os escalares 
1 2, ,..., na a a
 são os coeficientes das 
incógnitas; no segundo membro tem-se o termo independente 
b
. Qualquer 
determinação das incógnitas em K, que verifica a equação, chama-se solução da 
equação. 
 
Definição 23: 
Um conjunto de equações lineares sobre um corpo K constitui um sistema de 
equações lineares sobre esse corpo. Um sistema geral, nas incógnitas 
1 2, ,..., nx x x
 
representa-se, usualmente, por: 
 
(S) 
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
   
    


    
 
 
onde os 
, ( 1,2,..., ; 1,2,..., ) ij ia b i m j n 
 são escalares conhecidos 
Uma solução (ou solução particular) deste sistema é um conjunto de valores das 
incógnitas, 
1 1 2 2, ,..., n nx k x k x k  
 ou uma n-upla 
 1 2, ,..., nx k k k
 de constantes, que 
é solução de cada uma das equações do sistema. O conjunto de todas as soluções 
do sistema é chamado conjunto solução ou solução geral do sistema. 
 
 
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2.1.1. Notação Matricial 
Definição 24: 
Sendo 
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 
 
 
  
, 
1
2
n
x
x
X
x
 
 
 
 
 
  
 e 
1
2
m
b
b
B
b
 
 
 
 
 
  
 verificamos que o sistema de 
equações (S) é equivalente à equação matricial: 
.A X B
. 
A matriz 
A
 designa-se por matriz do sistema ou matriz dos coeficientes e 
B
 designa-
se por matriz ou coluna dos termos independentes. A matriz 
 ' |A A B
 que se obtém 
ampliando A com a coluna do termos independentes, isto é, a matriz 
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
'
n
n
m m mn m
a a a b
a a a b
A
a a a b
 
 
 
 
 
  
 
é chamada matriz completa ou matriz aumentada de (S). Observe-se que um sistema 
(S) qualquer fica completamente definido pela sua matriz aumentada. 
 
Exemplo 16: 
A matriz dos coeficientes e a matriz completa do sistema: 
2 3 4 1
2 2 0
x y z
x y z
  

  
 
são, respetivamente, as matrizes 
2 3 4
1 2 2
 
  
 e 
2 3 4 1
1 2 2 0
 
  
 
O traço vertical que separa a coluna dos termos independentes, na matriz completa, 
não é obrigatório servindo apenas para não haver confusão quanto ao seu 
significado, distinto do das restantes colunas da matriz completa. 
Notemos, ainda, que o sistema é equivalente à equação 
2 3 4 1
.
1 2 2 0
x
y
z
 
              
 
 
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2.2. Classificação de sistemas 
No caso de o sistema (S) ter, pelo menos, uma solução, o sistema é possível e as 
m
 
equações dizem-se compatíveis. Note-se que, se 
( )k m
 equações do sistema têm 
uma solução em comum, então qualquer outra equação que seja satisfeita por essa 
mesma solução diz-se compatível com as outras 
k
 equações. 
Quando o sistema admite uma única solução diz-se determinado; se o sistema tem 
mais do que uma solução é indeterminado. Se não tiver nenhuma solução o sistema 
é impossível e as equações dizem-se incompatíveis. 
Em resumo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2.1. Sistemas Homogéneos 
Definição 25: 
Quando os termos independentes de um sistema são todos nulos, isto é, em (S), 
0 ( 1,..., )ib i m 
 as equações e o sistema dizem-se homogéneos. 
 
Importante: 
Se um sistema é homogéneo então é possível, uma vez que tem sempre, pelo 
menos, a solução nula ou trivial: 
=0 ( =1,2,..., ). jx j n
. Assim, um sistema homogéneo é: 
 possível determinado se admitir apenas a solução trivial; 
 possível indeterminado se, além da solução nula, admitir outras soluções 
(soluções não triviais). 
Sistema de Equações Lineares 
Possível 
(tem soluções) 
Determinado 
(tem uma única solução) 
Impossível 
(não tem soluções) 
Indeterminado 
(tem várias soluções) 
 
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2.2.2. Características e Sistemas 
Os sistemas de equações lineares podem ser resolvidos utilizando a técnica da 
condensação de matrizes. Resolver um sistema é determinar todas as suas soluções 
ou concluir que ele não as tem. 
Dois sistemas dizem-se equivalentes se e só se têm as mesmas soluções. Esta 
equivalência permite resolver um sistema, resolvendo qualquer outro sistema 
equivalente ao sistema dado. 
Considere-se o sistema (S) de 
m
 equações a 
n
 incógnitas: 
.A X B
, e 
 ' |A A B
 a 
matriz completa de (S), do tipo 
 1m n 
, tendo como submatriz a matriz do sistema, 
A
. 
Resolver, classificar e/ou discutir o sistema por condensação baseia-se na 
condensação da matriz 
A
, impondo algumas restrições às operações elementares a 
efetuar. Isto porque pretendemos, durante a condensação, passar de uma matriz 
para outra equivalente mantendo a equivalência dos sistemas correspondentes. 
Uma vez que as linhas da matriz representam as equações do sistema, sobre estas 
são válidas todas as operações elementares já definidas, isto é, podemos efetuar: 
 troca da posição relativa de duas linhas (equações) 
 multiplicação de todos os elementos de uma linha (equação, incluindo termo 
independente) por uma constante não nula 
 substituição de todos os elementos de uma linha (equação) pela sua soma 
com os elementos homólogos de outra, mesmo que previamente 
multiplicados por uma mesma constante. 
No entanto, como as colunas representam os coeficientesde cada uma das 
incógnitas, sobre estas é válida apenas uma das operações elementares: 
 troca da posição relativa de duas colunas na matriz do sistema (troca da 
ordem das incógnitas), não podendo ser trocada a posição da última coluna 
de A’ uma vez que esta é a coluna dos termos independentes. 
Note-se que esta troca de colunas deve ser registada porque é uma troca de 
incógnitas, alterando a solução final. 
 
 
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Resumindo: a condensação da matriz de um sistema é uma condensação por 
linhas, sendo, por colunas, possível apenas a troca de posições. 
 
No final da condensação da matriz 
A
 dentro da matriz completa 
 ' |A A B
 do 
sistema proposto obtém-se uma matriz triangular de ordem “
r
” com elementos 
diagonais não nulos, isto é, obtém-se uma matriz da forma: 
 
 
111 12 1 1 1 1 
222 2 2 1 2 
r 1 
r 1
m
b'' ' ' ' '
b'0 ' ' ' '
 b'0 0 ' ' '
b'0 0 0 0 0
b'0 0 0 0 0
r r n
r r n
r r r r r n
a a a a a
a a a a
a a a




 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A ordem da matriz triangular é, como se sabe, igual à característica da matriz 
A
. 
Todas as operações na condensação alteram a matriz completa do sistema 
proposto, mas a cada matriz, que se vai obtendo sucessivamente, corresponde um 
sistema de equações de que esta matriz é matriz completa. Cada um destes 
sistemas é equivalente ao sistema proposto. O sistema correspondente à matriz que 
se obtém no final da condensação (S’) é o sistema condensado do sistema proposto 
(S). 
 
As incógnitas cujos coeficientes constituem as “
r
” colunas da matriz triangular 
chamam-se incógnitas principais e as restantes (
n r
) incógnitas designam-se por 
incógnitas não principais ou secundárias. De modo análogo, as “
r
” equações que 
figuram nas linhas da matriz triangular chamam-se equações principais e as (
m r
) 
restantes não principais ou secundárias. 
 
É evidente que o sistema (S’) (e portanto o sistema (S)) é possível se e só se: 
1 2' ' ' 0r r mb b b    
 
uma vez que as (
m r
) últimas equações deste sistema condensado são 
r
 
n r
 
1
 
r
 
m r
 
 
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1 2 1
1 2 2
1 2
0 0 ... 0
0 0 ... 0
0 0 ... 0
n r
n r
n m
x x x b
x x x b
x x x b


   
    


    
 
e neste caso tem-se igualdade entre a característica da matriz completa do sistema 
e a característica da matriz do sistema. 
 
Temos então o seguinte teorema: 
Teorema 11: 
É condição necessária e suficiente para que um sistema de equações lineares seja 
possível que a matriz do sistema e a matriz completa tenham igual característica. 
 
Note-se que, se as características não são iguais elas diferem de apenas uma 
unidade uma vez que 
'A
 resulta de se acrescentar a 
A
 uma só coluna, tendo-se, 
então: 
( ') ( )car A car A
. 
Então, sendo: 
 
n
 - o número de incógnitas do sistema 
 
C
 - a característica da matriz do sistema ( matriz 
A
: 
C r
) 
 
'C
 - a característica da matriz completa do sistema ( matriz 
'A
) 
tem-se sempre: 
'C C
 ou 
' 1 ( ' )C C C C  
 e 
C n
. 
A discussão quanto à classificação do sistema (S) resume-se nas seguintes 
proposições: 
 Se 
( ) '( 1)C r C r   
 o sistema é impossível 
 
 Se 
( ) 'C r C n  
 o sistema é possível determinado (tem uma só solução) 
 
 Se 
( ) 'C r C n  
 o sistema é possível indeterminado (tem uma infinidade de 
soluções), sendo o grau de indeterminação dado pela diferença 
 n r
, que 
coincide com o número de incógnitas secundárias do sistema. Se 
  1n r 
 o 
sistema diz-se possível simplesmente indeterminado; se 
  2n r 
 o sistema diz-
-se possível duplamente indeterminado; e assim sucessivamente. 
 
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2.3. Método de Gauss-Jordan 
O método de Gauss – Jordan é utilizado para a resolução de sistemas cujo número 
de equações é igual ao número de incógnitas. 
 
Consideremos então um sistema de 
n
 equações e 
n
 incógnitas: 
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...
n n
n n
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
   
    


    
 
Como a matriz do sistema é uma matriz quadrada de ordem n, pelo um teorema 10 
podemos dizer que, se a característica da matriz do sistema for 
 n C n
, então a 
matriz é equivalente, por linhas, à matriz identidade. 
 
Método de Gauss – Jordan 
 
 (1) Tomamos a matriz completa do sistema: 
 ' |A A B
 
(2) Transformamos, através de operações adequadas, a matriz dos 
coeficientes 
A
 na matriz identidade, aplicando, simultaneamente, à 
matriz coluna 
B
, as mesmas operações. 
 
(3) Transformada a matriz do sistema na matriz identidade, a coluna dos 
termos independentes fica transformada, no final, na solução do 
sistema. 
 
 
 
Exemplo 17: 
Resolva o sistema: 
0
 2 2 10
2 3 2
x y z
x y z
x y z
  

  
    
 
 
 
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Resolução: 
A matriz completa do sistema é: 
1 1 1 0
' 1 2 2 10
2 3 1 2
A
  
  
 
   
 Vamos transformar a matriz do sistema na matriz identidade, fazendo: 
2 2 1L L L 
 e 
3 3 12L L L 
 
3 3 25.
1 1 1 0 1 1 1 0
' 0 1 3 10 0 1 3 10
0 5 1 2 0 0 16 48
L L L
A
 
       
   
    
      
 Podemos desde já garantir que o sistema é possível determinado uma vez que, 
estando a condensação da matriz terminada, é fácil ver que 
' 3C C n  
. Do 
mesmo modo está garantida a possibilidade da transformação da matriz dos 
coeficientes na matriz identidade uma vez que, a sua característica é igual à sua 
ordem. 
Continuando a transformação fazemos: 
3 3
1
16
L L
 
temos então: 
1 1 3
2 2 33.
1 1 1 0
' 0 1 3 10
0 0 1 3 L L L
L L L
A
 
 
   
 
 
  
 
1 1 2
2 2
1 1 0 3
0 1 0 1
0 0 1 3 L L L
L L
 

  
 
 
  
 
1 0 0 2
0 1 0 1
0 0 1 3
 
 
 
  
 
De acordo com o que se expôs, o sistema inicial transformou-se no sistema 
equivalente: 
1. 0. 0. 2 2
 0. 1. 0. 1 1
0. 0. 1. 3 3
x y z x
x y z y
x y z z
    
 
       
     
 
Estes valores das variáveis são a solução única do sistema: 
( , , ) (2, 1,3)x y z  
 
Exemplo 18: 
Resolva o sistema: 
0
 2 2 10
2 2 2 3
x y z
x y z
x y z
  

  
    
 
 
 
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Resolução: 
A matriz completa do sistema é: 
1 1 1 0
' 1 2 2 10
2 2 2 3
A
   
 
  
    
 
Vamos transformar a matriz do sistema na matriz identidade, fazendo: 
2 2 1L L L e 
3 3 1L L 2L 
 
1 1 1 0
' 0 1 3 10
0 0 0 3
A
   
 
 
  
 Este sistema é impossível uma vez que, estando a condensação da matriz terminada, 
é fácil ver que 
2 ' 3C C  
, sendo impossível a transformação da matriz dos 
coeficientes na matriz identidade. Assim, este sistema não tem solução. 
 
 
2.4. Resolução de sistemas por condensação 
Consideremos um sistema geral de 
m
equações a 
n
 incógnitas, onde 
m n
. 
(S) 
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
   
    


    
 
Para resolvermos este sistema podemos proceder de modo semelhante ao método 
de Gauss – Jordan, apresentado na secção anterior, embora aqui não seja possível 
transformar a matriz do sistema na matriz identidade pois esta é retangular. 
Apresentamos, então, duas formas de resolução deste tipo de sistemas, baseadas na 
condensação, e cuja utilização ficará ao critério de cada um. 
O procedimento inicial é o mesmo, começando por se condensar a matriz do 
sistema. Obtemos dentro da matriz do sistema, uma matriz triangular de ordem “
r
” 
com elementos diagonais não nulos. Assim, a matriz do sistema (S) é equivalente a 
uma matriz do tipo: 
 
 
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111 12 1 1 1 1 
222 2 2 1 2 
r 1 
r 1
m
b'' ' ' ' '
b'0 ' ' ' '
 b'0 0 ' ' '
b'0 0 0 0 0
b'0 0 0 0 0
r r n
r r n
r r r r r n
a a a a a
a a a a
a a a




 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como também já referimos, este sistema só é possível se 
1 2' ' ' 0r r mb b b    
 uma 
vez que, havendo pelo menos um 
' 0ib 
 para 
i r
, teríamos 
' 1C r C r   
, sendo, 
neste caso, o sistema (S) impossível (sem solução). 
Considerando agora 
1 2' ' ' 0r r mb b b    
, isto é, considerando o caso do sistema 
ser possível (
'C r C 
), temos então: 
 
r
 incógnitas principais (cujos coeficientes figuram nas 
r
 primeiras colunas da 
matriz) 
 
 n r
 incógnitas secundárias 
 
r
 equações principais (que constituem as r primeiras linhas da matriz) 
 
 m r
 equações secundárias cujos membros ficaram “anulados” depois de 
efetuada a condensação. 
Para terminarmos a resolução do sistema (S) temos dois processos possíveis que 
passamos a descrever separadamente: 
 
Processo 1 - Rescrevemos o sistema condensado, eliminando as equações não 
principais e passando para os segundos membros os termos relativos às 
incógnitas não principais, isto é 
 
11 1 12 2 1 1 1 1 1 1
22 2 2 2 2 1 1 2
1 1
' ' ... ' ' ... '
' ... ' ' ... '
' ' ... '
r r r r n n
r r r r n n
r r r m r r r r n n
a x a x a x b a x a x
a x a x b a x a x
a x b a x a x
 
 
 
      
      


    
 
 Deste sistema, obtêm-se imediatamente as soluções do sistema (S) por 
substituição dos sucessivos valores das incógnitas (de baixo para cima). 
 
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Obter as soluções não é mais do que escrever as incógnitas principais à 
custa das incógnitas secundárias que podem assumir qualquer valor 
(varáveis livres). 
Processo 2 - Transformamos a matriz triangular obtida por condensação na matriz 
identidade, efetuando apenas operações por linhas. Chegamos, então 
a uma matriz do tipo: 
1 1 1 1
2 1 2 2
 1 r
1 0 0 '' '' b''
0 1 0 '' '' b''
 0 0 1 '' '' b''
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
r n
r n
r r r n
a a
a a
a a



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
obtendo-se, diretamente, as soluções pretendidas, de (S), ao 
escrevermos o sistema representado por esta última matriz, passando 
para o segundo membro os termos relativos às incógnitas secundárias: 
1 1 1 1 1 1
2 2 2 1 1 2
1 1
'' '' ... ''
'' '' ... ''
'' '' ... ''
r r n n
r r n n
r m r r r r n n
x b a x a x
x b a x a x
x b a x a x
 
 
 
   
    


    
 
Este processo pode entender-se como uma extensão do método de 
Gauss-Jordan a sistemas cujas matrizes sejam retangulares, ou, de outra 
forma, o método de Gauss-Jordan pode ser visto como um caso 
particular deste processo 2, quando a matriz do sistema é quadrada, de 
característica igual à sua ordem. 
 
Observações: 
 Note-se que na exposição dos dois processos estamos a supor que durante a 
condensação não houve troca da posição relativa das colunas na matriz do 
sistema, isto é, que as incógnitas se encontram segundo a sua ordem inicial. 
Caso haja troca de colunas esta deve ser assinalada para que no final, 
quando se rescreve o sistema se atribua a cada incógnita os coeficientes 
respetivos e não os de outra. 
 
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 Estamos também a supor a existência de incógnitas secundárias, sendo o 
sistema, neste caso, indeterminado (de grau igual ao número destas). No 
entanto, os dois processos funcionam sempre, independentemente da 
existência ou não de incógnitas secundárias. 
A compreensão destes processos ficará mais facilitada se atendermos aos exemplos 
que se seguem. 
Exemplo 19: 
Resolver sistema: 
0
 2 2 10
2 3 2
x y z t
x y z t
x y z t
   

   
     
 
 
Resolução: 
A matriz completa do sistema é: 
1 1 1 1 0
' 1 2 1 2 10
2 3 1 1 2
A
    
 
   
    
 Vamos começar por condensar a matriz do sistema, fazendo: 
2 2 1L L L 
 e 
3 3 12L L L 
 
3 3 25.
1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
' 0 1 0 3 10 0 1 0 3 10
0 5 1 1 2 0 0 1 16 48
L L L
A
 
         
   
    
      
 Podemos desde já garantir que o sistema é possível uma vez que 
' 3C C 
, no 
entanto é simplesmente indeterminado porque 
3 4C n  
 e 
1n C 
. Agora, uma 
vez que o sistema é possível, temos : 
o incógnitas principais (3): 
, ,x y z
 
o incógnitas secundárias (1): 
t
(livre) 
o Equações principais (3): todas 
o Equações secundárias (0): não há 
Continuando a resolução do sistema, pois é possível, vamos fazê-lo pelos dois 
processos atrás descritos: 
Pr.1 Rescrevendo o sistema obtido, passando para o segundo membro os termos 
relativos à incógnita secundária, temos: 
 
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 10 3. 3. 10
48 16. 48 16.
x y z t x t y z
y t y t
z t z t
      
 
      
    
 
Para obtermos a solução da incógnita 
x
 temos de substituir na primeira equação 
y
 
e 
z
 pelas respetivas expressões, em função de 
t
, temos então 
38 12
3 10
 
48 16
x t
y t
z t
t IR
 
  

 
 
 
As soluções do sistema são: 
( , , , ) (38 12 ,3 10,48 16 , ), x y z t k k k k k    
 
Pr.2 Para transformar a matriz triangular obtida, isto é, formada pelos termos 
relativos às incógnitas e equações principais, na matriz identidade basta fazer: 
1 1 2 3L L L L  
 e 
2 2L L
 
temos então: