Prova1 2014.1 Lucy

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
1a Prova de MAT029 - Equac¸o˜es Diferenciais I - 30/04/2014
Profa. Lucy Tiemi Takahashi
Nome: Matr´ıcula:
Importante
Justifique com argumentos matema´ticos cada resposta dada.
1. (15 pontos) Dada a se´rie
∞∑
n=1
5
(5n+ 2)(5n+ 7)
determinar
(a) S1, S2 e S3;
(b) Sn;
(c) a soma da se´rie, se for convergente.
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2. (15 pontos) A sequeˆncia (xn)n∈N : xn =
(−e)n+1 + 3n+1
3n+2 + pin
, n ∈ N, converge ou diverge? Justifique
suas respostas com argumentos matema´ticos.
————————————————————————————–
3. (20 pontos) Verifique se cada uma das afirmc¸o˜es abaixo e´ verdadeira ou falsa. Justifique suas
respostas com argumentos matema´ticos.
(a) ( ) Se a
∑
(an)
2 converge, enta˜o a se´rie
∑
an converge absolutamente.
(b) ( ) Se a se´rie de termos positivos
∑
an converge, enta˜o a se´rie
∑
(an)
2 converge.
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4. (30 pontos) Verifique se cada se´rie, dada abaixo, e´ convergente ou divergente e, no caso de
convergeˆncia, dizer se e´ convergeˆncia absoluta ou condicional.
(a)
+∞∑
n=1
sen(n!) + 4 cos(npi)
n!
(b)
+∞∑
n=1
ne−n
2
(c)
+∞∑
n=1
(−1)n n!
2n+1
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5. (20 pontos) Determine os valores de x ∈ R para os quais a se´rie
∞∑
n=1
32n
n+ 1
(x− 2)n
e´ convergente.