19ª Aula Coordenadas Isomorfismo e Matriz de Mudança

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Álgebra Linear
Assunto: Coordenadas, Isomorfismos e Matriz de
Mudança
Universidade Federal Rural do Semi-Árido - UFERSA
Campus Pau dos Ferros-RN
25 de abril de 2016
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 25 de abril de 2016 1 / 26
COORDENADAS
Como foi observado, para cada base S de um espaço vetorial, os vetores
v se escrevem de forma única como combinação linear, donde temos as
coordenadas de v na base S. Assim, podemos representá-los como
matrizes colunas, se tais base forem tomadas ordenada:
Definição 1:
Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. Dizemos que
S = {v1, v2, . . . , vn} é BASE ORDENADA de V , quando a ordem
dos vetores é considerada.
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Por exemplo,
a base cônica de R3 é a base ordenada S = {e1, e2, e3}, S1 = {e2, e1, e3}
é outra base ordenada de R3.
Assim, já podemos ver como representamos as coordenada de v em uma
base ordenada S:
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Definição 2:
Sejam S = {v1, v2, . . . , vn} uma base ordenada de V e v ∈ V tal que
v = a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn,
donde a1, a2, . . . , an são as coordenada de v na base S. Dizemos que,
[v]S =

a1
a2
...
an

é o VETOR DE COORDENADAS DE v NA BASE S.
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Assim, em qualquer espaço de dimensão finita podemos operar com
seus vetores da mesma forma que operamos no espaço das matrizes,
ou seja,
se v, w ∈ V e v = w, então [v]S = [w]S para uma base ordenada S em V ,
e
se v, w ∈ V são tais que [v]S = [w]S , então v = w em V .
Logo, ”trabalhamos” em V como ”trabalhamos” em Rn.
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EXEMPLOS
Exemplo 1:
se S1 = {t, 1}, S2 = {1, t} e S3 = {t+1, t−1} são base ordenadas de P1,
então quais são os vetores de coordenadas de p(t) = 5t− 2 nessas bases?
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1- Como a combinação linear
5t− 2 = at+ b1,
implica a = 5 e b = −2 segue que [p(t)]S1 =
[
5
−2
]
;
2- Como a combinação linear
5t− 2 = a1 + bt,
implica a = −2 e b = 5 segue que [p(t)]S2 =
[
−2
5
]
;
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1- Como a combinação linear
5t− 2 = at+ b1,
implica a = 5 e b = −2 segue que [p(t)]S1 =
[
5
−2
]
;
2- Como a combinação linear
5t− 2 = a1 + bt,
implica a = −2 e b = 5 segue que [p(t)]S2 =
[
−2
5
]
;
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1- Como a combinação linear
5t− 2 = at+ b1,
implica a = 5 e b = −2 segue que [p(t)]S1 =
[
5
−2
]
;
2- Como a combinação linear
5t− 2 = a1 + bt,
implica a = −2 e b = 5 segue que [p(t)]S2 =
[
−2
5
]
;
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1- Como a combinação linear
5t− 2 = at+ b1,
implica a = 5 e b = −2 segue que [p(t)]S1 =
[
5
−2
]
;
2- Como a combinação linear
5t− 2 = a1 + bt,
implica a = −2 e b = 5 segue que [p(t)]S2 =
[
−2
5
]
;
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3- Como a combinação linear
5t− 2 = a(t+ 1) + b(t− 1),
implica
5 = a+ b
−2 = a− b
obtendo a = 32 e b =
7
2 , segue que
[p(t)]S3 =
[
3
2
7
2
]
;
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Exemplo 2:
se S =


1
1
0
 ,

2
0
1
 ,

0
1
2

 é uma base ordenadas de R3, então
qual é o vetor de coordenadas de v =

1
1
−5
 nessa base?
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Como a combinação linear
1
1
−5
 = a

1
1
0
+ b

2
0
1
+ c

0
1
2
 ,
implica
1 = a+ 2b
1 = a+ c
−5 = b+ 2c
que tomando a matriz aumentada e escalonando obtemos
1 0 0 p 3
0 1 0 p −1
0 0 1 p −2
 .
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Logo, o vetor de coordenada de v na base S é
[v]S =

3
−1
−2
 .
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ISOMORFISMO
Assim, podemos ver a ”semelhança” algébrica entre um espaço V de
dimensão finita e o espaço Rn. Isso acontece porque existe um iso-
morfismo entre eles, ou seja,
Definição 3:
Sejam V e W espaços vetoriais. Um ISOMORFISMO é uma função
bijetora L de V em W tal que:
(a) L(u+ v) = L(u) + L(v) para u, v ∈ V ;
(b) L(cv) = cL(v) para v1, v2 ∈ V .
Dizemos então que V e W são isomorfos.
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E é o seguinte teorema que garante a ”semelhança”
Torema 1:
Se a dimV = n, então V é isomorfo a Rn.
Além de termos também que:
Teorema 2:
Os espaços vetoriais V e W são isomorfos se, e somente se,
dimV = dimW .
Corolário 1:
Se V tem dimensão finita e é isomorfo a Rn, então dimV = n.
Mostrando que espaços de dimensão finita não diferem muito, algebri-
camente falando, de espaços de matrizes.
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EXEMPLOS
Exemplo 1:
Mostre que P2 e R3 são isomorfo.
Como dimP2 = 3 e dimR3 = 3, pelo teorema 2 são isomorfos.
Exemplo 2:
Mostre que V = ger{et, e−t} e R2 são isomorfo.
Primeiro tentamos uma função natural: L : V → R2 definida por
L(aet + be−t) =
[
a
b
]
e verificamos:
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EXEMPLOS
Exemplo 1:
Mostre que P2 e R3 são isomorfo.
Como dimP2 = 3 e dimR3 = 3, pelo teorema 2 são isomorfos.
Exemplo 2:
Mostre que V = ger{et, e−t} e R2 são isomorfo.
Primeiro tentamos uma função natural: L : V → R2 definida por
L(aet + be−t) =
[
a
b
]
e verificamos:
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EXEMPLOS
Exemplo 1:
Mostre que P2 e R3 são isomorfo.
Como dimP2 = 3 e dimR3 = 3, pelo teorema 2 são isomorfos.
Exemplo 2:
Mostre que V = ger{et, e−t} e R2 são isomorfo.
Primeiro tentamos uma função natural: L : V → R2 definida por
L(aet + be−t) =
[
a
b
]
e verificamos:
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EXEMPLOS
Exemplo 1:
Mostre que P2 e R3 são isomorfo.
Como dimP2 = 3 e dimR3 = 3, pelo teorema 2 são isomorfos.
Exemplo 2:
Mostre que V = ger{et, e−t} e R2 são isomorfo.
Primeiro tentamos uma função natural: L : V → R2 definida por
L(aet + be−t) =
[
a
b
]
e verificamos:
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(a) Se é injetora: L(a1et + b1e−t) = L(a2et + b2e−t) ⇒
[
a1
b1
]
=[
a2
b2
]
⇒ a1 = a2 e b1 = b2 ⇒ a1et + b1e−t = a2et + b2e−t
(b) Se é sobrejetora: para qualquer
[
a
b
]
∈ R2, existe aet + be−t ∈ V
tal que L(aet + be−t) =
[
a
b
]
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(a) Se é injetora: L(a1et + b1e−t) = L(a2et + b2e−t) ⇒
[
a1
b1
]
=[
a2
b2
]
⇒ a1 = a2 e b1 = b2 ⇒ a1et + b1e−t = a2et + b2e−t
(b) Se é sobrejetora: para qualquer
[
a
b
]
∈ R2, existe aet + be−t ∈ V
tal que L(aet + be−t) =
[
a
b
]
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(b) L((a1et + b1e−t) + (a2et + b2e−t)) = L((a1 + a2)et + (b1 + b2)e−t) =[
a1 + a2
b1 + b2
]
= L(a1e
t + b1e
−t) + L(a2et + b2e−t);
(c) L(c(a1et+b1e−t)) = L(ca1et+cb1e−t) =
[
ca1
cb1
]
= cL(a1e
t+b1e
−t).
Logo, existe um isomorfismo entre V e R2.
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(b) L((a1et + b1e−t) + (a2et + b2e−t)) = L((a1 + a2)et + (b1 + b2)e−t) =[
a1 + a2
b1 + b2
]
= L(a1e
t + b1e
−t) + L(a2et + b2e−t);
(c) L(c(a1et+b1e−t)) = L(ca1et+cb1e−t) =
[
ca1
cb1
]
= cL(a1e
t+b1e
−t).
Logo, existeum isomorfismo entre V e R2.
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MATRIZ DE MUDANÇA
Assim, como espaços de dimensão finita são algebricamente semelhan-
tes aoRn através dos vetores de coordenadas, veremos a relação entre
esses para um mesmo vetor em bases distintas.
Para isso, sejam S = {v1, v2, . . . , vn} e T = {w1, w2, . . . , wn} base orde-
nadas de um espaço vetorial V .
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Se conhecemos o vetor de coordenada de v ∈ V na base T ,
[v]T =

c1
c2
...
cn
 ,
e queremos o vetor de coordenada na base S, [v]s, devemos encontrar os
vetores de coordenadas [wj ]S de cada vetor da base T em relação a
S.
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Assim, fazemos
w1 = a11v1 + a21v2 + · · ·+ an1vn
w2 = a12v1 + a22v2 + · · ·+ an2vn
...
wn = a1nv1 + a2nv2 + · · ·+ annvn
obtendo
[wj ]S =

a1j
a2j
...
anj
 .
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Como, na base T
v = c1w1+c2w2+· · ·+cnwn
= c1(a11v1+a21v2+· · ·+an1vn)+c2(a12v1+
a22v2 + · · ·+ an2vn) + · · ·+ cn(a1nv1 + a2nv2 + · · ·+ annvn),
implica que
v = (c1a11 + c2a12 + · · · + cna1n)v1 + (c1a21 + c2a22 + · · · + cna2n)v2 +
· · ·+ (c1an1 + c2an2 + · · ·+ cnann)vn,
donde segue que,
[v]S =

c1a11 + c2a12 + · · ·+ cna1n
c1a21 + c2a22 + · · ·+ cna2n
...
c1an1 + c2an2 + · · ·+ cnann
 .
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Como, na base T
v = c1w1+c2w2+· · ·+cnwn = c1(a11v1+a21v2+· · ·+an1vn)+c2(a12v1+
a22v2 + · · ·+ an2vn) + · · ·+ cn(a1nv1 + a2nv2 + · · ·+ annvn),
implica que
v = (c1a11 + c2a12 + · · · + cna1n)v1 + (c1a21 + c2a22 + · · · + cna2n)v2 +
· · ·+ (c1an1 + c2an2 + · · ·+ cnann)vn,
donde segue que,
[v]S =

c1a11 + c2a12 + · · ·+ cna1n
c1a21 + c2a22 + · · ·+ cna2n
...
c1an1 + c2an2 + · · ·+ cnann
 .
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Como, na base T
v = c1w1+c2w2+· · ·+cnwn = c1(a11v1+a21v2+· · ·+an1vn)+c2(a12v1+
a22v2 + · · ·+ an2vn) + · · ·+ cn(a1nv1 + a2nv2 + · · ·+ annvn),
implica que
v = (c1a11 + c2a12 + · · · + cna1n)v1 + (c1a21 + c2a22 + · · · + cna2n)v2 +
· · ·+ (c1an1 + c2an2 + · · ·+ cnann)vn,
donde segue que,
[v]S =

c1a11 + c2a12 + · · ·+ cna1n
c1a21 + c2a22 + · · ·+ cna2n
...
c1an1 + c2an2 + · · ·+ cnann
 .
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Ou seja,
[v]S =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
an1 an2 · · · ann


c1
c2
...
cn
 = PS←T [v]T ,
onde PS←T é essa matriz n×n, cujas colunas são os [wj ]S , que chamamos
de MATRIZ DE MUDANÇA DE BASE DE T PARA S.
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Por exemplo,
sejam S =


2
0
1
 ,

1
2
0
 ,

1
1
1

 e T =


6
3
3
 ,

4
−1
3
 ,

5
5
2


base ordenadas de R3. Obtenhamos [v]S usando a matriz de mudança
de base, quando v =

4
−9
5
 .
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I) Obtemos [v]T ,
fazendo
4
−9
5
 = a

6
3
3
+ b

4
−1
3
+ c

5
5
2
 ,
que, tomando a matriz aumentada e escalonando, implica
[v]T =

1
2
−1
 ;
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I) Obtemos [v]T , fazendo
4
−9
5
 = a

6
3
3
+ b

4
−1
3
+ c

5
5
2
 ,
que, tomando a matriz aumentada e escalonando, implica
[v]T =

1
2
−1
 ;
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 25 de abril de 2016 22 / 26
II) Obtemos PS←T ,
fazendo
6
3
3
 = a1

2
0
1
+ a2

1
2
0
+ a3

1
1
1
 ,

4
−1
3
 = b1

2
0
1
+ b2

1
2
0
+ b3

1
1
1

e 
5
5
2
 = c1

2
0
1
+ c2

1
2
0
+ c3

1
1
1
 .
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II) Obtemos PS←T , fazendo
6
3
3
 = a1

2
0
1
+ a2

1
2
0
+ a3

1
1
1
 ,

4
−1
3
 = b1

2
0
1
+ b2

1
2
0
+ b3

1
1
1

e 
5
5
2
 = c1

2
0
1
+ c2

1
2
0
+ c3

1
1
1
 .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 25 de abril de 2016 23 / 26
Donde, tomando as matrizes aumentadas simultaneamente,
2 1 1 p 6 p 4 p 5
0 2 1 p 3 p −1 p 5
1 0 1 p 3 p 3 p 2

e escalonando, 
1 0 0 p 2 p 2 p 1
0 1 0 p 1 p −1 p 2
0 0 1 p 1 p 1 p 1

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obtemos que
PS←T =

2 2 1
1 −1 2
1 1 1
 .
III) E obtemos [v]S , fazendo
[v]S = PS←T [v]T =

2 2 1
1 −1 2
1 1 1


1
2
−1
 =

4
−5
1
 .
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obtemos que
PS←T =

2 2 1
1 −1 2
1 1 1
 .
III) E obtemos [v]S , fazendo
[v]S = PS←T [v]T =

2 2 1
1 −1 2
1 1 1


1
2
−1
 =

4
−5
1
 .
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E finalizamos com:
Observação
1 A matriz PS←T é não singular e assim,
[v]T = PS←T−1[v]S .
Mas, podemos também usar PT←S ;
2 Se V = Rn, então
PS←T =MS−1MT ,
onde MS é a matriz n× n, cujas colunas são os vetores vj de S e
MT , cujas colunas são os wj de T .
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E finalizamos com:
Observação
1 A matriz PS←T é não singular e assim,
[v]T = PS←T−1[v]S .
Mas, podemos também usar PT←S ;
2 Se V = Rn, então
PS←T =MS−1MT ,
onde MS é a matriz n× n, cujas colunas são os vetores vj de S e
MT , cujas colunas são os wj de T .
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