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Departamento de Matema´tica Pura e Aplicada MAT 01353 – Ca´lculo e Geometria Anal´ıtica IA Lista 2 – Limites Ba´sicos 1. Considere a func¸a˜o f definida por f(x) = x2 − 16 4x− 16 , x > 4, x2 − C, x < 4. a) Determine o valor de C de modo que lim x→4 f(x) exista. b) Calcule lim x→+∞ f(x) 2. Com base no gra´fico abaixo, determine: -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y x f bc bc b b (a) lim x→3− f(x) = (b) lim x→3+ f(x) = (c) Baseado nos itens anteriores responda se existe lim x→3 f(x) 3. Abaixo temos o gra´fico da func¸a˜o f . a) Existe lim x→3 f(x)? Justifique. b) Existe lim x→−1 f(x)? Justifique. -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y x bc bc b b 4. Calcule cada limite, justificando suas respostas. a) lim x→1+ 1 x− 1= b) lim x→−∞ 1 + ex= c) lim x→0 f(x), onde f(x) = ln(1 + x), x ≥ 0 −x3 − 6x2 + x, x < 0 5. Considere a func¸a˜o f definida por f(x) = x2 + x− 2 2x− 2x2 , x > 1, log3 ( 1 2− x ) , x < 1. Calcule, caso exista. Justifique sua resposta no caso de na˜o existir. a) f(f(2)) b) lim x→1 f(x) c) lim x→+∞ f(x) 6. Considere a func¸a˜o f definida por f(x) = 5 x− 1 , x < 1, 0, x = 1, x3 − 3x2 + 2x x2 − 1 , x > 1. Calcule: a) lim x→1+ f(x) b) lim x→1− f(x) c) Com base nos itens anteriores, que se pode afirmar sobre lim x→1 f(x)? 7. Sendo f(x) = 5x2 − 25 x−√5 , calcule: a) lim x→ √ 5 f(x) b) lim x→−∞ f(x) 8. Calcule lim x→4 x2 − 8x+ 16 x− 4 caso exista, ou justifique sua resposta, se na˜o existir. 9. Calcule cada limite, usando os limites trigonome´tricos ba´sicos e as identidades trigonome´tricas necessa´rias. a) lim x→0 tan x sen x = b) lim x→pi 2 cos2 x 1− sen x= c) lim x→pi 6 1− 2 cos(2x) 1− 2 sen x = Respostas 1. a) lim x→4− f(x) = 16− c e lim x→4+ f(x) = 2 logo c = 14. b) lim x→+∞ f(x) = +∞. 2. a) lim x→3− f(x) = 4 b) lim x→3+ f(x) = 1 c) O limite na˜o existe pois os laterais sa˜o diferentes. 3. a) lim x→3 f(x) = −1 pois os dois laterias existem e sa˜o iguais a −1; b) lim x→−1 f(x) = 6 ∃ pois lim x→−1− f(x) = 1 e lim x→−1+ f(x) = 0 sa˜o diferentes. 4. a) +∞ b) 1 c) E´ 0, pois ambos limites laterais existem e valem zero. 5. a) −1 b) 6 ∃, o limite a` esq. e´ 0 e a` direita e´ −3/2. c) −1/2. 6. a) lim x→1+ f(x) = −1/2 b) lim x→1− f(x) = −∞ c) lim x→1 f(x) na˜o existe, porque os laterais sa˜o diferentes. 7. a) lim x→ √ 5 f(x) = 10 √ 5 b) lim x→−∞ f(x) = −∞. 8. lim x→4 x2 − 8x+ 16 x− 4 = 0. 9. a) lim x→0 tan x sen x = 1 b) lim x→pi 2 cos2 x 1− sen x = 2 c) lim x→pi 6 1− 2 cos(2x) 1− 2 sen x = −2.
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