Unidade II - Introdução a Probabilidade

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Introdução à Probabilidade para
Engenharia. 
Unidade II- Parte I
Sumário
Introdução à Probabilidade;
Espaço amostrais e eventos;
Noções fundamentais de probabilidades;
Probabilidade condicional
Independência
Teorema de Bayes
Introdução
No período que vai dos primeiros estudos matemáticos de probabilidades até a metade do século passado, surgiram varias aplicações da Teoria das Probabilidades, aplicações que chamamos de clássicas: 
Os cálculos atuariais, especialmente os associados aos seguros de vida; 
Os estudos demográficos e, em especial, os estudos de incidência de doenças infecciosas e o efeito da vacinação ( exemplo de grande repercussão na época sendo o da varíola ) ;
A construção das loterias nacionais e o estudo dos jogos de azar: carteados, roleta, lotos, etc; 
	Contudo, o que queremos aqui abordar é o surgimento das modernas aplicações da Teoria das Probabilidades, pois são essas que vão demonstrar a enorme importância teórica e prática das idéias probabilistas e estender seu uso a uma enorme gama de profissionais e até mesmo a muitas atividades do cotidiano do viver moderno. Dentre essas modernas aplicações, nos concentraremos em: 
 Probabilidades para Engenharia 
Introdução
Probabilidade aplicada À Engenharia
A real difusão dos métodos estatísticos na engenharia só iniciou durante a Segunda Guerra. Entre 1941 e 1942 os americanos e os ingleses desenvolveram um grande programa, procurando disseminar a prática do controle de qualidade estatístico na produção militar. 
Vários manuais escritos e divulgados amplamente. Especialmente decisiva foi a adoção desses manuais pelas universidades americanas. Terminada a guerra, rapidamente tornou-se norma a inclusão de cursos de Probabilidades e Estatística em todos os cursos de engenharia americanos, ingleses e, logo, de outros país.
aplicação
Teoria das Filas: determinar o número de caixas num super-mercado, determinar o número de pistas num aeroporto, determinar a quantidade de equipamento telefônico necessário para atender uma área geográfica.
Teoria das Informações: :Usando essa medida, a teoria estuda maneiras de codificar, transmitir e decodificar as mensagens que são transmitidas pelos sistemas de comunicação: TV, radio, telefonia, satélites, etc.
Teoria do Risco: Uma situação importante sendo o estudo das panes em sistemas de engenharia complexos, como redes de distribuição de energia elétrica, redes telefônicas, redes de computadores, etc 
Definições importantes
Experimentos aleatórios
Espaço amostral
Espaço amostral: É o conjunto de todos resultados possíveis de um certo fenômeno aleatório. 
Exemplos de espaço amostral
Em uma cidade, famílias com 3 crianças são selecionadas ao acaso, anotando o sexo de cada uma. 
(Ω)= ( F, F, F), (F,F, M), ( F, M, F), ( M, F, F), (M, M, M.), ( M, M, F), ( M,F, M), (F, M, M)
Eventos 
Definição: É o subconjunto do Espaço amostral (Ω)
São representados por letras latinas maiúsculas, A, B,..., P, Q, ... Z
O conjunto vazio , como já é conhecido, denotado por Ø. 
Exemplos de eventos: 
Em uma cidade, famílias com 3 crianças são selecionadas ao acaso, anotando o sexo de cada uma. Selecione as famílias que têm pelo menos 2 filhos homens. 
B =,(M, M, M.), ( M, M, F), ( M,F, M), (F, M, M)
Exemplos de eventos
No condomínio, foram construídos 3 blocos, cada bloco contendo 50 apartamentos. Uma equipe do controle de qualidade da construtora resolve inspecionar a obra e classificar obedecendo critérios apartamentos defeituosos ou não defeituoso. Depois da auditoria na obra, a equipe percebeu que os apartamentos defeituosos eram os de números pares. 
Descreva o espaço amostral: Os eventos são: 
Ap 001 A, 002 A, ... 050 A D= 002 A, 004 A, 008 A,..., 050 A
 001 B, 002 B, ...050 B 002 B, 004 B, 008 B,..., 050 B
 001 C, 002 C, ...050 C 002 C, 004 C, 008 C,..., 050 C
 
Operação entre eventos: 
Operação entre eventos: 
Operação entre eventos: 
Operação entre eventos: 
Exemplo: 
Sejam A, B e C três eventos de um espaço amostral. Exprimir os eventos abaixo usando as operações união, intersecção e complementação:
a)Somente B ocorre;
b)A e B ocorre, mas Cnão;
c)Pelo menos um ocorre;
d)Exatamente dois ocorrem; 
Probabilidade
Objetivo: O objetivo da teoria da Probabilidade é criar modelos teóricos que reproduzam de maneira razoável a distribuição de freqüências de fenômenos(experimentos) aleatórios de interesse.Tais modelos são chamados modelos probabilísticos.
Propriedades da probabilidade
Teoria frequentista
Exemplo: 
Exemplo:
Em um canteiro de obras há 10 funcionários que ganham mais de 20 salários mínimos, 20 ganham entre 10 e 20 salários mínimos e 70 funcionários ganham abaixo de 10 salários mínimos. Três pessoas são selecionadas. Determinar a probabilidade de pelo menos uma ganhe menos de 10 salários mínimos. 
Probabilidade condicional
Dado dois eventos a e b, a probabilidade condicional de a dado que ocorreu b é denotada por p(a | b) e definida por
Da definição de probabilidade condicional, obtemos a regra do produto de probabilidades 
Analogamente, se P(A) >0,
Exemplo: 
Sexo
Alfabetizada
Total
Sim
Não
Masc.
39.577
8.672
48.249
Fem.
46.304
7.297
56.601
Total
85.881
15.969
101.850
Qual a probabilidade, do operário escolhido, ser alfabetizado, sabendo que é do sexo feminino?
Exemplo
Um companhia que fura poços artesianos trabalha numa região escolhendo, aleatoriamente, o ponto de furo. Não encontrando água nessa tentativa, sorteia outro local e, caso não tenha sucesso, faz uma terceira e última tentativa. Admita probabilidade 0,7 de encontrar a água em qualquer ponto dessa região. Calcule a probabilidade de:
Encontrar a água na segunda tentativa;
Encontrar a água em até duas tentativas; 
Independência de eventos: Dois eventos A e B são independentes se a informação da ocorrência (ou não) de B não altera a probabilidade de ocorrência de A, isto é, 
Temos a seguinte forma equivalente: