Numeros complexos

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ELETRICIDADE APLICADA 
 
6 – NÚMEROS COMPLEXOS 
 
PROF. MARCELO MARÇULA 
 
 
 
2 
 
NÚMEROS COMPLEXOS 
 
Desde o início do estudo da matemática, existiu o conceito de que a raiz quadrada de um número negativo 
não existe. Tanto que Bhaskara (1114 – 1185) afirmou: “O quadrado de um positivo é positivo; e a raiz 
quadrada de um positivo é dupla: positiva e negativa. Não há raiz quadrada de um negativo, pois ele não é 
um quadrado”. Isso tem relação direta com a resolução de equações, por exemplo, do segundo grau. 
Para tratar essa questão da não existência da raiz quadrada de um número negativo, surgiu o conceito 
básico do Número Complexo1, tratado pela primeira vez por Gerolamo Cardano em 1545. 
A forma mais comum de se representar um número complexo é pela Representação Trigonométrica. Nela o 
número complexo é representado como sendo um vetor em um Plano Complexo ou Plano de Argand-
Gauss2. Esse plano é formado por um eixo para representar os números reais (Re – horizontal) e um eixo 
para representar os números imaginários (Im – vertical)3. Dessa maneira, podemos compreender um 
número complexo como sendo formado por uma “parte” real e uma “parte” imaginária (não real). 
 
Figura 1: Representação trigonométrica de um número complexo 
Trigonometricamente o número complexo Z é: 
𝑍 = |𝑍| × (𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛𝜃) 
O componente i indica que aquela parcela é imaginária e vale4: 
𝑖 = √−1 
 
 
1 O termo “número complexo” surgiu em 1832, cunhado por Carl Friederich Gauss. 
2 Esse nome vem dos estudos, relacionados à essa representação gráfica, realizados por Jean-Robert Argand (1822) e 
Gauss (1831). 
3 Os termos “real” e “imaginário” foram utilizados pela primeira vez em 1637 por Renè Descartes. 
4 O símbolo “i” foi usado pela primeira vez em 1794 por Leonhard Euler, mas se tornou amplamente aceito depois que 
Gauss o utilizou em 1801. 
3 
 
Outra representação utilizada para representar os números complexos, utiliza somente o valor de cada 
“coordenada” do vetor (utiliza um número real) e i para denotar a parte imaginária5: 
𝐴 + 𝑖𝐵 
Onde A é a componente real do número complexo e B é a componente imaginária do mesmo número 
complexo. 
Como podemos perceber, a raiz de um número negativo não existe no domínio dos números reais. Por esse 
motivo isso representa um valor imaginário, que não é real. 
O número complexo é um vetor do plano complexo, portanto, podemos representá-lo de duas formas: 
Retangular e Polar. 
 
IMPORTANTE 
 
Como vamos utilizar os números complexos em eletricidade, não vamos mais utilizar o i para indicar o 
valor complexo, porque ele poderia ser confundido com uma corrente. Então, vamos utilizar o j para essa 
finalidade. 
 
 
FORMA RETANGULAR 
 
A forma retangular é aquela na qual o número complexo é representado pelas duas coordenadas do vetor 
no plano complexo: uma do eixo dos números reais e outra do eixo dos números imaginários. Sendo assim, 
temos que: 
 
Figura 2: Representação de um número complexo na forma retangular 
A representação retangular do número complexo é 
𝑵 = 𝑨 + 𝒋𝑩 
Nesse caso, A e jB são as coordenadas do vetor. 
 
5 Essa representação dos números complexos, utilizando dois números reais só surgiu em 1837, criada por Sir William 
Rowan Hamilton. 
N = A + jB
4 
 
FORMA POLAR 
 
A forma polar é aquela na qual o número complexo é representado pelo módulo do vetor e pelo ângulo que 
o vetor forma com o eixo horizontal (eixo dos reais). 
 
Figura 2: Representação de um número complexo na forma polar 
A representação polar do número complexo é 
𝑵 = 𝑪∠𝜽 
Nesse caso C é o módulo do vetor do número complexo e  é o ângulo do vetor do número complexo. 
 
 
IMPORTANTE 
 
Na representação polar o módulo do vetor sempre terá valor positivo (ele representa o tamanho do 
vetor). 
 
 
 
IMPORTANTE 
 
Como os números complexos podem ser vistos como vetores e as tensões/correntes alternadas senoidais 
também podem ser representadas por vetores, vamos utilizar a notação e a aritmética dos números 
complexos com as tensões e correntes alternadas. 
 
 
 
N
5 
 
CONVERSÕES ENTRE REPRESENTAÇÕES DE NÚMEROS COMPLEXOS 
 
Vamos considerar o mesmo número complexo N, apresentado nas figuras acima: 
 
Figura 3: Número complexo 
Lembre-se que as representações retangular e polar, nesse exemplo, representam exatamente o mesmo 
número complexo. 
 
CONVERSÃO RETANGULAR PARA POLAR 
 
Na representação polar necessitamos descobrir o módulo do vetor e o ângulo que ele forma com o eixo real. 
Vamos enxergar isso como um problema com triângulo retângulo. 
Então, temos um número complexo representado como retangular, A + jB e vamos obter a representação do 
mesmo número em polar. 
Módulo 
Sabemos que: 
𝐶2 = 𝐴2 + 𝐵2 
Portanto: 
𝑪 = √𝑨𝟐 + 𝑩𝟐 
 
Ângulo 
Sabemos que: 
𝑡𝑔𝜃 =
𝐵
𝐴
 
Portanto: 
𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈
𝑩
𝑨
 
 
 
 
 
N
6 
 
Então concluímos que: 
𝑵 = 𝑨 + 𝒋𝑩 = 𝑪∠𝜽 = (√𝑨𝟐 + 𝑩𝟐) ∠ (𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈
𝑩
𝑨
) 6 
 
CONVERSÃO POLAR PARA RETANGULAR 
 
Na representação retangular necessitamos descobrir as coordenadas horizontal (real) e vertical (imaginária). 
Vamos novamente enxergar isso como um problema com triângulo retângulo. 
Então, temos um número complexo representado como polar, 𝐶 = ∠𝜃 e vamos obter a representação do 
mesmo número em retangular. 
Coordenada 
Real 
Sabemos que: 
𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
𝐴
𝐶
 
Portanto 
𝑨 = 𝑪 × 𝒄𝒐𝒔 𝜽 
 
Coordenada 
Imaginária 
Sabemos que: 
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
𝐵
𝐶
 
Portanto: 
𝑩 = 𝑪 × 𝒔𝒆𝒏 𝜽 
 
 
Então concluímos que: 
𝑵 = 𝑪∠𝜽 = 𝑨 + 𝒋𝑩 = (𝑪 × 𝒄𝒐𝒔 𝜽) + 𝒋(𝑪 × 𝒔𝒆𝒏 𝜽)7 
 
OPERAÇÕES ARITMÉTICAS COM NÚMEROS COMPLEXOS 
 
Realizar operações aritméticas com números complexos é trabalhar com operações aritméticas de 
polinômios. Mas, como nosso objetivo é utilizar os números complexos como ferramenta, vamos utilizar 
outra abordagem. 
Utilizando as diferentes representações dos números complexos (retangular e polar) vamos utilizar uma 
representação específica para cada operação aritmética. Por esse motivo é importante saber realizar a 
conversão entre as representações (o que foi apresentado anteriormente). Vejamos como funciona. 
 
6 Essa conversão pode ser realizada diretamente pela calculadora. Observe o anexo, no final desse documento. 
7 Essa conversão pode ser realizada diretamente pela calculadora. Observe o anexo, no final desse documento. 
7 
 
 
ADIÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS 
 
Para realizar a adição de números complexos utilizamos a representação retangular. Então somamos todos 
os argumentos reais dos números complexos, obtendo o argumento real do número complexo soma e 
somamos todos os argumentos imaginários dos números complexos, obtendo o argumento imaginário do 
número complexo soma. Observe: 
𝑁1 = 𝐴1 + 𝑗𝐵1 
𝑁2 = 𝐴2 + 𝑗𝐵2 
𝑵𝟏 + 𝑵𝟐 = (𝑨𝟏 + 𝑨𝟐) + 𝒋(𝑩𝟏 + 𝑩𝟐) 
 
IMPORTANTE 
 
Sempre leve em consideração o sinal do componente real e imaginário. 
 
 
Exemplo 1: 
N1 = 5 + j2 
N2 = 3 + j4 
N1 + N2 = (5 + 3) + j(2 + 4) = 𝟖 + 𝐣𝟔 
Exemplo 2: 
N1 = 5 − j2 
N2 = −4 + j6 
N1 + N2 = (5 − 4) + j(−2 + 6) = 𝟏 + 𝐣𝟒 
 
SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS 
 
Para realizar a subtração de números complexos utilizamos também a representação retangular. Então 
subtraímos os argumentos reais dos dois números (argumento real da subtração) e subtraímosos 
argumentos imaginários dos dois números (argumento imaginário da subtração). Observe: 
𝑁1 = 𝐴1 + 𝑗𝐵1 
𝑁2 = 𝐴2 + 𝑗𝐵2 
𝑵𝟏 − 𝑵𝟐 = (𝑨𝟏 − 𝑨𝟐) + 𝒋(𝑩𝟏 − 𝑩𝟐) 
 
IMPORTANTE 
 
Sempre leve em consideração o sinal do componente real e imaginário. 
 
 
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Exemplo 1: 
N1 = 5 + j6 
N2 = 3 + j4 
N1 − N2 = (5 − 3) + j(6 − 4) = 𝟐 + 𝐣𝟐 
Exemplo 2: 
N1 = 4 + j2 
N2 = 1 + j4 
N1 − N2 = (4 − 1) + j(2 − 4) = 𝟐 + 𝐣(−𝟐) = 𝟐 − 𝐣𝟐 
 
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS 
 
Para realizar a multiplicação de números complexos utilizamos a representação polar. Então multiplicamos 
os módulos dos números complexos (módulo do vetor representação) para obtermos o módulo do número 
complexo multiplicação. E somamos os ângulos dos números complexos para obtermos o ângulo do número 
complexo multiplicação. Observe: 
𝑁1 = 𝐶1∠𝜃1 
𝑁2 = 𝐶2∠𝜃2 
𝑵𝟏 × 𝑵𝟐 = (𝑪𝟏 × 𝑪𝟐)∠(𝜽𝟏 + 𝜽𝟐) 
Exemplo 1: 
N1 = 6∠30
o 
𝑁2 = 3∠50
o 
N1 × N2 = (6 × 3)∠(30
o + 50o) = 𝟏𝟖∠𝟖𝟎𝐨 
 
Exemplo 2: 
N1 = 4∠30
o 
𝑁2 = 2∠−70
o 
N1 × N2 = (4 × 2)∠(30
o − 70o) = 𝟖∠−𝟒𝟎𝐨 
 
 
DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS 
 
Para realizar a divisão de números complexos utilizamos também a representação polar. Então dividimos os 
módulos dos números complexos (módulo do vetor representação) para obtermos o módulo do número 
complexo divisão. E subtraímos o ângulo do número complexo do dividendo do ângulo do número complexo 
do divisor (sempre e levando em consideração o sinal) para obtermos o ângulo do número complexo divisão. 
Observe: 
𝑁1 = 𝐶1∠𝜃1 
𝑁2 = 𝐶2∠𝜃2 
𝑵𝟏
𝑵𝟐
=
𝑪𝟏∠𝜽𝟏
𝑪𝟐∠𝜽𝟐
= (
𝑪𝟏
𝑪𝟐
) ∠(𝜽𝟏 − 𝜽𝟐) 
 
 
9 
 
Exemplo 1: 
N1 = 8∠90
o 
N2 = 4∠30
o 
N1
N2
=
8∠90o
4∠30o
= (
8
4
) ∠(90o − 30o) = 𝟐∠𝟔𝟎𝐨 
Exemplo 2: 
N1 = 12∠40
o 
N2 = 3∠−50
o 
N1
N2
=
12∠40o
3∠−50o
= (
12
3
) ∠(40o − (−50o)) = (
12
3
) ∠(40o + 50o)
= 𝟒∠𝟗𝟎𝐨 
 
A próxima etapa é associar o conceito dos números complexos com os conceitos de fasores de corrente 
alternada. 
 
 
 
 
 
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BIBLIOGRAFIA 
 
ALEXANDER, Charles K.; Sadiku, Matthew N. O. Fundamentos de Circuitos Elétricos. 5 ed. Porto Alegre: 
AMGH, 2013. 
BOYLESTAD, Robert L. Introdução à Análise de Circuitos. Rio de Janeiro: Prentice-Hall do Brasil, 1998. 
GUIMARÃES, Caio dos Santos. Matemática em Nível IME/ITA – Volume 1: Números Complexos e Polinômios. 
São José dos Campos: Vestseller, 2008. 
GUSSOW, Milton. Eletricidade Básica. São Paulo: Makron Books, 1997. 
HAYT Jr. William H.; KEMMERLY, Jack E.; DURBIN, Steven M. Análise de Circuitos em Engenharia. São Paulo: 
McGraw-Hill, 2008. 
MARKUS, Otávio. Circuitos Elétricos: Corrente Contínua e Corrente Alternada. São Paulo: Érica, 2004. 
MILIES, Francisco César Polcino. A Introdução dos Números Complexos. Imática. Acesso em 15/04/2016. Em 
<http://www.matematica.br/historia/complexos.html>. 
O’MALLEY, John. Análise de Circuitos. 2a ed. São Paulo: Makron Books, 1993. 
 
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APÊNDICE 1 – CONVERSÃO DE REPRESENTAÇÕES DE NÚMEROS COMPLEXOS COM CALCULADORA 
 
Vamos utilizar como exemplo a calculadora CASIO fx-82MS8 (observe a figura abaixo): 
 
 
CONVERSÃO DE RETANGULAR PARA POLAR 
 
Converter 3 + j4 para a representação polar: 
 
Indica a representação que desejamos obter: polar (POL) 
 
Em primeiro lugar entre com a parte real do número complexo 
 Cuidado! É a vírgula de função e não o ponto decimal 
 
Agora deve ser colocada a parte imaginária do número complexo 
 
Fechar parênteses para encerrar a sintaxe da função 
 
Solicita o processamento da conversão de retangular para polar 
 
Aparecerá na tela o número 5. 
Esse é o módulo do número complexo em polar. 
 
Indica que a calculadora deve procurar algo armazenado em alguma posição de 
memória 
 
Aparecerá 53,13010235. 
Esse é o ângulo do número complexo em polar. 
Observe a letra F acima da tecla tan. Ela indica que esse ângulo estava 
armazenado na posição F da memória da calculadora. 
 
553,13° 
 
8 Para realizar essa operação em outros modelos de calculadora, procurar o manual da calculadora. 
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CONVERSÃO DE POLAR PARA RETANGULAR 
 
Converter 260° para a representação retangular: 
 
Indica para a calculadora que desejamos utilizar uma segunda função de uma 
tecla. 
 
Indica a representação que desejamos obter retangular (REC) 
 
Em primeiro lugar entre com o módulo do número complexo 
 
Cuidado! É a vírgula de função e não o ponto decimal 
 
Agora deve ser colocado o ângulo do número complexo 
 
Fechar parênteses para encerrar a sintaxe da função 
 
Solicita o processamento da conversão de retangular para polar 
 
Aparecerá na tela o número 1. 
Essa é a parte real do número complexo em retangular. 
 
Indica que a calculadora deve procurar algo armazenado em alguma posição de 
memória 
 
Aparecerá 1,732050808. 
Essa é a parte imaginária do número complexo em retangular. 
Observe a letra F acima da tecla tan. Ela indica que a parte imaginária estava 
armazenado na posição F da memória da calculadora. 
 
1 + j1,73