Lista integral 2 atualizada

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Ca´lculo Integral - 2014.1
Lista Unificada Parte 2
Equipe de Matema´tica, Bacharelado em Cieˆncia e Tecnologia, UFMA - Campus Cidade Universita´ria
Integrac¸a˜o de func¸o˜es irracionais Parte 1
1 Calcule
∫
dx√
2x − 1 − 4√2x − 1.
2 Calcule
∫
x3 dx√
x − 1.
3 Calcule
∫
xdx
3√
ax + b
.
4 Calcule
∫
dx√
x + 1 +
√
(x + 1)3
.
5 Calcule
∫
dx√
x + 3
√
x
.
6 Calcule
∫
(
√
x − 1) dx
3
√
x + 1
.
7 Calcule
∫
(
√
x + 1 + 2) dx
(x + 1)2 − √x + 1.
8 Calcule
∫ √
xdx
x + 2
.
9 Calcule
∫
dx
(2 − x)√1 − x .
10 Calcule
∫
x
√
x − 1
x + 1
dx.
11 Calcule
∫
3
√
x + 1
x − 1 dx.
12 Calcule
∫
x + 3
x2
√
2x + 3
dx.
Integrac¸a˜o de func¸o˜es irracionais Parte 2
13 Calcule
∫
x2
√
x2 + 4 dx.
14 Calcule
∫
x2√
x2 − x + 1
dx.
15 Calcule
∫
x5√
1 − x2
dx.
16 Calcule
∫
x6√
x2 + 1
dx.
17 Calcule
∫
dx
x5
√
x2 − 1
.
18 Calcule
∫
dx
(x + 1)3
√
x2 + 2x
.
19 Calcule
∫
x2 + x + 1
x
√
x2 − x + 1
dx.
Primitivas dos binomiais diferenciais
20 Calcule
∫ 3√1 + 4√x
√
x
dx.
21 Calcule
∫
x3
(2x2 + 1)(3/2)
dx.
22 Calcule
∫
dx
4√
x4 + 1
.
23 Calcule
∫
dx
x4
√
x2 + 1
.
24 Calcule
∫
dx
x
3√
x5 + 1
.
25 Calcule
∫
dx
x2(x3 + 2)(5/3)
.
26 Calcule
∫
dx
√
x3
3
√
1 +
4√
x3
.
27 Sejam f , g : [a, b] −→ R func¸o˜es integra´veis tais que {x ∈ [a, b] ; f (x) , g(x)} e´ finito.
Mostre que
∫ b
a
f (x) dx =
∫ b
a
g(x) dx.
28
∫ 2
−2
g(u) du, onde g(u) =
{
1/u2, se |u| ≥ 1,
u, se |u| < 1.
29
∫ x
0
f (t) dt, onde f (t) =

1, se 0 ≤ t < 1,
2, se 1 ≤ t < 2,
3, se t ≥ 2.
30 Seja A ⊂ [a, b] um conjunto finito e suponha que f : [a, b] − A −→ R e´ uma func¸a˜o
contı´nua. E´ possı´vel definir a integral de f em [a, b]? Justifique sua resposta.
Enunciado das duas questo˜es seguintes: Esboce o gra´fico da func¸a˜o F dada por
31 F(x) =
∫ x
−5
f (t) dt, onde f (t) =
{
0, se |t| ≥ 1,
t2, se |t| < 1.
32 F(x) =
∫ x
0
e−|t| dt.
33 Seja F(x) =
∫ x
0
f (t) dt onde f (t) =
{
t2, se t < 1,
1/t, se t ≥ 1. . Mostre que F′(x) = f (x) para todo
x.
Enunciado da questa˜o seguinte: Teorema do Valor Me´dio para Integrais:
34 Seja f : [a, b] −→ Ruma func¸a˜o contı´nua. Mostre que existe c ∈ (a, b) tal que
∫ b
a
f (x) dx =
f (c)(b − a). Interprete geometricamente.
2
35 Num circuito ele´trico, a voltagem V(t) e a corrente i(t) no instante t sa˜o dadas por
V(t) = 160 sin t e i(t) = 2 sin(t − pi/6). A poteˆncia me´dia e´ dada por
1
T
∫ T
0
V(t)i(t) dt,
onde T e´ o perı´odo de ambas, voltagem e corrente. Determine T e calcule a poteˆncia
me´dia.
36 Sejam f , g : [a, b] −→ R func¸o˜es contı´nuas e suponha que g(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b].
Mostre que existe c ∈ (a, b) tal que
∫ b
a
f (x)g(x) dx = f (c)
∫ b
a
g(x) dx.
[Item resolvido:]
Sejam f : [a, b] −→ R uma func¸a˜o contı´nua e g : [a, b] −→ R uma func¸a˜o mono´tona de
classe C2. Mostre que existe c ∈ (a, b) tal que∫ b
a
f (x)g(x) dx = g(a)
∫ c
a
f (x) dx + g(b)
∫ b
c
f (x) dx
Demonstrac¸a˜o. Como f e´ contı´nua em [a, b], existe F : [a, b] −→ R tal que F′(x) = f (x)
para todo x ∈ [a, b]. Por outro lado, como g e´ mono´tona e de classe C2, na˜o ha´ perda de
generalidade ao supor que g′(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. Logo, pelo Problema [8], existe
c ∈ (a, b) tal que∫ b
a
F(x)g′(x) dx = F(c)
∫ b
a
g′(x) dx = F(c)(g(b) − g(a)) = g(b)F(c) − g(a)F(c).
Integrando-se por partes:∫ b
a
f (x)g(x) dx =
∫ b
a
g(x)F′(x) dx
= [g(x)F(x)]ba −
∫ b
a
g′(x)F(x) dx
= g(b)F(b) − g(a)F(a) − g(b)F(c) + g(a)F(c)
= g(b)[F(b) − F(c)] + g(a)[F(c) − F(a)]
= g(b)
∫ b
c
F′(x) dx + g(a)
∫ c
a
F′(x) dx
= g(a)
∫ c
a
f (x) dx + g(b)
∫ b
c
f (x) dx
�
[Item resolvido:]
Suponha que 0 < a < b. Calcule lim
n→∞
∫ b
a
sinnx
x
dx.
3
Soluc¸a˜o. Considere f (x) = sinnx e g(x) = 1/x. Como f e´ contı´nua em [a, b] e g possui
segunda derivada contı´nua em [a, b], pelo Problema [9], existe c ∈ (a, b) tal que∫ b
a
sinnx
x
dx =
∫ b
a
f (x)g(x) dx = g(a)
∫ c
a
f (x) dx+g(b)
∫ b
c
f (x) dx =
1
a
∫ c
a
sinnxdx+
1
b
∫ b
c
sinnxdx,
isto e´, ∫ b
a
sinnx
x
dx =
cosnc − cosna
na
+
cosnb − cosnc
nb
.
Observe ainda que | cosnc − cosna| ≤ | cosnc| + | cosna| ≤ 2, ja´ que | cos x| ≤ 1 para todo
x. De modo ana´logo segue-se que | cosnb − cosnc| ≤ 2. E ainda, como 0 < a < b temos
2
na
+
2
nb
<
2
na
+
2
na
=
4
na
Logo ∣∣∣∣∣∣
∫ b
a
sinnx
x
dx
∣∣∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣cosnc − cosnana ∣∣∣∣ +
∣∣∣∣∣cosnb − cosncnb
∣∣∣∣∣ < 4na ,
e portanto, segue do Teorema do Confronto
lim
n→∞
∣∣∣∣∣∣
∫ b
a
sinnx
x
dx
∣∣∣∣∣∣ ≤ limn→∞ 4na = 0,
ou seja, lim
n→∞
∫ b
a
sinnx
x
dx = 0. �
Enunciado da questa˜o seguinte: Teorema Fundamental do Ca´lculo:
37 Seja f : [a, b] −→ R uma func¸a˜o contı´nua. Dado x0 ∈ [a, b], definimos F : [a, b] −→ R por
F(x) =
∫ x
x0
f (t) dt. Enta˜o F e´ uma primitiva de f em [a, b].
38 Calcule F′(x) sabendo-se que F(x) =
∫ 1
x
arctan(t3) dt.
39 Encontre uma func¸a˜o ϕ : R −→ R contı´nua tal que, para todo x,
ϕ(x) = 1 +
∫ x
0
tϕ(t) dt.
40 Seja f : R −→ R uma func¸a˜o contı´nua e perio´dica de perı´odo p.
(a) Mostre que a func¸a˜o g : R −→ R dada por g(x) =
∫ x+p
x
f (t) dt, e´ constante.
(b) Conclua que
∫ x+p
x
f (t) dt =
∫ p
0
f (t) dt para todo x ∈ R.
4
41 Seja f (x) =
∫ 2
x
1√
1 + t3
dt. Calcule
∫ 2
0
x f (x) dx.
42 Encontre uma func¸a˜o f sabendo que f (x) = 1 +
∫ x
0
f (t) dt.
43 Seja f uma func¸a˜o tal que x sin(pix) =
∫ x2
0
f (t) dt. Encontre f (4).
44 Seja f : [0,+∞) −→ R uma func¸a˜o diferencia´vel tal que f ′ e´ estritamente crescente. Se
f (0) = 0, mostre que x 7→ f (x)/x e´ estritamente crescente para x > 0.
45 Seja f : [a, b] −→ R uma func¸a˜o integra´vel, com a > 0 e f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b],
e A a regia˜o limitada pelo gra´fico dessa func¸a˜o, pelas retas x = a e x = b, e pelo eixo
x. Considere o so´lido B obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o A em torno do eixo y. Defina o
volume de B.
46 Calcule o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o em torno do eixo y, do conjunto de todos
os pontos (x, y) tais que 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ arctan x.
47 Calcule o volume do toro, formado pela rotac¸a˜o do cı´rculo (x−a)2+y2 ≤ r2, com a ≥ r > 0,
em torno do eixo y.
48 Encontre o volume do corpo formado pela rotac¸a˜o em torno do eixo y, da parte da
para´bola y2 = 4ax, que intercepta a reta x = a.
49 Calcule o volume do corpo formado pela rotac¸a˜o em torno do eixo x, da astro´ide
x2/3 + y2/3 = a2/3, com a > 0, em torno do eixo y.
50 Ache o volume do so´lido formado pela rotac¸a˜o em torno da reta y = −p, da figura
limitada pela para´bola y2 = 2px e pela reta x = p/2.
51 Determine o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o em torno da reta x = a, da para´bola
y2 = 4ax, que se intercepta pela mesma reta.
52 Determine o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o em torno da reta y = x, da exponencial
y = eax, com a > 0 e 0 ≤ x ≤ a.
Enunciado das 18 questo˜s seguintes: Encontre o volume do so´lido obtido pela
rotac¸a˜o da regia˜o limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
Esboce a regia˜o, o so´lido e um disco ou arruela tı´picos.
53 y = 2 − x/2, y = 0, x = 1, x = 2; em torno do eixo Ox
54 y = ex, y = 0, x = 0, x = 1; em torno do eixo Ox
55 y = 1/x, x = 1, x = 2, y = 0; em torno do eixo Ox
56 y =
√
25 − x2, y = 0, x = 2, x = 4; em torno do eixo Ox
57 x = 2
√
y, x = 0, y = 9; em torno do eixo Oy
5
58 y = ln x, y = 1, y = 2, x = 0; em torno do eixo Oy
59 y = x3, y = x, x ≥ 0; em torno do eixo Ox
60 y = sec x, y= 1, x = −1, x = 1; em torno do eixo Ox
61 y2 = x, x = 2y; em torno do eixo Oy
62 y3 = x2, x = 1, y = 0; em torno do eixo Oy
63 y = x, y =
√
x; em torno de y = 1
64 y = e−x, y = 1, x = 2; em torno de y = 2
65 y = 1 + sec x, y = 3; em torno de y = 1
66 y = 1/x, y = 0, x = 1, x = 3; em torno de y = −1
67 x = y2, x = 1; em torno de x = 1
68 y = x, y =
√
x; em torno de x = 2
69 y = x2, x = y2; em torno de x = −1
70 y = x, y = 0, x = 2, x = 4; em torno de x = −1
71 Encontre o volume de um tetraedro com treˆs faces perpendiculares entre si e as treˆs
arestas perpendiculares entre si com comprimentos de 3 cm, 4 cm e 5cm.
72 Use o me´todo das cascas cilı´ndricas para encontrar o volume do so´lido obtido pela
rotac¸a˜o da regia˜o limitada pelas curvas dadas em torno do eixo Ox. Esboce a regia˜o e
uma casca tı´pica.
• x = 1 + y2, x = 0, y = 1, y = 2
• x = √y, x = 0, y = 1
• y = x3, y = 8, x = 0
• x = 4y2 − y3, x = 0
• x + y = 3, x = 4 − (y − 1)2
Enunciado das 6 questo˜s seguintes: Use o me´todo das cascas cilı´ndricas para
encontrar o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o limitada pelas curvas
dadas em torno do eixo especificado. Esboce a regia˜o e uma casca tı´pica.
73 y = x2, y = 0, x = 1, x = 2; em torno de x = 1
74 y =
√
x, y = 0, x = 1; em torno de x = −1
75 y = 4x − x2, y = 3; em torno de x = 1
76 y = x2, y = 2 − x2; em torno de x = 1
77 y = x3, y = 0, x = 1; em torno de y = 1
6
78 y = x2, x = y2; em torno de y = −1
79 Seja V o volume de um so´lido obtido pela rotac¸a˜o ao redor do eixo Oy da regia˜o limitada
por y =
√
x e y = x2. Encontre V pelos me´todos de fatiamento e cascas cilı´ndricas. Em
ambos os casos desenhe um diagrama para explicar seu me´todo.
80 Encontre o volume comum a duas esferas, cada qual com raio r, se o centro de cada
esfera esta´ na superfı´cie da outra esfera.
81 Um buraco de raio r e´ perfurado atrave´s do centro de uma esfera de raio R > r. Encontre
o volume da porc¸a˜o remanescente da esfera.
82 Uma tigela tem o formato de um hemisfe´rio com diaˆmetro de 30 cm. Uma bola com
diaˆmetro de 10 cm e´ colocado dentro da tigela e, depois despeja-se a´gua ate´ uma
profundidade de h centı´metros. Encontre o volume de a´gua na tigela.
83 Seja S um tronco de cone circular reto com altura h e raio da base r (veja a figura).
Encontre o volume de S.
84 Seja S uma calota de uma esfera de raio r e altura r. Encontre o volume de S.
85 Seja S um tronco de piraˆmide com base quadrada de lado b, topo quadrado de lado a e
altura h. Encontre o volume de S.
7